Abi-Training: Analytische Geometrie

Mathematik · Klasse 12 · mittel

Abiturvorbereitung
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Prüfungsteil Analytische Geometrie. Skizze hilft, auch wenn sie nicht verlangt ist.

1Gerade und Abstand

Gerade durch A und B: g: x = a + t · (b - a). Abstand zweier Punkte = Länge des Verbindungsvektors: |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²)

  1. a)A(3|1|-5), B(-1|5|2). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.Richtungsvektor = Zielpunkt minus Startpunkt: AB = B - A = (-1 - (3) | 5 - (1) | 2 - (-5)) = (-4|4|7)Geradengleichung (Stützpunkt A, Richtung AB): g: x = (3|1|-5) + t · (-4|4|7)Abstand = Länge des Richtungsvektors: |AB| = √((-4)² + (4)² + (7)²)= √(16 + 16 + 49) = √81 = 9Probe: t = 1 einsetzen ergibt B(-1|5|2) ✓
  2. b)A(-5|-5|0), B(-3|-2|6). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.
  3. c)A(3|3|-5), B(1|9|4). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.

2Spurpunkte einer Ebene

Spurpunkt auf einer Achse: die beiden anderen Koordinaten 0 setzen, nach der übrigen auflösen.

  1. a)Ebene E: 2x1 + 2x2 + 4x3 = 32. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.Ein Spurpunkt liegt auf einer Achse — dort sind die beiden anderen Koordinaten 0.x₁-Achse (x₂ = x₃ = 0): 2x₁ = 32 → x₁ = 16 → S₁(16|0|0)x₂-Achse (x₁ = x₃ = 0): 2x₂ = 32 → x₂ = 16 → S₂(0|16|0)x₃-Achse (x₁ = x₂ = 0): 4x₃ = 32 → x₃ = 8 → S₃(0|0|8)Probe: S₁ in E: 2 · 16 + 0 + 0 = 32 ✓
  2. b)Ebene E: x1 + x2 + 4x3 = 4. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.
  3. c)Ebene E: 3x1 + 3x2 + x3 = 18. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.

Prüfungsteil Analytische Geometrie. Skizze hilft, auch wenn sie nicht verlangt ist.

1Gerade und Abstand

Gerade durch A und B: g: x = a + t · (b - a). Abstand zweier Punkte = Länge des Verbindungsvektors: |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²)

  1. a)A(3|1|-5), B(-1|5|2). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.Richtungsvektor = Zielpunkt minus Startpunkt: AB = B - A = (-1 - (3) | 5 - (1) | 2 - (-5)) = (-4|4|7)Geradengleichung (Stützpunkt A, Richtung AB): g: x = (3|1|-5) + t · (-4|4|7)Abstand = Länge des Richtungsvektors: |AB| = √((-4)² + (4)² + (7)²)= √(16 + 16 + 49) = √81 = 9Probe: t = 1 einsetzen ergibt B(-1|5|2) ✓
  2. b)A(-5|-5|0), B(-3|-2|6). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.Richtungsvektor = Zielpunkt minus Startpunkt: AB = B - A = (-3 - (-5) | -2 - (-5) | 6 - (0)) = (2|3|6)Geradengleichung (Stützpunkt A, Richtung AB): g: x = (-5|-5|0) + t · (2|3|6)Abstand = Länge des Richtungsvektors: |AB| = √((2)² + (3)² + (6)²)= √(4 + 9 + 36) = √49 = 7Probe: t = 1 einsetzen ergibt B(-3|-2|6) ✓
  3. c)A(3|3|-5), B(1|9|4). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.Richtungsvektor = Zielpunkt minus Startpunkt: AB = B - A = (1 - (3) | 9 - (3) | 4 - (-5)) = (-2|6|9)Geradengleichung (Stützpunkt A, Richtung AB): g: x = (3|3|-5) + t · (-2|6|9)Abstand = Länge des Richtungsvektors: |AB| = √((-2)² + (6)² + (9)²)= √(4 + 36 + 81) = √121 = 11Probe: t = 1 einsetzen ergibt B(1|9|4) ✓

2Spurpunkte einer Ebene

Spurpunkt auf einer Achse: die beiden anderen Koordinaten 0 setzen, nach der übrigen auflösen.

  1. a)Ebene E: 2x1 + 2x2 + 4x3 = 32. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.Ein Spurpunkt liegt auf einer Achse — dort sind die beiden anderen Koordinaten 0.x₁-Achse (x₂ = x₃ = 0): 2x₁ = 32 → x₁ = 16 → S₁(16|0|0)x₂-Achse (x₁ = x₃ = 0): 2x₂ = 32 → x₂ = 16 → S₂(0|16|0)x₃-Achse (x₁ = x₂ = 0): 4x₃ = 32 → x₃ = 8 → S₃(0|0|8)Probe: S₁ in E: 2 · 16 + 0 + 0 = 32 ✓
  2. b)Ebene E: x1 + x2 + 4x3 = 4. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.Ein Spurpunkt liegt auf einer Achse — dort sind die beiden anderen Koordinaten 0.x₁-Achse (x₂ = x₃ = 0): 1x₁ = 4 → x₁ = 4 → S₁(4|0|0)x₂-Achse (x₁ = x₃ = 0): 1x₂ = 4 → x₂ = 4 → S₂(0|4|0)x₃-Achse (x₁ = x₂ = 0): 4x₃ = 4 → x₃ = 1 → S₃(0|0|1)Probe: S₁ in E: 1 · 4 + 0 + 0 = 4 ✓
  3. c)Ebene E: 3x1 + 3x2 + x3 = 18. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.Ein Spurpunkt liegt auf einer Achse — dort sind die beiden anderen Koordinaten 0.x₁-Achse (x₂ = x₃ = 0): 3x₁ = 18 → x₁ = 6 → S₁(6|0|0)x₂-Achse (x₁ = x₃ = 0): 3x₂ = 18 → x₂ = 6 → S₂(0|6|0)x₃-Achse (x₁ = x₂ = 0): 1x₃ = 18 → x₃ = 18 → S₃(0|0|18)Probe: S₁ in E: 3 · 6 + 0 + 0 = 18 ✓

Prüfungsteil Analytische Geometrie. Skizze hilft, auch wenn sie nicht verlangt ist.

1Gerade und Abstand

Gerade durch A und B: g: x = a + t · (b - a). Abstand zweier Punkte = Länge des Verbindungsvektors: |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²)

  1. a)A(-6|5|-3), B(-2|1|4). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.Richtungsvektor = Zielpunkt minus Startpunkt: AB = B - A = (-2 - (-6) | 1 - (5) | 4 - (-3)) = (4|-4|7)Geradengleichung (Stützpunkt A, Richtung AB): g: x = (-6|5|-3) + t · (4|-4|7)Abstand = Länge des Richtungsvektors: |AB| = √((4)² + (-4)² + (7)²)= √(16 + 16 + 49) = √81 = 9Probe: t = 1 einsetzen ergibt B(-2|1|4) ✓
  2. b)A(-3|3|-3), B(3|-3|4). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.
  3. c)A(0|6|-4), B(4|10|3). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.

2Spurpunkte einer Ebene

Spurpunkt auf einer Achse: die beiden anderen Koordinaten 0 setzen, nach der übrigen auflösen.

  1. a)Ebene E: 2x1 + 2x2 + 2x3 = 24. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.Ein Spurpunkt liegt auf einer Achse — dort sind die beiden anderen Koordinaten 0.x₁-Achse (x₂ = x₃ = 0): 2x₁ = 24 → x₁ = 12 → S₁(12|0|0)x₂-Achse (x₁ = x₃ = 0): 2x₂ = 24 → x₂ = 12 → S₂(0|12|0)x₃-Achse (x₁ = x₂ = 0): 2x₃ = 24 → x₃ = 12 → S₃(0|0|12)Probe: S₁ in E: 2 · 12 + 0 + 0 = 24 ✓
  2. b)Ebene E: 2x1 + 2x2 + 2x3 = 8. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.
  3. c)Ebene E: x1 + 2x2 + x3 = 6. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.

3Abstand Punkt zu Ebene

Abstand = |n · p - d| / |n| (Hessesche Normalform). n sind die Koeffizienten der Ebene, d die rechte Seite, p der Punkt.

  1. a)Bestimme den Abstand von P(1|0|-4) zur Ebene 4x1 + 4x2 + 7x3 = -42.Normalenvektor aus den Koeffizienten ablesen: n = (4|4|7), rechte Seite d = -42Formel (Hessesche Normalform): Abstand = |n · p - d| / |n||n| = √(4² + 4² + 7²) = √(16 + 16 + 49) = √81 = 9n · p = 4 · (1) + 4 · (0) + 7 · (-4) = 4 + 0 - 28 = -24n · p - d = -24 - (-42) = 18Abstand = |18| / 9 = 2 LE
  2. b)Bestimme den Abstand von P(-6|-5|6) zur Ebene 2x1 + 3x2 + 6x3 = -12.
  3. c)Bestimme den Abstand von P(5|0|-2) zur Ebene x1 + 2x2 + 2x3 = -2.

Prüfungsteil Analytische Geometrie. Skizze hilft, auch wenn sie nicht verlangt ist.

1Gerade und Abstand

Gerade durch A und B: g: x = a + t · (b - a). Abstand zweier Punkte = Länge des Verbindungsvektors: |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²)

  1. a)A(-6|5|-3), B(-2|1|4). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.Richtungsvektor = Zielpunkt minus Startpunkt: AB = B - A = (-2 - (-6) | 1 - (5) | 4 - (-3)) = (4|-4|7)Geradengleichung (Stützpunkt A, Richtung AB): g: x = (-6|5|-3) + t · (4|-4|7)Abstand = Länge des Richtungsvektors: |AB| = √((4)² + (-4)² + (7)²)= √(16 + 16 + 49) = √81 = 9Probe: t = 1 einsetzen ergibt B(-2|1|4) ✓
  2. b)A(-3|3|-3), B(3|-3|4). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.Richtungsvektor = Zielpunkt minus Startpunkt: AB = B - A = (3 - (-3) | -3 - (3) | 4 - (-3)) = (6|-6|7)Geradengleichung (Stützpunkt A, Richtung AB): g: x = (-3|3|-3) + t · (6|-6|7)Abstand = Länge des Richtungsvektors: |AB| = √((6)² + (-6)² + (7)²)= √(36 + 36 + 49) = √121 = 11Probe: t = 1 einsetzen ergibt B(3|-3|4) ✓
  3. c)A(0|6|-4), B(4|10|3). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.Richtungsvektor = Zielpunkt minus Startpunkt: AB = B - A = (4 - (0) | 10 - (6) | 3 - (-4)) = (4|4|7)Geradengleichung (Stützpunkt A, Richtung AB): g: x = (0|6|-4) + t · (4|4|7)Abstand = Länge des Richtungsvektors: |AB| = √((4)² + (4)² + (7)²)= √(16 + 16 + 49) = √81 = 9Probe: t = 1 einsetzen ergibt B(4|10|3) ✓

2Spurpunkte einer Ebene

Spurpunkt auf einer Achse: die beiden anderen Koordinaten 0 setzen, nach der übrigen auflösen.

  1. a)Ebene E: 2x1 + 2x2 + 2x3 = 24. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.Ein Spurpunkt liegt auf einer Achse — dort sind die beiden anderen Koordinaten 0.x₁-Achse (x₂ = x₃ = 0): 2x₁ = 24 → x₁ = 12 → S₁(12|0|0)x₂-Achse (x₁ = x₃ = 0): 2x₂ = 24 → x₂ = 12 → S₂(0|12|0)x₃-Achse (x₁ = x₂ = 0): 2x₃ = 24 → x₃ = 12 → S₃(0|0|12)Probe: S₁ in E: 2 · 12 + 0 + 0 = 24 ✓
  2. b)Ebene E: 2x1 + 2x2 + 2x3 = 8. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.Ein Spurpunkt liegt auf einer Achse — dort sind die beiden anderen Koordinaten 0.x₁-Achse (x₂ = x₃ = 0): 2x₁ = 8 → x₁ = 4 → S₁(4|0|0)x₂-Achse (x₁ = x₃ = 0): 2x₂ = 8 → x₂ = 4 → S₂(0|4|0)x₃-Achse (x₁ = x₂ = 0): 2x₃ = 8 → x₃ = 4 → S₃(0|0|4)Probe: S₁ in E: 2 · 4 + 0 + 0 = 8 ✓
  3. c)Ebene E: x1 + 2x2 + x3 = 6. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.Ein Spurpunkt liegt auf einer Achse — dort sind die beiden anderen Koordinaten 0.x₁-Achse (x₂ = x₃ = 0): 1x₁ = 6 → x₁ = 6 → S₁(6|0|0)x₂-Achse (x₁ = x₃ = 0): 2x₂ = 6 → x₂ = 3 → S₂(0|3|0)x₃-Achse (x₁ = x₂ = 0): 1x₃ = 6 → x₃ = 6 → S₃(0|0|6)Probe: S₁ in E: 1 · 6 + 0 + 0 = 6 ✓

3Abstand Punkt zu Ebene

Abstand = |n · p - d| / |n| (Hessesche Normalform). n sind die Koeffizienten der Ebene, d die rechte Seite, p der Punkt.

  1. a)Bestimme den Abstand von P(1|0|-4) zur Ebene 4x1 + 4x2 + 7x3 = -42.Normalenvektor aus den Koeffizienten ablesen: n = (4|4|7), rechte Seite d = -42Formel (Hessesche Normalform): Abstand = |n · p - d| / |n||n| = √(4² + 4² + 7²) = √(16 + 16 + 49) = √81 = 9n · p = 4 · (1) + 4 · (0) + 7 · (-4) = 4 + 0 - 28 = -24n · p - d = -24 - (-42) = 18Abstand = |18| / 9 = 2 LE
  2. b)Bestimme den Abstand von P(-6|-5|6) zur Ebene 2x1 + 3x2 + 6x3 = -12.Normalenvektor aus den Koeffizienten ablesen: n = (2|3|6), rechte Seite d = -12Formel (Hessesche Normalform): Abstand = |n · p - d| / |n||n| = √(2² + 3² + 6²) = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7n · p = 2 · (-6) + 3 · (-5) + 6 · (6) = -12 - 15 + 36 = 9n · p - d = 9 - (-12) = 21Abstand = |21| / 7 = 3 LE
  3. c)Bestimme den Abstand von P(5|0|-2) zur Ebene x1 + 2x2 + 2x3 = -2.Normalenvektor aus den Koeffizienten ablesen: n = (1|2|2), rechte Seite d = -2Formel (Hessesche Normalform): Abstand = |n · p - d| / |n||n| = √(1² + 2² + 2²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3n · p = 1 · (5) + 2 · (0) + 2 · (-2) = 5 + 0 - 4 = 1n · p - d = 1 - (-2) = 3Abstand = |3| / 3 = 1 LE

Prüfungsteil Analytische Geometrie. Skizze hilft, auch wenn sie nicht verlangt ist.

1Gerade und Abstand

Gerade durch A und B: g: x = a + t · (b - a). Abstand zweier Punkte = Länge des Verbindungsvektors: |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²)

  1. a)A(-5|4|-1), B(-2|8|11). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.Richtungsvektor = Zielpunkt minus Startpunkt: AB = B - A = (-2 - (-5) | 8 - (4) | 11 - (-1)) = (3|4|12)Geradengleichung (Stützpunkt A, Richtung AB): g: x = (-5|4|-1) + t · (3|4|12)Abstand = Länge des Richtungsvektors: |AB| = √((3)² + (4)² + (12)²)= √(9 + 16 + 144) = √169 = 13Probe: t = 1 einsetzen ergibt B(-2|8|11) ✓
  2. b)A(1|-5|0), B(7|1|7). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.
  3. c)A(-4|-4|-1), B(-6|-1|5). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.

2Spurpunkte einer Ebene

Spurpunkt auf einer Achse: die beiden anderen Koordinaten 0 setzen, nach der übrigen auflösen.

  1. a)Ebene E: 3x1 + 3x2 + 2x3 = 18. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.Ein Spurpunkt liegt auf einer Achse — dort sind die beiden anderen Koordinaten 0.x₁-Achse (x₂ = x₃ = 0): 3x₁ = 18 → x₁ = 6 → S₁(6|0|0)x₂-Achse (x₁ = x₃ = 0): 3x₂ = 18 → x₂ = 6 → S₂(0|6|0)x₃-Achse (x₁ = x₂ = 0): 2x₃ = 18 → x₃ = 9 → S₃(0|0|9)Probe: S₁ in E: 3 · 6 + 0 + 0 = 18 ✓
  2. b)Ebene E: x1 + 2x2 + 2x3 = 4. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.
  3. c)Ebene E: 2x1 + 3x2 + 4x3 = 72. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.

3Abstand Punkt zu Ebene

Abstand = |n · p - d| / |n| (Hessesche Normalform). n sind die Koeffizienten der Ebene, d die rechte Seite, p der Punkt.

  1. a)Bestimme den Abstand von P(-1|3|1) zur Ebene 2x1 + 3x2 + 6x3 = -22.Normalenvektor aus den Koeffizienten ablesen: n = (2|3|6), rechte Seite d = -22Formel (Hessesche Normalform): Abstand = |n · p - d| / |n||n| = √(2² + 3² + 6²) = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7n · p = 2 · (-1) + 3 · (3) + 6 · (1) = -2 + 9 + 6 = 13n · p - d = 13 - (-22) = 35Abstand = |35| / 7 = 5 LE
  2. b)Bestimme den Abstand von P(2|4|-3) zur Ebene x1 + 2x2 + 2x3 = -5.
  3. c)Bestimme den Abstand von P(3|3|5) zur Ebene 2x1 + 6x2 + 9x3 = 36.

4Körper im Raum

Pyramide: V = (1/3) · G · h. Erst prüfen, in welcher Ebene die Grundfläche liegt — dann ist die Höhe eine Koordinate der Spitze.

  1. a)Eine Pyramide hat die Grundfläche mit den Ecken (0|0|0), (6|0|0), (6|6|0), (0|6|0) und die Spitze (3|3|6). Berechne das Volumen.Alle vier Ecken haben x₃ = 0: die Grundfläche liegt in der x₁x₂-Ebene.Kantenlängen: von (0|0|0) nach (6|0|0) sind es 6, von (0|0|0) nach (0|6|0) auch 6 → Quadrat mit Seite 6Grundfläche: G = 6 · 6 = 36Höhe = Abstand der Spitze zur Grundfläche = ihre x₃-Koordinate: h = 6V = (1/3) · G · h = (1/3) · 36 · 6 = 216 / 3 = 72 VE
  2. b)Eine Pyramide hat die Grundfläche mit den Ecken (0|0|0), (4|0|0), (4|4|0), (0|4|0) und die Spitze (2|2|3). Berechne das Volumen.

5Zeichne

  1. a)Skizziere eine dreiseitige Pyramide mit den Ecken (0|0|0), (4|0|0), (0|4|0) und (0|0|6). Beschreibe, wie du ihr Volumen und den Winkel zwischen Grundfläche und einer Seitenfläche bestimmst.

Prüfungsteil Analytische Geometrie. Skizze hilft, auch wenn sie nicht verlangt ist.

1Gerade und Abstand

Gerade durch A und B: g: x = a + t · (b - a). Abstand zweier Punkte = Länge des Verbindungsvektors: |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²)

  1. a)A(-5|4|-1), B(-2|8|11). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.Richtungsvektor = Zielpunkt minus Startpunkt: AB = B - A = (-2 - (-5) | 8 - (4) | 11 - (-1)) = (3|4|12)Geradengleichung (Stützpunkt A, Richtung AB): g: x = (-5|4|-1) + t · (3|4|12)Abstand = Länge des Richtungsvektors: |AB| = √((3)² + (4)² + (12)²)= √(9 + 16 + 144) = √169 = 13Probe: t = 1 einsetzen ergibt B(-2|8|11) ✓
  2. b)A(1|-5|0), B(7|1|7). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.Richtungsvektor = Zielpunkt minus Startpunkt: AB = B - A = (7 - (1) | 1 - (-5) | 7 - (0)) = (6|6|7)Geradengleichung (Stützpunkt A, Richtung AB): g: x = (1|-5|0) + t · (6|6|7)Abstand = Länge des Richtungsvektors: |AB| = √((6)² + (6)² + (7)²)= √(36 + 36 + 49) = √121 = 11Probe: t = 1 einsetzen ergibt B(7|1|7) ✓
  3. c)A(-4|-4|-1), B(-6|-1|5). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.Richtungsvektor = Zielpunkt minus Startpunkt: AB = B - A = (-6 - (-4) | -1 - (-4) | 5 - (-1)) = (-2|3|6)Geradengleichung (Stützpunkt A, Richtung AB): g: x = (-4|-4|-1) + t · (-2|3|6)Abstand = Länge des Richtungsvektors: |AB| = √((-2)² + (3)² + (6)²)= √(4 + 9 + 36) = √49 = 7Probe: t = 1 einsetzen ergibt B(-6|-1|5) ✓

2Spurpunkte einer Ebene

Spurpunkt auf einer Achse: die beiden anderen Koordinaten 0 setzen, nach der übrigen auflösen.

  1. a)Ebene E: 3x1 + 3x2 + 2x3 = 18. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.Ein Spurpunkt liegt auf einer Achse — dort sind die beiden anderen Koordinaten 0.x₁-Achse (x₂ = x₃ = 0): 3x₁ = 18 → x₁ = 6 → S₁(6|0|0)x₂-Achse (x₁ = x₃ = 0): 3x₂ = 18 → x₂ = 6 → S₂(0|6|0)x₃-Achse (x₁ = x₂ = 0): 2x₃ = 18 → x₃ = 9 → S₃(0|0|9)Probe: S₁ in E: 3 · 6 + 0 + 0 = 18 ✓
  2. b)Ebene E: x1 + 2x2 + 2x3 = 4. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.Ein Spurpunkt liegt auf einer Achse — dort sind die beiden anderen Koordinaten 0.x₁-Achse (x₂ = x₃ = 0): 1x₁ = 4 → x₁ = 4 → S₁(4|0|0)x₂-Achse (x₁ = x₃ = 0): 2x₂ = 4 → x₂ = 2 → S₂(0|2|0)x₃-Achse (x₁ = x₂ = 0): 2x₃ = 4 → x₃ = 2 → S₃(0|0|2)Probe: S₁ in E: 1 · 4 + 0 + 0 = 4 ✓
  3. c)Ebene E: 2x1 + 3x2 + 4x3 = 72. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.Ein Spurpunkt liegt auf einer Achse — dort sind die beiden anderen Koordinaten 0.x₁-Achse (x₂ = x₃ = 0): 2x₁ = 72 → x₁ = 36 → S₁(36|0|0)x₂-Achse (x₁ = x₃ = 0): 3x₂ = 72 → x₂ = 24 → S₂(0|24|0)x₃-Achse (x₁ = x₂ = 0): 4x₃ = 72 → x₃ = 18 → S₃(0|0|18)Probe: S₁ in E: 2 · 36 + 0 + 0 = 72 ✓

3Abstand Punkt zu Ebene

Abstand = |n · p - d| / |n| (Hessesche Normalform). n sind die Koeffizienten der Ebene, d die rechte Seite, p der Punkt.

  1. a)Bestimme den Abstand von P(-1|3|1) zur Ebene 2x1 + 3x2 + 6x3 = -22.Normalenvektor aus den Koeffizienten ablesen: n = (2|3|6), rechte Seite d = -22Formel (Hessesche Normalform): Abstand = |n · p - d| / |n||n| = √(2² + 3² + 6²) = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7n · p = 2 · (-1) + 3 · (3) + 6 · (1) = -2 + 9 + 6 = 13n · p - d = 13 - (-22) = 35Abstand = |35| / 7 = 5 LE
  2. b)Bestimme den Abstand von P(2|4|-3) zur Ebene x1 + 2x2 + 2x3 = -5.Normalenvektor aus den Koeffizienten ablesen: n = (1|2|2), rechte Seite d = -5Formel (Hessesche Normalform): Abstand = |n · p - d| / |n||n| = √(1² + 2² + 2²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3n · p = 1 · (2) + 2 · (4) + 2 · (-3) = 2 + 8 - 6 = 4n · p - d = 4 - (-5) = 9Abstand = |9| / 3 = 3 LE
  3. c)Bestimme den Abstand von P(3|3|5) zur Ebene 2x1 + 6x2 + 9x3 = 36.Normalenvektor aus den Koeffizienten ablesen: n = (2|6|9), rechte Seite d = 36Formel (Hessesche Normalform): Abstand = |n · p - d| / |n||n| = √(2² + 6² + 9²) = √(4 + 36 + 81) = √121 = 11n · p = 2 · (3) + 6 · (3) + 9 · (5) = 6 + 18 + 45 = 69n · p - d = 69 - (36) = 33Abstand = |33| / 11 = 3 LE

4Körper im Raum

Pyramide: V = (1/3) · G · h. Erst prüfen, in welcher Ebene die Grundfläche liegt — dann ist die Höhe eine Koordinate der Spitze.

  1. a)Eine Pyramide hat die Grundfläche mit den Ecken (0|0|0), (6|0|0), (6|6|0), (0|6|0) und die Spitze (3|3|6). Berechne das Volumen.Alle vier Ecken haben x₃ = 0: die Grundfläche liegt in der x₁x₂-Ebene.Kantenlängen: von (0|0|0) nach (6|0|0) sind es 6, von (0|0|0) nach (0|6|0) auch 6 → Quadrat mit Seite 6Grundfläche: G = 6 · 6 = 36Höhe = Abstand der Spitze zur Grundfläche = ihre x₃-Koordinate: h = 6V = (1/3) · G · h = (1/3) · 36 · 6 = 216 / 3 = 72 VE
  2. b)Eine Pyramide hat die Grundfläche mit den Ecken (0|0|0), (4|0|0), (4|4|0), (0|4|0) und die Spitze (2|2|3). Berechne das Volumen.Alle vier Ecken haben x₃ = 0: die Grundfläche liegt in der x₁x₂-Ebene.Kantenlängen: von (0|0|0) nach (4|0|0) sind es 4, von (0|0|0) nach (0|4|0) auch 4 → Quadrat mit Seite 4Grundfläche: G = 4 · 4 = 16Höhe = Abstand der Spitze zur Grundfläche = ihre x₃-Koordinate: h = 3V = (1/3) · G · h = (1/3) · 16 · 3 = 48 / 3 = 16 VE

5Zeichne

  1. a)Skizziere eine dreiseitige Pyramide mit den Ecken (0|0|0), (4|0|0), (0|4|0) und (0|0|6). Beschreibe, wie du ihr Volumen und den Winkel zwischen Grundfläche und einer Seitenfläche bestimmst.
V = 1/3 · Grundfläche · Höhe = 1/3 · 8 · 6 = 16. Den Winkel bekommt man über die Normalenvektoren der beiden Ebenen und das Skalarprodukt.

Gerade durch zwei Punkte

Richtungsvektor = Zielpunkt minus Startpunkt, koordinatenweise. Als Stützpunkt nimmst du einen der beiden Punkte. Der Abstand der Punkte ist die Länge des Richtungsvektors: Koordinaten quadrieren, addieren, Wurzel ziehen. Probe: t = 1 muss den zweiten Punkt ergeben.

A(1|2|0), B(3|5|6)AB = (3 - 1 | 5 - 2 | 6 - 0) = (2|3|6)g: x = (1|2|0) + t · (2|3|6)|AB| = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7

Spurpunkte einer Ebene

Ein Spurpunkt ist der Schnittpunkt der Ebene mit einer Koordinatenachse. Auf der x₁-Achse sind x₂ und x₃ gleich 0 — beide in die Ebenengleichung einsetzen, nach x₁ auflösen. Genauso für die anderen beiden Achsen. Ist ein Koeffizient 0, gibt es auf dieser Achse keinen Spurpunkt (die Ebene läuft parallel dazu).

E: 2x₁ + 3x₂ + 6x₃ = 12x₂ = x₃ = 0 → 2x₁ = 12 → S₁(6|0|0)S₂(0|4|0), S₃(0|0|2)

Abstand Punkt zu Ebene

Aus der Koordinatenform liest du den Normalenvektor n (die Koeffizienten) und die rechte Seite d ab. Dann drei Zahlen berechnen: |n| als Länge des Normalenvektors, n · p als Skalarprodukt mit dem Punkt, und daraus |n · p - d| / |n|. Der Betrag sorgt dafür, dass der Abstand nie negativ ist.

E: 2x₁ + 3x₂ + 6x₃ = 5, P(1|1|2)|n| = √(4 + 9 + 36) = 7n · p = 2 + 3 + 12 = 17Abstand = |17 - 5| / 7 = 12/7

Volumen einer Pyramide

Schau zuerst, in welcher Ebene die Grundfläche liegt — oft haben alle Eckpunkte dieselbe x₃-Koordinate. Dann ist die Höhe einfach der Unterschied zur x₃-Koordinate der Spitze. Die Grundfläche berechnest du aus den Kantenlängen (Abstände der Eckpunkte). Zum Schluss V = (1/3) · G · h. Liegt die Grundfläche schräg im Raum, ist die Höhe der Abstand der Spitze zur Ebene der Grundfläche — dann brauchst du die Hessesche Normalform.

Kontrolle

Setze berechnete Punkte in die Gleichungen ein. Ein Spurpunkt muss die Ebenengleichung erfüllen, ein Lotfußpunkt auf der Ebene liegen, ein Normalenvektor mit beiden Richtungsvektoren das Skalarprodukt 0 ergeben. Eine grobe Skizze zeigt, ob das Ergebnis plausibel ist.

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