Vektoren im Raum

Mathematik · Klasse 11 · mittel

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Das brauchst du

Vektor von A nach B: AB = B - ALänge: |v| = √(v1² + v2² + v3²)Mittelpunkt: M = 1/2 · (A + B)

Ein Vektor von A nach B ist B minus A. Der Betrag ist √(x² + y² + z²).

1Vektor von A nach B?

  1. a)A(-2|5|1), B(-5|-3|6).AB = B - A = (-3|-8|5)
  2. b)A(-5|4|-2), B(4|6|-1).
  3. c)A(2|6|-4), B(0|-4|-2).
  4. d)A(-6|-5|-3), B(1|-3|0).
  5. e)A(5|-6|-1), B(5|-6|-5).
  6. f)A(1|6|-4), B(-1|-6|-5).
  7. g)A(5|5|0), B(4|-1|-2).
  8. h)A(3|3|-4), B(1|-4|6).

2Betrag

  1. a)Betrag des Vektors (-1|4|8)?√(1 + 16 + 64) = √81 = 9
  2. b)Betrag des Vektors (1|2|2)?
  3. c)Betrag des Vektors (-4|4|7)?
  4. d)Betrag des Vektors (-2|6|9)?
  5. e)Betrag des Vektors (2|3|6)?
  6. f)Betrag des Vektors (4|4|7)?
  7. g)Betrag des Vektors (2|6|9)?
  8. h)Betrag des Vektors (-2|3|6)?

Das brauchst du

Vektor von A nach B: AB = B - ALänge: |v| = √(v1² + v2² + v3²)Mittelpunkt: M = 1/2 · (A + B)

Ein Vektor von A nach B ist B minus A. Der Betrag ist √(x² + y² + z²).

1Vektor von A nach B?

  1. a)A(-2|5|1), B(-5|-3|6).AB = B - A = (-3|-8|5)
  2. b)A(-5|4|-2), B(4|6|-1).AB = B - A = (9|2|1)
  3. c)A(2|6|-4), B(0|-4|-2).AB = B - A = (-2|-10|2)
  4. d)A(-6|-5|-3), B(1|-3|0).AB = B - A = (7|2|3)
  5. e)A(5|-6|-1), B(5|-6|-5).AB = B - A = (0|0|-4)
  6. f)A(1|6|-4), B(-1|-6|-5).AB = B - A = (-2|-12|-1)
  7. g)A(5|5|0), B(4|-1|-2).AB = B - A = (-1|-6|-2)
  8. h)A(3|3|-4), B(1|-4|6).AB = B - A = (-2|-7|10)

2Betrag

  1. a)Betrag des Vektors (-1|4|8)?√(1 + 16 + 64) = √81 = 9
  2. b)Betrag des Vektors (1|2|2)?√(1 + 4 + 4) = √9 = 3
  3. c)Betrag des Vektors (-4|4|7)?√(16 + 16 + 49) = √81 = 9
  4. d)Betrag des Vektors (-2|6|9)?√(4 + 36 + 81) = √121 = 11
  5. e)Betrag des Vektors (2|3|6)?√(4 + 9 + 36) = √49 = 7
  6. f)Betrag des Vektors (4|4|7)?√(16 + 16 + 49) = √81 = 9
  7. g)Betrag des Vektors (2|6|9)?√(4 + 36 + 81) = √121 = 11
  8. h)Betrag des Vektors (-2|3|6)?√(4 + 9 + 36) = √49 = 7

Das brauchst du

Vektor von A nach B: AB = B - ALänge: |v| = √(v1² + v2² + v3²)Mittelpunkt: M = 1/2 · (A + B)

Ein Vektor von A nach B ist B minus A. Der Betrag ist √(x² + y² + z²).

1Vektor von A nach B?

  1. a)A(3|-6|4), B(-5|6|-6).AB = B - A = (-8|12|-10)
  2. b)A(4|-1|6), B(-6|2|-6).
  3. c)A(5|-6|-5), B(0|-1|5).
  4. d)A(0|-3|5), B(-6|-3|-4).
  5. e)A(5|-5|-2), B(0|2|-4).
  6. f)A(-6|5|-6), B(5|-2|-6).

2Betrag

  1. a)Betrag des Vektors (-1|2|2)?√(1 + 4 + 4) = √9 = 3
  2. b)Betrag des Vektors (1|2|2)?
  3. c)Betrag des Vektors (4|4|7)?
  4. d)Betrag des Vektors (-2|3|6)?
  5. e)Betrag des Vektors (2|3|6)?
  6. f)Betrag des Vektors (-2|6|9)?

3Addieren und strecken

  1. a)(-2|-4|-4) + 2 · (-3|6|1) =Komponentenweise rechnen: (-8|8|-2)
  2. b)(2|0|6) + 3 · (-4|0|5) =
  3. c)(4|-4|6) + 3 · (4|0|-5) =
  4. d)(-5|-5|1) + 3 · (-5|-3|-2) =
  5. e)(4|5|-4) + 4 · (4|2|5) =

Das brauchst du

Vektor von A nach B: AB = B - ALänge: |v| = √(v1² + v2² + v3²)Mittelpunkt: M = 1/2 · (A + B)

Ein Vektor von A nach B ist B minus A. Der Betrag ist √(x² + y² + z²).

1Vektor von A nach B?

  1. a)A(3|-6|4), B(-5|6|-6).AB = B - A = (-8|12|-10)
  2. b)A(4|-1|6), B(-6|2|-6).AB = B - A = (-10|3|-12)
  3. c)A(5|-6|-5), B(0|-1|5).AB = B - A = (-5|5|10)
  4. d)A(0|-3|5), B(-6|-3|-4).AB = B - A = (-6|0|-9)
  5. e)A(5|-5|-2), B(0|2|-4).AB = B - A = (-5|7|-2)
  6. f)A(-6|5|-6), B(5|-2|-6).AB = B - A = (11|-7|0)

2Betrag

  1. a)Betrag des Vektors (-1|2|2)?√(1 + 4 + 4) = √9 = 3
  2. b)Betrag des Vektors (1|2|2)?√(1 + 4 + 4) = √9 = 3
  3. c)Betrag des Vektors (4|4|7)?√(16 + 16 + 49) = √81 = 9
  4. d)Betrag des Vektors (-2|3|6)?√(4 + 9 + 36) = √49 = 7
  5. e)Betrag des Vektors (2|3|6)?√(4 + 9 + 36) = √49 = 7
  6. f)Betrag des Vektors (-2|6|9)?√(4 + 36 + 81) = √121 = 11

3Addieren und strecken

  1. a)(-2|-4|-4) + 2 · (-3|6|1) =Komponentenweise rechnen: (-8|8|-2)
  2. b)(2|0|6) + 3 · (-4|0|5) =Komponentenweise rechnen: (-10|0|21)
  3. c)(4|-4|6) + 3 · (4|0|-5) =Komponentenweise rechnen: (16|-4|-9)
  4. d)(-5|-5|1) + 3 · (-5|-3|-2) =Komponentenweise rechnen: (-20|-14|-5)
  5. e)(4|5|-4) + 4 · (4|2|5) =Komponentenweise rechnen: (20|13|16)

Das brauchst du

Vektor von A nach B: AB = B - ALänge: |v| = √(v1² + v2² + v3²)Mittelpunkt: M = 1/2 · (A + B)

Ein Vektor von A nach B ist B minus A. Der Betrag ist √(x² + y² + z²).

1Vektor von A nach B?

  1. a)A(-6|-2|-4), B(1|4|5).AB = B - A = (7|6|9)
  2. b)A(-2|0|4), B(0|6|2).
  3. c)A(-6|-3|6), B(5|-6|-4).
  4. d)A(4|0|-6), B(5|2|-4).
  5. e)A(-2|4|-3), B(-3|-1|-3).
  6. f)A(-6|0|6), B(2|1|4).

2Betrag

  1. a)Betrag des Vektors (-2|3|6)?√(4 + 9 + 36) = √49 = 7
  2. b)Betrag des Vektors (2|3|6)?
  3. c)Betrag des Vektors (-4|4|7)?
  4. d)Betrag des Vektors (2|6|9)?
  5. e)Betrag des Vektors (1|2|2)?
  6. f)Betrag des Vektors (3|4|12)?

3Addieren und strecken

  1. a)(-1|-3|4) + 3 · (3|1|-2) =Komponentenweise rechnen: (8|0|-2)
  2. b)(0|-5|-4) + 4 · (6|2|5) =
  3. c)(-3|-4|0) + 3 · (-2|1|6) =
  4. d)(5|3|1) + 3 · (4|0|3) =
  5. e)(-2|-5|0) + 3 · (6|2|4) =

4Kollinearität prüfen

  1. a)Sind (2|4|-6) und (8|16|-24) kollinear?Ja, der zweite Vektor ist das 4-fache des ersten.
  2. b)Sind (-5|4|-1) und (-10|8|-1) kollinear?
  3. c)Sind (2|1|5) und (4|2|10) kollinear?
  4. d)Sind (-3|4|3) und (-6|8|6) kollinear?
  5. e)Sind (-4|3|1) und (-16|12|4) kollinear?

5Zeichne

  1. a)Skizziere einen Würfel mit der Kantenlänge 4 in einem Koordinatensystem, eine Ecke im Ursprung. Trage den Vektor der Raumdiagonale ein und berechne seine Länge.

Das brauchst du

Vektor von A nach B: AB = B - ALänge: |v| = √(v1² + v2² + v3²)Mittelpunkt: M = 1/2 · (A + B)

Ein Vektor von A nach B ist B minus A. Der Betrag ist √(x² + y² + z²).

1Vektor von A nach B?

  1. a)A(-6|-2|-4), B(1|4|5).AB = B - A = (7|6|9)
  2. b)A(-2|0|4), B(0|6|2).AB = B - A = (2|6|-2)
  3. c)A(-6|-3|6), B(5|-6|-4).AB = B - A = (11|-3|-10)
  4. d)A(4|0|-6), B(5|2|-4).AB = B - A = (1|2|2)
  5. e)A(-2|4|-3), B(-3|-1|-3).AB = B - A = (-1|-5|0)
  6. f)A(-6|0|6), B(2|1|4).AB = B - A = (8|1|-2)

2Betrag

  1. a)Betrag des Vektors (-2|3|6)?√(4 + 9 + 36) = √49 = 7
  2. b)Betrag des Vektors (2|3|6)?√(4 + 9 + 36) = √49 = 7
  3. c)Betrag des Vektors (-4|4|7)?√(16 + 16 + 49) = √81 = 9
  4. d)Betrag des Vektors (2|6|9)?√(4 + 36 + 81) = √121 = 11
  5. e)Betrag des Vektors (1|2|2)?√(1 + 4 + 4) = √9 = 3
  6. f)Betrag des Vektors (3|4|12)?√(9 + 16 + 144) = √169 = 13

3Addieren und strecken

  1. a)(-1|-3|4) + 3 · (3|1|-2) =Komponentenweise rechnen: (8|0|-2)
  2. b)(0|-5|-4) + 4 · (6|2|5) =Komponentenweise rechnen: (24|3|16)
  3. c)(-3|-4|0) + 3 · (-2|1|6) =Komponentenweise rechnen: (-9|-1|18)
  4. d)(5|3|1) + 3 · (4|0|3) =Komponentenweise rechnen: (17|3|10)
  5. e)(-2|-5|0) + 3 · (6|2|4) =Komponentenweise rechnen: (16|1|12)

4Kollinearität prüfen

  1. a)Sind (2|4|-6) und (8|16|-24) kollinear?Ja, der zweite Vektor ist das 4-fache des ersten.
  2. b)Sind (-5|4|-1) und (-10|8|-1) kollinear?Nein, in der dritten Komponente passt der Faktor 2 nicht.
  3. c)Sind (2|1|5) und (4|2|10) kollinear?Ja, der zweite Vektor ist das 2-fache des ersten.
  4. d)Sind (-3|4|3) und (-6|8|6) kollinear?Ja, der zweite Vektor ist das 2-fache des ersten.
  5. e)Sind (-4|3|1) und (-16|12|4) kollinear?Ja, der zweite Vektor ist das 4-fache des ersten.

5Zeichne

  1. a)Skizziere einen Würfel mit der Kantenlänge 4 in einem Koordinatensystem, eine Ecke im Ursprung. Trage den Vektor der Raumdiagonale ein und berechne seine Länge.
Diagonale (4|4|4), Länge √48 = 4√3 ≈ 6,93.

Punkt und Vektor

Ein Punkt ist ein Ort, ein Vektor eine Verschiebung. Den Vektor von A nach B bekommst du, indem du A von B abziehst — Spitze minus Fuß.

A(1 | 2 | 0), B(4 | 6 | 0)AB = (3, 4, 0)

Länge eines Vektors

Das ist Pythagoras in drei Dimensionen. Damit berechnest du Abstände zwischen Punkten.

|v| = √(v1² + v2² + v3²)|(3, 4, 0)| = √25 = 5

Rechnen mit Vektoren

Addieren heißt Verschiebungen hintereinander ausführen. Mit einer Zahl multiplizieren streckt oder staucht. Zwei Vektoren sind parallel, wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist.

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