b)f(x) = x³ - 12x. Bestimme Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkt.
c)f(x) = x³ - 3x. Bestimme Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkt.
2Fläche berechnen
Reihenfolge: 1. Nullstellen = Grenzen. 2. Stammfunktion F. 3. A = F(b) - F(a). Liegt die Fläche unter der x-Achse, Betrag nehmen. ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
a)Berechne den Inhalt der Fläche, die f(x) = 36 - x² mit der x-Achse einschließt.Grenzen = Nullstellen: 36 - x² = 0 → x² = 36 → x = -6 und x = 6Stammfunktion: F(x) = 36x - x³/3F(6) = 216 - 216/3 = 216 - 72 = 144F(-6) = -216 + 72 = -144A = F(6) - F(-6) = 144 - (-144) = 288Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse (f(0) = 36 > 0), das Integral ist also schon der Flächeninhalt: A = 288 FE
b)Berechne den Inhalt der Fläche, die f(x) = 9 - x² mit der x-Achse einschließt.
Prüfungsteil Analysis. Rechenweg aufschreiben, nicht nur das Ergebnis — im Abitur zählen die Schritte.
Reihenfolge: 1. Nullstellen = Grenzen. 2. Stammfunktion F. 3. A = F(b) - F(a). Liegt die Fläche unter der x-Achse, Betrag nehmen. ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
a)Berechne den Inhalt der Fläche, die f(x) = 36 - x² mit der x-Achse einschließt.Grenzen = Nullstellen: 36 - x² = 0 → x² = 36 → x = -6 und x = 6Stammfunktion: F(x) = 36x - x³/3F(6) = 216 - 216/3 = 216 - 72 = 144F(-6) = -216 + 72 = -144A = F(6) - F(-6) = 144 - (-144) = 288Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse (f(0) = 36 > 0), das Integral ist also schon der Flächeninhalt: A = 288 FE
b)Berechne den Inhalt der Fläche, die f(x) = 9 - x² mit der x-Achse einschließt.Grenzen = Nullstellen: 9 - x² = 0 → x² = 9 → x = -3 und x = 3Stammfunktion: F(x) = 9x - x³/3F(3) = 27 - 27/3 = 27 - 9 = 18F(-3) = -27 + 9 = -18A = F(3) - F(-3) = 18 - (-18) = 36Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse (f(0) = 9 > 0), das Integral ist also schon der Flächeninhalt: A = 36 FE
Prüfungsteil Analysis. Rechenweg aufschreiben, nicht nur das Ergebnis — im Abitur zählen die Schritte.
b)f(x) = x³ - 27x. Bestimme Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkt.
c)f(x) = x³ - 3x. Bestimme Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkt.
2Fläche berechnen
Reihenfolge: 1. Nullstellen = Grenzen. 2. Stammfunktion F. 3. A = F(b) - F(a). Liegt die Fläche unter der x-Achse, Betrag nehmen. ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
a)Berechne den Inhalt der Fläche, die f(x) = 9 - x² mit der x-Achse einschließt.Grenzen = Nullstellen: 9 - x² = 0 → x² = 9 → x = -3 und x = 3Stammfunktion: F(x) = 9x - x³/3F(3) = 27 - 27/3 = 27 - 9 = 18F(-3) = -27 + 9 = -18A = F(3) - F(-3) = 18 - (-18) = 36Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse (f(0) = 9 > 0), das Integral ist also schon der Flächeninhalt: A = 36 FE
b)Berechne den Inhalt der Fläche, die f(x) = 36 - x² mit der x-Achse einschließt.
3Funktion mit e-Term
Produktregel: (u · v)' = u'v + uv'. (e^(kx))' = k · e^(kx). Danach e-Term ausklammern — er ist nie 0, nur die Klammer kann 0 werden.
a)f(x) = x · e^(-5x). Bestimme die Extremstelle und begründe die Art.Produktregel mit u = x, u' = 1 und v = e^(-5x), v' = -5 · e^(-5x) (Kettenregel: innere Ableitung -5)f'(x) = u'v + uv' = 1 · e^(-5x) + x · (-5) · e^(-5x)e^(-5x) ausklammern: f'(x) = e^(-5x) · (1 - 5x)f'(x) = 0: e^(-5x) ist immer > 0, also muss 1 - 5x = 0 sein → x = 1/5Vorzeichen von f' links und rechts: x = 0 → f'(0) = 1 > 0 (steigt); x = 1 → 1 - 5 < 0 (fällt)Steigen, dann Fallen → Hochpunkt bei x = 1/5, f(1/5) = 1/5 · e^(-1) = 1/(5e) ≈ 0,074
b)f(x) = x · e^(-3x). Bestimme die Extremstelle und begründe die Art.
c)f(x) = x · e^(-4x). Bestimme die Extremstelle und begründe die Art.
Prüfungsteil Analysis. Rechenweg aufschreiben, nicht nur das Ergebnis — im Abitur zählen die Schritte.
Reihenfolge: 1. Nullstellen = Grenzen. 2. Stammfunktion F. 3. A = F(b) - F(a). Liegt die Fläche unter der x-Achse, Betrag nehmen. ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
a)Berechne den Inhalt der Fläche, die f(x) = 9 - x² mit der x-Achse einschließt.Grenzen = Nullstellen: 9 - x² = 0 → x² = 9 → x = -3 und x = 3Stammfunktion: F(x) = 9x - x³/3F(3) = 27 - 27/3 = 27 - 9 = 18F(-3) = -27 + 9 = -18A = F(3) - F(-3) = 18 - (-18) = 36Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse (f(0) = 9 > 0), das Integral ist also schon der Flächeninhalt: A = 36 FE
b)Berechne den Inhalt der Fläche, die f(x) = 36 - x² mit der x-Achse einschließt.Grenzen = Nullstellen: 36 - x² = 0 → x² = 36 → x = -6 und x = 6Stammfunktion: F(x) = 36x - x³/3F(6) = 216 - 216/3 = 216 - 72 = 144F(-6) = -216 + 72 = -144A = F(6) - F(-6) = 144 - (-144) = 288Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse (f(0) = 36 > 0), das Integral ist also schon der Flächeninhalt: A = 288 FE
3Funktion mit e-Term
Produktregel: (u · v)' = u'v + uv'. (e^(kx))' = k · e^(kx). Danach e-Term ausklammern — er ist nie 0, nur die Klammer kann 0 werden.
a)f(x) = x · e^(-5x). Bestimme die Extremstelle und begründe die Art.Produktregel mit u = x, u' = 1 und v = e^(-5x), v' = -5 · e^(-5x) (Kettenregel: innere Ableitung -5)f'(x) = u'v + uv' = 1 · e^(-5x) + x · (-5) · e^(-5x)e^(-5x) ausklammern: f'(x) = e^(-5x) · (1 - 5x)f'(x) = 0: e^(-5x) ist immer > 0, also muss 1 - 5x = 0 sein → x = 1/5Vorzeichen von f' links und rechts: x = 0 → f'(0) = 1 > 0 (steigt); x = 1 → 1 - 5 < 0 (fällt)Steigen, dann Fallen → Hochpunkt bei x = 1/5, f(1/5) = 1/5 · e^(-1) = 1/(5e) ≈ 0,074
b)f(x) = x · e^(-3x). Bestimme die Extremstelle und begründe die Art.Produktregel mit u = x, u' = 1 und v = e^(-3x), v' = -3 · e^(-3x) (Kettenregel: innere Ableitung -3)f'(x) = u'v + uv' = 1 · e^(-3x) + x · (-3) · e^(-3x)e^(-3x) ausklammern: f'(x) = e^(-3x) · (1 - 3x)f'(x) = 0: e^(-3x) ist immer > 0, also muss 1 - 3x = 0 sein → x = 1/3Vorzeichen von f' links und rechts: x = 0 → f'(0) = 1 > 0 (steigt); x = 1 → 1 - 3 < 0 (fällt)Steigen, dann Fallen → Hochpunkt bei x = 1/3, f(1/3) = 1/3 · e^(-1) = 1/(3e) ≈ 0,123
c)f(x) = x · e^(-4x). Bestimme die Extremstelle und begründe die Art.Produktregel mit u = x, u' = 1 und v = e^(-4x), v' = -4 · e^(-4x) (Kettenregel: innere Ableitung -4)f'(x) = u'v + uv' = 1 · e^(-4x) + x · (-4) · e^(-4x)e^(-4x) ausklammern: f'(x) = e^(-4x) · (1 - 4x)f'(x) = 0: e^(-4x) ist immer > 0, also muss 1 - 4x = 0 sein → x = 1/4Vorzeichen von f' links und rechts: x = 0 → f'(0) = 1 > 0 (steigt); x = 1 → 1 - 4 < 0 (fällt)Steigen, dann Fallen → Hochpunkt bei x = 1/4, f(1/4) = 1/4 · e^(-1) = 1/(4e) ≈ 0,092
Prüfungsteil Analysis. Rechenweg aufschreiben, nicht nur das Ergebnis — im Abitur zählen die Schritte.
b)f(x) = x³ - 48x. Bestimme Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkt.
c)f(x) = x³ - 3x. Bestimme Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkt.
2Fläche berechnen
Reihenfolge: 1. Nullstellen = Grenzen. 2. Stammfunktion F. 3. A = F(b) - F(a). Liegt die Fläche unter der x-Achse, Betrag nehmen. ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
a)Berechne den Inhalt der Fläche, die f(x) = 36 - x² mit der x-Achse einschließt.Grenzen = Nullstellen: 36 - x² = 0 → x² = 36 → x = -6 und x = 6Stammfunktion: F(x) = 36x - x³/3F(6) = 216 - 216/3 = 216 - 72 = 144F(-6) = -216 + 72 = -144A = F(6) - F(-6) = 144 - (-144) = 288Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse (f(0) = 36 > 0), das Integral ist also schon der Flächeninhalt: A = 288 FE
b)Berechne den Inhalt der Fläche, die f(x) = 9 - x² mit der x-Achse einschließt.
3Funktion mit e-Term
Produktregel: (u · v)' = u'v + uv'. (e^(kx))' = k · e^(kx). Danach e-Term ausklammern — er ist nie 0, nur die Klammer kann 0 werden.
a)f(x) = x · e^(-2x). Bestimme die Extremstelle und begründe die Art.Produktregel mit u = x, u' = 1 und v = e^(-2x), v' = -2 · e^(-2x) (Kettenregel: innere Ableitung -2)f'(x) = u'v + uv' = 1 · e^(-2x) + x · (-2) · e^(-2x)e^(-2x) ausklammern: f'(x) = e^(-2x) · (1 - 2x)f'(x) = 0: e^(-2x) ist immer > 0, also muss 1 - 2x = 0 sein → x = 1/2Vorzeichen von f' links und rechts: x = 0 → f'(0) = 1 > 0 (steigt); x = 1 → 1 - 2 < 0 (fällt)Steigen, dann Fallen → Hochpunkt bei x = 1/2, f(1/2) = 1/2 · e^(-1) = 1/(2e) ≈ 0,184
b)f(x) = x · e^(-5x). Bestimme die Extremstelle und begründe die Art.
c)f(x) = x · e^(-4x). Bestimme die Extremstelle und begründe die Art.
4Steckbriefaufgabe
Grad 3 → vier Unbekannte a, b, c, d → vier Bedingungen. Wendepunkt bei x0 heißt f''(x0) = 0, waagerechte Tangente heißt f'(x0) = 0, Punkt heißt f(x0) = y0.
a)Eine Funktion dritten Grades hat in W(0|1) einen Wendepunkt mit der Steigung 9 und bei x = 1 eine waagerechte Tangente. Bestimme die Funktionsgleichung.Ansatz: f(x) = ax³ + bx² + cx + d, f'(x) = 3ax² + 2bx + c, f''(x) = 6ax + 2bAus dem Text vier Bedingungen: f(0) = 1, f''(0) = 0 (Wendepunkt), f'(0) = 9 (Steigung), f'(1) = 0 (waagerechte Tangente)f(0) = d = 1 → d = 1f''(0) = 2b = 0 → b = 0f'(0) = c = 9 → c = 9f'(1) = 3a · 1 + 0 + 9 = 0 → 3a = -9 → a = -3f(x) = -3x³ + 9x + 1Probe: f'(1) = -9 · 1 + 9 = 0 ✓
b)Eine Funktion dritten Grades hat in W(0|-3) einen Wendepunkt mit der Steigung 24 und bei x = 2 eine waagerechte Tangente. Bestimme die Funktionsgleichung.
5Knobelaufgabe
Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.
a)Der Wasserstand eines Beckens wird durch f(t) = -0,5t³ + 3t² beschrieben, t in Stunden. Wann steigt er am schnellsten, wann ist er am höchsten, und wann ist das Becken wieder leer?
Prüfungsteil Analysis. Rechenweg aufschreiben, nicht nur das Ergebnis — im Abitur zählen die Schritte.
Reihenfolge: 1. Nullstellen = Grenzen. 2. Stammfunktion F. 3. A = F(b) - F(a). Liegt die Fläche unter der x-Achse, Betrag nehmen. ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
a)Berechne den Inhalt der Fläche, die f(x) = 36 - x² mit der x-Achse einschließt.Grenzen = Nullstellen: 36 - x² = 0 → x² = 36 → x = -6 und x = 6Stammfunktion: F(x) = 36x - x³/3F(6) = 216 - 216/3 = 216 - 72 = 144F(-6) = -216 + 72 = -144A = F(6) - F(-6) = 144 - (-144) = 288Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse (f(0) = 36 > 0), das Integral ist also schon der Flächeninhalt: A = 288 FE
b)Berechne den Inhalt der Fläche, die f(x) = 9 - x² mit der x-Achse einschließt.Grenzen = Nullstellen: 9 - x² = 0 → x² = 9 → x = -3 und x = 3Stammfunktion: F(x) = 9x - x³/3F(3) = 27 - 27/3 = 27 - 9 = 18F(-3) = -27 + 9 = -18A = F(3) - F(-3) = 18 - (-18) = 36Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse (f(0) = 9 > 0), das Integral ist also schon der Flächeninhalt: A = 36 FE
3Funktion mit e-Term
Produktregel: (u · v)' = u'v + uv'. (e^(kx))' = k · e^(kx). Danach e-Term ausklammern — er ist nie 0, nur die Klammer kann 0 werden.
a)f(x) = x · e^(-2x). Bestimme die Extremstelle und begründe die Art.Produktregel mit u = x, u' = 1 und v = e^(-2x), v' = -2 · e^(-2x) (Kettenregel: innere Ableitung -2)f'(x) = u'v + uv' = 1 · e^(-2x) + x · (-2) · e^(-2x)e^(-2x) ausklammern: f'(x) = e^(-2x) · (1 - 2x)f'(x) = 0: e^(-2x) ist immer > 0, also muss 1 - 2x = 0 sein → x = 1/2Vorzeichen von f' links und rechts: x = 0 → f'(0) = 1 > 0 (steigt); x = 1 → 1 - 2 < 0 (fällt)Steigen, dann Fallen → Hochpunkt bei x = 1/2, f(1/2) = 1/2 · e^(-1) = 1/(2e) ≈ 0,184
b)f(x) = x · e^(-5x). Bestimme die Extremstelle und begründe die Art.Produktregel mit u = x, u' = 1 und v = e^(-5x), v' = -5 · e^(-5x) (Kettenregel: innere Ableitung -5)f'(x) = u'v + uv' = 1 · e^(-5x) + x · (-5) · e^(-5x)e^(-5x) ausklammern: f'(x) = e^(-5x) · (1 - 5x)f'(x) = 0: e^(-5x) ist immer > 0, also muss 1 - 5x = 0 sein → x = 1/5Vorzeichen von f' links und rechts: x = 0 → f'(0) = 1 > 0 (steigt); x = 1 → 1 - 5 < 0 (fällt)Steigen, dann Fallen → Hochpunkt bei x = 1/5, f(1/5) = 1/5 · e^(-1) = 1/(5e) ≈ 0,074
c)f(x) = x · e^(-4x). Bestimme die Extremstelle und begründe die Art.Produktregel mit u = x, u' = 1 und v = e^(-4x), v' = -4 · e^(-4x) (Kettenregel: innere Ableitung -4)f'(x) = u'v + uv' = 1 · e^(-4x) + x · (-4) · e^(-4x)e^(-4x) ausklammern: f'(x) = e^(-4x) · (1 - 4x)f'(x) = 0: e^(-4x) ist immer > 0, also muss 1 - 4x = 0 sein → x = 1/4Vorzeichen von f' links und rechts: x = 0 → f'(0) = 1 > 0 (steigt); x = 1 → 1 - 4 < 0 (fällt)Steigen, dann Fallen → Hochpunkt bei x = 1/4, f(1/4) = 1/4 · e^(-1) = 1/(4e) ≈ 0,092
4Steckbriefaufgabe
Grad 3 → vier Unbekannte a, b, c, d → vier Bedingungen. Wendepunkt bei x0 heißt f''(x0) = 0, waagerechte Tangente heißt f'(x0) = 0, Punkt heißt f(x0) = y0.
a)Eine Funktion dritten Grades hat in W(0|1) einen Wendepunkt mit der Steigung 9 und bei x = 1 eine waagerechte Tangente. Bestimme die Funktionsgleichung.Ansatz: f(x) = ax³ + bx² + cx + d, f'(x) = 3ax² + 2bx + c, f''(x) = 6ax + 2bAus dem Text vier Bedingungen: f(0) = 1, f''(0) = 0 (Wendepunkt), f'(0) = 9 (Steigung), f'(1) = 0 (waagerechte Tangente)f(0) = d = 1 → d = 1f''(0) = 2b = 0 → b = 0f'(0) = c = 9 → c = 9f'(1) = 3a · 1 + 0 + 9 = 0 → 3a = -9 → a = -3f(x) = -3x³ + 9x + 1Probe: f'(1) = -9 · 1 + 9 = 0 ✓
b)Eine Funktion dritten Grades hat in W(0|-3) einen Wendepunkt mit der Steigung 24 und bei x = 2 eine waagerechte Tangente. Bestimme die Funktionsgleichung.Ansatz: f(x) = ax³ + bx² + cx + d, f'(x) = 3ax² + 2bx + c, f''(x) = 6ax + 2bAus dem Text vier Bedingungen: f(0) = -3, f''(0) = 0 (Wendepunkt), f'(0) = 24 (Steigung), f'(2) = 0 (waagerechte Tangente)f(0) = d = -3 → d = -3f''(0) = 2b = 0 → b = 0f'(0) = c = 24 → c = 24f'(2) = 3a · 4 + 0 + 24 = 0 → 12a = -24 → a = -2f(x) = -2x³ + 24x - 3Probe: f'(2) = -6 · 4 + 24 = 0 ✓
5Knobelaufgabe
Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.
a)Der Wasserstand eines Beckens wird durch f(t) = -0,5t³ + 3t² beschrieben, t in Stunden. Wann steigt er am schnellsten, wann ist er am höchsten, und wann ist das Becken wieder leer?f'(t) = -1,5t² + 6t, maximal bei f''(t) = 0, also t = 2 h. Höchster Stand bei f'(t) = 0, also t = 4 h. Leer bei f(t) = 0, also t = 6 h.
Funktion untersuchen: die Schritte
Bilde zuerst f', f'' und f''' — dann hast du alles beisammen. Danach immer dieselbe Reihenfolge: Nullstellen aus f(x) = 0. Extremstellen aus f'(x) = 0; jede Lösung in f'' einsetzen: negativ heißt Hochpunkt, positiv heißt Tiefpunkt; den y-Wert mit f(x) ausrechnen und den Punkt hinschreiben. Wendestelle aus f''(x) = 0, dazu f'''(x) ≠ 0 prüfen und wieder den y-Wert bestimmen.
Erst die Nullstellen bestimmen — sie sind die Grenzen. Dann die Stammfunktion F bilden und A = F(b) - F(a) rechnen. Liegt der Graph zwischen den Grenzen unter der x-Achse, ist das Integral negativ: dann den Betrag nehmen. Wechselt das Vorzeichen zwischen den Grenzen, bei jeder Nullstelle trennen und die Beträge addieren.
Schreibe u und v getrennt auf, leite beide ab (bei e^(kx) die innere Ableitung k nicht vergessen) und setze in u'v + uv' ein. Dann den e-Term ausklammern. Weil e^(…) nie 0 wird, muss nur die Klammer 0 werden — das gibt die Extremstelle. Die Art begründest du mit dem Vorzeichen von f' links und rechts oder mit f''.
f(x) = x · e^(-2x)f'(x) = e^(-2x) + x · (-2) · e^(-2x) = e^(-2x) · (1 - 2x)1 - 2x = 0 → x = 0,5; f' wechselt von + nach - → Hochpunkt
Steckbriefaufgabe
Zähle die Unbekannten: Grad 3 heißt a, b, c, d — also brauchst du vier Bedingungen. Übersetze jede Angabe im Text in eine Gleichung: „Punkt (x0|y0)" heißt f(x0) = y0, „waagerechte Tangente" oder „Extremum bei x0" heißt f'(x0) = 0, „Wendepunkt bei x0" heißt f''(x0) = 0, „Steigung m bei x0" heißt f'(x0) = m. Dann das Gleichungssystem lösen — meist fallen durch x0 = 0 sofort einzelne Werte weg. Am Ende eine Bedingung zur Probe einsetzen.
„Wendepunkt W(0|1) mit Steigung 3, waagerechte Tangente bei x = 1"f(0) = 1, f''(0) = 0, f'(0) = 3, f'(1) = 0d = 1, b = 0, c = 3, 3a + 3 = 0 → a = -1f(x) = -x³ + 3x + 1
Operatoren ernst nehmen
„Berechne" verlangt einen Rechenweg. „Bestimme" lässt jede Methode zu. „Zeige" heißt, dass das Ergebnis vorgegeben ist und du den Weg lieferst. „Begründe" verlangt ein Argument, kein Ergebnis. „Interpretiere" verlangt einen Satz im Kontext mit Einheit. Schreib bei jedem Schritt hin, was du gerade berechnest — die Punkte gibt es für den Weg.