Zufallsgrößen und Erwartungswert

Mathematik · Klasse 11 · mittel

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Das brauchst du

E(X) = Summe aller xi · P(X = xi)Varianz V(X) = Summe aller (xi - E(X))² · P(X = xi)Standardabweichung σ = √V(X)

Der Erwartungswert ist die Summe aus Wert mal Wahrscheinlichkeit. Ein Spiel ist fair, wenn er null ist.

1Erwartungswert des Gewinns?

  1. a)Ein Spiel kostet 6 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/5 gewinnt man 9 Euro, sonst nichts.E = 9 · 1/5 - 6 · 4/5 = -3,00 Euro
  2. b)Ein Spiel kostet 2 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/10 gewinnt man 6 Euro, sonst nichts.
  3. c)Ein Spiel kostet 6 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/10 gewinnt man 9 Euro, sonst nichts.
  4. d)Ein Spiel kostet 2 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/4 gewinnt man 12 Euro, sonst nichts.
  5. e)Ein Spiel kostet 9 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/5 gewinnt man 12 Euro, sonst nichts.

2Erwartungswert?

  1. a)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 1, 2, 1 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.E = (1 + 2 + 1) / 3 = 1,33
  2. b)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 6, 6, 4 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.
  3. c)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 5, 5, 2 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.
  4. d)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 6, 6, 1 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.
  5. e)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 5, 6, 1 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.

Das brauchst du

E(X) = Summe aller xi · P(X = xi)Varianz V(X) = Summe aller (xi - E(X))² · P(X = xi)Standardabweichung σ = √V(X)

Der Erwartungswert ist die Summe aus Wert mal Wahrscheinlichkeit. Ein Spiel ist fair, wenn er null ist.

1Erwartungswert des Gewinns?

  1. a)Ein Spiel kostet 6 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/5 gewinnt man 9 Euro, sonst nichts.E = 9 · 1/5 - 6 · 4/5 = -3,00 Euro
  2. b)Ein Spiel kostet 2 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/10 gewinnt man 6 Euro, sonst nichts.E = 6 · 1/10 - 2 · 9/10 = -1,20 Euro
  3. c)Ein Spiel kostet 6 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/10 gewinnt man 9 Euro, sonst nichts.E = 9 · 1/10 - 6 · 9/10 = -4,50 Euro
  4. d)Ein Spiel kostet 2 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/4 gewinnt man 12 Euro, sonst nichts.E = 12 · 1/4 - 2 · 3/4 = 1,50 Euro
  5. e)Ein Spiel kostet 9 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/5 gewinnt man 12 Euro, sonst nichts.E = 12 · 1/5 - 9 · 4/5 = -4,80 Euro

2Erwartungswert?

  1. a)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 1, 2, 1 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.E = (1 + 2 + 1) / 3 = 1,33
  2. b)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 6, 6, 4 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.E = (6 + 6 + 4) / 3 = 5,33
  3. c)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 5, 5, 2 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.E = (5 + 5 + 2) / 3 = 4,00
  4. d)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 6, 6, 1 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.E = (6 + 6 + 1) / 3 = 4,33
  5. e)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 5, 6, 1 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.E = (5 + 6 + 1) / 3 = 4,00

Das brauchst du

E(X) = Summe aller xi · P(X = xi)Varianz V(X) = Summe aller (xi - E(X))² · P(X = xi)Standardabweichung σ = √V(X)

Der Erwartungswert ist die Summe aus Wert mal Wahrscheinlichkeit. Ein Spiel ist fair, wenn er null ist.

1Erwartungswert des Gewinns?

  1. a)Ein Spiel kostet 9 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/10 gewinnt man 6 Euro, sonst nichts.E = 6 · 1/10 - 9 · 9/10 = -7,50 Euro
  2. b)Ein Spiel kostet 4 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/5 gewinnt man 3 Euro, sonst nichts.
  3. c)Ein Spiel kostet 4 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/5 gewinnt man 2 Euro, sonst nichts.
  4. d)Ein Spiel kostet 6 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/2 gewinnt man 10 Euro, sonst nichts.
  5. e)Ein Spiel kostet 4 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/5 gewinnt man 4 Euro, sonst nichts.

2Erwartungswert?

  1. a)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 6, 3, 2 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.E = (6 + 3 + 2) / 3 = 3,67
  2. b)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 5, 1, 4 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.
  3. c)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 1, 6, 3 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.
  4. d)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 3, 4, 1 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.
  5. e)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 3, 5, 2 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.

3Faires Spiel

  1. a)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 1 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?Fair heißt E = 0: G · 1/4 = 1 · 3/4, also G = 3 Euro (zusätzlich zum Einsatz).
  2. b)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 3 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?
  3. c)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 2 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?
  4. d)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 5 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?

Das brauchst du

E(X) = Summe aller xi · P(X = xi)Varianz V(X) = Summe aller (xi - E(X))² · P(X = xi)Standardabweichung σ = √V(X)

Der Erwartungswert ist die Summe aus Wert mal Wahrscheinlichkeit. Ein Spiel ist fair, wenn er null ist.

1Erwartungswert des Gewinns?

  1. a)Ein Spiel kostet 9 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/10 gewinnt man 6 Euro, sonst nichts.E = 6 · 1/10 - 9 · 9/10 = -7,50 Euro
  2. b)Ein Spiel kostet 4 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/5 gewinnt man 3 Euro, sonst nichts.E = 3 · 1/5 - 4 · 4/5 = -2,60 Euro
  3. c)Ein Spiel kostet 4 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/5 gewinnt man 2 Euro, sonst nichts.E = 2 · 1/5 - 4 · 4/5 = -2,80 Euro
  4. d)Ein Spiel kostet 6 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/2 gewinnt man 10 Euro, sonst nichts.E = 10 · 1/2 - 6 · 1/2 = 2,00 Euro
  5. e)Ein Spiel kostet 4 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/5 gewinnt man 4 Euro, sonst nichts.E = 4 · 1/5 - 4 · 4/5 = -2,40 Euro

2Erwartungswert?

  1. a)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 6, 3, 2 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.E = (6 + 3 + 2) / 3 = 3,67
  2. b)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 5, 1, 4 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.E = (5 + 1 + 4) / 3 = 3,33
  3. c)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 1, 6, 3 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.E = (1 + 6 + 3) / 3 = 3,33
  4. d)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 3, 4, 1 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.E = (3 + 4 + 1) / 3 = 2,67
  5. e)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 3, 5, 2 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.E = (3 + 5 + 2) / 3 = 3,33

3Faires Spiel

  1. a)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 1 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?Fair heißt E = 0: G · 1/4 = 1 · 3/4, also G = 3 Euro (zusätzlich zum Einsatz).
  2. b)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 3 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?Fair heißt E = 0: G · 1/4 = 3 · 3/4, also G = 9 Euro (zusätzlich zum Einsatz).
  3. c)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 2 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?Fair heißt E = 0: G · 1/4 = 2 · 3/4, also G = 6 Euro (zusätzlich zum Einsatz).
  4. d)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 5 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?Fair heißt E = 0: G · 1/4 = 5 · 3/4, also G = 15 Euro (zusätzlich zum Einsatz).

Das brauchst du

E(X) = Summe aller xi · P(X = xi)Varianz V(X) = Summe aller (xi - E(X))² · P(X = xi)Standardabweichung σ = √V(X)

Der Erwartungswert ist die Summe aus Wert mal Wahrscheinlichkeit. Ein Spiel ist fair, wenn er null ist.

1Erwartungswert des Gewinns?

  1. a)Ein Spiel kostet 9 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/4 gewinnt man 8 Euro, sonst nichts.E = 8 · 1/4 - 9 · 3/4 = -4,75 Euro
  2. b)Ein Spiel kostet 4 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/10 gewinnt man 11 Euro, sonst nichts.
  3. c)Ein Spiel kostet 6 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/4 gewinnt man 10 Euro, sonst nichts.
  4. d)Ein Spiel kostet 8 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/4 gewinnt man 3 Euro, sonst nichts.
  5. e)Ein Spiel kostet 4 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/10 gewinnt man 8 Euro, sonst nichts.

2Erwartungswert?

  1. a)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 6, 2, 5 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.E = (6 + 2 + 5) / 3 = 4,33
  2. b)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 1, 1, 1 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.
  3. c)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 6, 1, 2 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.
  4. d)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 1, 2, 3 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.
  5. e)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 6, 1, 3 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.

3Faires Spiel

  1. a)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 2 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?Fair heißt E = 0: G · 1/4 = 2 · 3/4, also G = 6 Euro (zusätzlich zum Einsatz).
  2. b)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 4 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?
  3. c)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 3 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?
  4. d)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 1 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?

4Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung?

  1. a)Eine Zufallsgröße nimmt 3 und 8 mit je 1/2 an.E = 5,5, Var = 6,25, Standardabweichung = 2,500
  2. b)Eine Zufallsgröße nimmt 4 und 10 mit je 1/2 an.
  3. c)Eine Zufallsgröße nimmt 1 und 6 mit je 1/2 an.
  4. d)Eine Zufallsgröße nimmt 3 und 9 mit je 1/2 an.

5Knobelaufgabe

Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.

  1. a)Entwirf ein Würfelspiel mit Einsatz und Gewinn, das für den Anbieter im Schnitt 0,50 € pro Spiel abwirft. Zeige die Rechnung.

Das brauchst du

E(X) = Summe aller xi · P(X = xi)Varianz V(X) = Summe aller (xi - E(X))² · P(X = xi)Standardabweichung σ = √V(X)

Der Erwartungswert ist die Summe aus Wert mal Wahrscheinlichkeit. Ein Spiel ist fair, wenn er null ist.

1Erwartungswert des Gewinns?

  1. a)Ein Spiel kostet 9 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/4 gewinnt man 8 Euro, sonst nichts.E = 8 · 1/4 - 9 · 3/4 = -4,75 Euro
  2. b)Ein Spiel kostet 4 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/10 gewinnt man 11 Euro, sonst nichts.E = 11 · 1/10 - 4 · 9/10 = -2,50 Euro
  3. c)Ein Spiel kostet 6 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/4 gewinnt man 10 Euro, sonst nichts.E = 10 · 1/4 - 6 · 3/4 = -2,00 Euro
  4. d)Ein Spiel kostet 8 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/4 gewinnt man 3 Euro, sonst nichts.E = 3 · 1/4 - 8 · 3/4 = -5,25 Euro
  5. e)Ein Spiel kostet 4 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/10 gewinnt man 8 Euro, sonst nichts.E = 8 · 1/10 - 4 · 9/10 = -2,80 Euro

2Erwartungswert?

  1. a)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 6, 2, 5 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.E = (6 + 2 + 5) / 3 = 4,33
  2. b)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 1, 1, 1 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.E = (1 + 1 + 1) / 3 = 1,00
  3. c)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 6, 1, 2 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.E = (6 + 1 + 2) / 3 = 3,00
  4. d)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 1, 2, 3 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.E = (1 + 2 + 3) / 3 = 2,00
  5. e)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 6, 1, 3 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an.E = (6 + 1 + 3) / 3 = 3,33

3Faires Spiel

  1. a)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 2 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?Fair heißt E = 0: G · 1/4 = 2 · 3/4, also G = 6 Euro (zusätzlich zum Einsatz).
  2. b)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 4 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?Fair heißt E = 0: G · 1/4 = 4 · 3/4, also G = 12 Euro (zusätzlich zum Einsatz).
  3. c)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 3 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?Fair heißt E = 0: G · 1/4 = 3 · 3/4, also G = 9 Euro (zusätzlich zum Einsatz).
  4. d)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 1 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?Fair heißt E = 0: G · 1/4 = 1 · 3/4, also G = 3 Euro (zusätzlich zum Einsatz).

4Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung?

  1. a)Eine Zufallsgröße nimmt 3 und 8 mit je 1/2 an.E = 5,5, Var = 6,25, Standardabweichung = 2,500
  2. b)Eine Zufallsgröße nimmt 4 und 10 mit je 1/2 an.E = 7,0, Var = 9,00, Standardabweichung = 3,000
  3. c)Eine Zufallsgröße nimmt 1 und 6 mit je 1/2 an.E = 3,5, Var = 6,25, Standardabweichung = 2,500
  4. d)Eine Zufallsgröße nimmt 3 und 9 mit je 1/2 an.E = 6,0, Var = 9,00, Standardabweichung = 3,000

5Knobelaufgabe

Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.

  1. a)Entwirf ein Würfelspiel mit Einsatz und Gewinn, das für den Anbieter im Schnitt 0,50 € pro Spiel abwirft. Zeige die Rechnung.Zum Beispiel Einsatz 2 €, bei einer 6 gibt es 9 € zurück. Erwartungswert für den Spieler: 9 · 1/6 - 2 = -0,50 €, also 0,50 € für den Anbieter.

Was eine Zufallsgröße ist

Sie ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsversuchs eine Zahl zu — etwa den Gewinn bei einem Spiel. Die Tabelle mit allen Werten und ihren Wahrscheinlichkeiten heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Der Erwartungswert

Jeder Wert mal seine Wahrscheinlichkeit, alles addiert. Er sagt, was man auf lange Sicht im Mittel pro Durchgang erwarten kann.

Gewinn 5 € mit p = 0,1, sonst -1 €E(X) = 5 · 0,1 + (-1) · 0,9 = -0,40 €Im Mittel verliert man 40 Cent pro Spiel.

Faire Spiele und Streuung

Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns 0 ist. Die Standardabweichung sagt zusätzlich, wie stark die Ergebnisse um den Erwartungswert schwanken.

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