Abi-Training: hilfsmittelfreier Teil

Mathematik · Klasse 12 · mittel

Abiturvorbereitung
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Hilfsmittelfreier Teil: ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung. Kurz und sicher rechnen.

1Ableiten

(c · xⁿ)' = c · n · xⁿ⁻¹ — Exponent nach vorn, Exponent um 1 kleiner.

  1. a)f(x) = 7x²f'(x) = 7 · 2 · x = 14x
  2. b)f(x) = 8x³
  3. c)f(x) = 4x^4
  4. d)f(x) = 4x^5
  5. e)f(x) = 8x^6
  6. f)f(x) = 4x²
  7. g)f(x) = 6x³
  8. h)f(x) = 2x^4
  9. i)f(x) = 6x^5
  10. j)f(x) = 2x^6

2Integrieren

∫ c · xⁿ dx = c/(n+1) · xⁿ⁺¹ + C — Exponent um 1 größer, durch den neuen Exponenten teilen.

  1. a)Stammfunktion von 5x?F(x) = 5/2 · x² + C = 5/2 x² + C
  2. b)Stammfunktion von 3x²?
  3. c)Stammfunktion von 5x³?
  4. d)Stammfunktion von 6x^4?
  5. e)Stammfunktion von 6x?
  6. f)Stammfunktion von 5x²?
  7. g)Stammfunktion von 2x³?
  8. h)Stammfunktion von 2x^4?

Hilfsmittelfreier Teil: ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung. Kurz und sicher rechnen.

1Ableiten

(c · xⁿ)' = c · n · xⁿ⁻¹ — Exponent nach vorn, Exponent um 1 kleiner.

  1. a)f(x) = 7x²f'(x) = 7 · 2 · x = 14x
  2. b)f(x) = 8x³f'(x) = 8 · 3 · x² = 24x²
  3. c)f(x) = 4x^4f'(x) = 4 · 4 · x³ = 16x³
  4. d)f(x) = 4x^5f'(x) = 4 · 5 · x^4 = 20x^4
  5. e)f(x) = 8x^6f'(x) = 8 · 6 · x^5 = 48x^5
  6. f)f(x) = 4x²f'(x) = 4 · 2 · x = 8x
  7. g)f(x) = 6x³f'(x) = 6 · 3 · x² = 18x²
  8. h)f(x) = 2x^4f'(x) = 2 · 4 · x³ = 8x³
  9. i)f(x) = 6x^5f'(x) = 6 · 5 · x^4 = 30x^4
  10. j)f(x) = 2x^6f'(x) = 2 · 6 · x^5 = 12x^5

2Integrieren

∫ c · xⁿ dx = c/(n+1) · xⁿ⁺¹ + C — Exponent um 1 größer, durch den neuen Exponenten teilen.

  1. a)Stammfunktion von 5x?F(x) = 5/2 · x² + C = 5/2 x² + C
  2. b)Stammfunktion von 3x²?F(x) = 3/3 · x³ + C = x³ + C
  3. c)Stammfunktion von 5x³?F(x) = 5/4 · x^4 + C = 5/4 x^4 + C
  4. d)Stammfunktion von 6x^4?F(x) = 6/5 · x^5 + C = 6/5 x^5 + C
  5. e)Stammfunktion von 6x?F(x) = 6/2 · x² + C = 3x² + C
  6. f)Stammfunktion von 5x²?F(x) = 5/3 · x³ + C = 5/3 x³ + C
  7. g)Stammfunktion von 2x³?F(x) = 2/4 · x^4 + C = 1/2 x^4 + C
  8. h)Stammfunktion von 2x^4?F(x) = 2/5 · x^5 + C = 2/5 x^5 + C

Hilfsmittelfreier Teil: ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung. Kurz und sicher rechnen.

1Ableiten

(c · xⁿ)' = c · n · xⁿ⁻¹ — Exponent nach vorn, Exponent um 1 kleiner.

  1. a)f(x) = 3x²f'(x) = 3 · 2 · x = 6x
  2. b)f(x) = 4x³
  3. c)f(x) = 9x^4
  4. d)f(x) = 4x^5
  5. e)f(x) = 6x^6
  6. f)f(x) = 8x²
  7. g)f(x) = 7x³
  8. h)f(x) = 8x^4
  9. i)f(x) = 6x^5
  10. j)f(x) = 4x^6

2Integrieren

∫ c · xⁿ dx = c/(n+1) · xⁿ⁺¹ + C — Exponent um 1 größer, durch den neuen Exponenten teilen.

  1. a)Stammfunktion von 5x?F(x) = 5/2 · x² + C = 5/2 x² + C
  2. b)Stammfunktion von 6x²?
  3. c)Stammfunktion von 6x³?
  4. d)Stammfunktion von 2x^4?
  5. e)Stammfunktion von 3x?
  6. f)Stammfunktion von 3x²?
  7. g)Stammfunktion von 4x³?
  8. h)Stammfunktion von 5x^4?

3Quadratische Gleichungen

x² + px + q = 0 → x = -p/2 ± √((p/2)² - q). Erst p und q mit Vorzeichen ablesen, dann einsetzen.

  1. a)x² - 25 = 0. Lösungen?Ablesen: p = 0, q = -25. p-q-Formel: x = -p/2 ± √((p/2)² - q)-p/2 = 0, (p/2)² - q = 0 - (-25) = 25x = 0 ± √25 = 0 ± 5 → x₁ = -5, x₂ = 5Probe (Vieta): x₁ + x₂ = 0 = -p ✓, x₁ · x₂ = -25 = q ✓
  2. b)x² - 2x - 8 = 0. Lösungen?
  3. c)x² - 4x + 3 = 0. Lösungen?
  4. d)x² - 4x + 4 = 0. Lösungen?
  5. e)x² + 4x = 0. Lösungen?
  6. f)x² + 4x + 4 = 0. Lösungen?

Hilfsmittelfreier Teil: ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung. Kurz und sicher rechnen.

1Ableiten

(c · xⁿ)' = c · n · xⁿ⁻¹ — Exponent nach vorn, Exponent um 1 kleiner.

  1. a)f(x) = 3x²f'(x) = 3 · 2 · x = 6x
  2. b)f(x) = 4x³f'(x) = 4 · 3 · x² = 12x²
  3. c)f(x) = 9x^4f'(x) = 9 · 4 · x³ = 36x³
  4. d)f(x) = 4x^5f'(x) = 4 · 5 · x^4 = 20x^4
  5. e)f(x) = 6x^6f'(x) = 6 · 6 · x^5 = 36x^5
  6. f)f(x) = 8x²f'(x) = 8 · 2 · x = 16x
  7. g)f(x) = 7x³f'(x) = 7 · 3 · x² = 21x²
  8. h)f(x) = 8x^4f'(x) = 8 · 4 · x³ = 32x³
  9. i)f(x) = 6x^5f'(x) = 6 · 5 · x^4 = 30x^4
  10. j)f(x) = 4x^6f'(x) = 4 · 6 · x^5 = 24x^5

2Integrieren

∫ c · xⁿ dx = c/(n+1) · xⁿ⁺¹ + C — Exponent um 1 größer, durch den neuen Exponenten teilen.

  1. a)Stammfunktion von 5x?F(x) = 5/2 · x² + C = 5/2 x² + C
  2. b)Stammfunktion von 6x²?F(x) = 6/3 · x³ + C = 2x³ + C
  3. c)Stammfunktion von 6x³?F(x) = 6/4 · x^4 + C = 3/2 x^4 + C
  4. d)Stammfunktion von 2x^4?F(x) = 2/5 · x^5 + C = 2/5 x^5 + C
  5. e)Stammfunktion von 3x?F(x) = 3/2 · x² + C = 3/2 x² + C
  6. f)Stammfunktion von 3x²?F(x) = 3/3 · x³ + C = x³ + C
  7. g)Stammfunktion von 4x³?F(x) = 4/4 · x^4 + C = x^4 + C
  8. h)Stammfunktion von 5x^4?F(x) = 5/5 · x^5 + C = x^5 + C

3Quadratische Gleichungen

x² + px + q = 0 → x = -p/2 ± √((p/2)² - q). Erst p und q mit Vorzeichen ablesen, dann einsetzen.

  1. a)x² - 25 = 0. Lösungen?Ablesen: p = 0, q = -25. p-q-Formel: x = -p/2 ± √((p/2)² - q)-p/2 = 0, (p/2)² - q = 0 - (-25) = 25x = 0 ± √25 = 0 ± 5 → x₁ = -5, x₂ = 5Probe (Vieta): x₁ + x₂ = 0 = -p ✓, x₁ · x₂ = -25 = q ✓
  2. b)x² - 2x - 8 = 0. Lösungen?Ablesen: p = -2, q = -8. p-q-Formel: x = -p/2 ± √((p/2)² - q)-p/2 = 1, (p/2)² - q = 1 - (-8) = 9x = 1 ± √9 = 1 ± 3 → x₁ = -2, x₂ = 4Probe (Vieta): x₁ + x₂ = 2 = -p ✓, x₁ · x₂ = -8 = q ✓
  3. c)x² - 4x + 3 = 0. Lösungen?Ablesen: p = -4, q = 3. p-q-Formel: x = -p/2 ± √((p/2)² - q)-p/2 = 2, (p/2)² - q = 4 - (3) = 1x = 2 ± √1 = 2 ± 1 → x₁ = 1, x₂ = 3Probe (Vieta): x₁ + x₂ = 4 = -p ✓, x₁ · x₂ = 3 = q ✓
  4. d)x² - 4x + 4 = 0. Lösungen?Ablesen: p = -4, q = 4. p-q-Formel: x = -p/2 ± √((p/2)² - q)-p/2 = 2, (p/2)² - q = 4 - (4) = 0x = 2 ± √0 = 2 ± 0 → x₁ = 2, x₂ = 2Probe (Vieta): x₁ + x₂ = 4 = -p ✓, x₁ · x₂ = 4 = q ✓
  5. e)x² + 4x = 0. Lösungen?Ablesen: p = 4, q = 0. p-q-Formel: x = -p/2 ± √((p/2)² - q)-p/2 = -2, (p/2)² - q = 4 - (0) = 4x = -2 ± √4 = -2 ± 2 → x₁ = -4, x₂ = 0Probe (Vieta): x₁ + x₂ = -4 = -p ✓, x₁ · x₂ = 0 = q ✓
  6. f)x² + 4x + 4 = 0. Lösungen?Ablesen: p = 4, q = 4. p-q-Formel: x = -p/2 ± √((p/2)² - q)-p/2 = -2, (p/2)² - q = 4 - (4) = 0x = -2 ± √0 = -2 ± 0 → x₁ = -2, x₂ = -2Probe (Vieta): x₁ + x₂ = -4 = -p ✓, x₁ · x₂ = 4 = q ✓

Hilfsmittelfreier Teil: ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung. Kurz und sicher rechnen.

1Ableiten

(c · xⁿ)' = c · n · xⁿ⁻¹ — Exponent nach vorn, Exponent um 1 kleiner.

  1. a)f(x) = 4x²f'(x) = 4 · 2 · x = 8x
  2. b)f(x) = 7x³
  3. c)f(x) = 5x^4
  4. d)f(x) = 6x^5
  5. e)f(x) = 9x^6
  6. f)f(x) = 5x²
  7. g)f(x) = 6x³
  8. h)f(x) = 8x^4
  9. i)f(x) = 7x^5
  10. j)f(x) = 2x^6

2Integrieren

∫ c · xⁿ dx = c/(n+1) · xⁿ⁺¹ + C — Exponent um 1 größer, durch den neuen Exponenten teilen.

  1. a)Stammfunktion von 6x?F(x) = 6/2 · x² + C = 3x² + C
  2. b)Stammfunktion von 2x²?
  3. c)Stammfunktion von 6x³?
  4. d)Stammfunktion von 3x^4?
  5. e)Stammfunktion von 3x?
  6. f)Stammfunktion von 4x²?
  7. g)Stammfunktion von 3x³?
  8. h)Stammfunktion von 5x^4?

3Quadratische Gleichungen

x² + px + q = 0 → x = -p/2 ± √((p/2)² - q). Erst p und q mit Vorzeichen ablesen, dann einsetzen.

  1. a)x² - 2x - 8 = 0. Lösungen?Ablesen: p = -2, q = -8. p-q-Formel: x = -p/2 ± √((p/2)² - q)-p/2 = 1, (p/2)² - q = 1 - (-8) = 9x = 1 ± √9 = 1 ± 3 → x₁ = -2, x₂ = 4Probe (Vieta): x₁ + x₂ = 2 = -p ✓, x₁ · x₂ = -8 = q ✓
  2. b)x² + 4x + 3 = 0. Lösungen?
  3. c)x² + 2x + 1 = 0. Lösungen?
  4. d)x² - 4x + 3 = 0. Lösungen?
  5. e)x² - 16 = 0. Lösungen?
  6. f)x² + 8x + 15 = 0. Lösungen?

4Skalarprodukt

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ — Koordinaten paarweise multiplizieren und addieren. Ist es 0, stehen die Vektoren senkrecht.

  1. a)Skalarprodukt von (6|2|-4) und (-2|4|2)?6 · (-2) + 2 · (4) + -4 · (2) = -12
  2. b)Skalarprodukt von (2|0|-5) und (-6|-3|4)?
  3. c)Skalarprodukt von (5|3|3) und (-6|4|-6)?
  4. d)Skalarprodukt von (3|-6|1) und (6|-5|1)?
  5. e)Skalarprodukt von (-1|-6|4) und (5|2|-1)?
  6. f)Skalarprodukt von (4|5|-1) und (1|6|1)?

Hilfsmittelfreier Teil: ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung. Kurz und sicher rechnen.

1Ableiten

(c · xⁿ)' = c · n · xⁿ⁻¹ — Exponent nach vorn, Exponent um 1 kleiner.

  1. a)f(x) = 4x²f'(x) = 4 · 2 · x = 8x
  2. b)f(x) = 7x³f'(x) = 7 · 3 · x² = 21x²
  3. c)f(x) = 5x^4f'(x) = 5 · 4 · x³ = 20x³
  4. d)f(x) = 6x^5f'(x) = 6 · 5 · x^4 = 30x^4
  5. e)f(x) = 9x^6f'(x) = 9 · 6 · x^5 = 54x^5
  6. f)f(x) = 5x²f'(x) = 5 · 2 · x = 10x
  7. g)f(x) = 6x³f'(x) = 6 · 3 · x² = 18x²
  8. h)f(x) = 8x^4f'(x) = 8 · 4 · x³ = 32x³
  9. i)f(x) = 7x^5f'(x) = 7 · 5 · x^4 = 35x^4
  10. j)f(x) = 2x^6f'(x) = 2 · 6 · x^5 = 12x^5

2Integrieren

∫ c · xⁿ dx = c/(n+1) · xⁿ⁺¹ + C — Exponent um 1 größer, durch den neuen Exponenten teilen.

  1. a)Stammfunktion von 6x?F(x) = 6/2 · x² + C = 3x² + C
  2. b)Stammfunktion von 2x²?F(x) = 2/3 · x³ + C = 2/3 x³ + C
  3. c)Stammfunktion von 6x³?F(x) = 6/4 · x^4 + C = 3/2 x^4 + C
  4. d)Stammfunktion von 3x^4?F(x) = 3/5 · x^5 + C = 3/5 x^5 + C
  5. e)Stammfunktion von 3x?F(x) = 3/2 · x² + C = 3/2 x² + C
  6. f)Stammfunktion von 4x²?F(x) = 4/3 · x³ + C = 4/3 x³ + C
  7. g)Stammfunktion von 3x³?F(x) = 3/4 · x^4 + C = 3/4 x^4 + C
  8. h)Stammfunktion von 5x^4?F(x) = 5/5 · x^5 + C = x^5 + C

3Quadratische Gleichungen

x² + px + q = 0 → x = -p/2 ± √((p/2)² - q). Erst p und q mit Vorzeichen ablesen, dann einsetzen.

  1. a)x² - 2x - 8 = 0. Lösungen?Ablesen: p = -2, q = -8. p-q-Formel: x = -p/2 ± √((p/2)² - q)-p/2 = 1, (p/2)² - q = 1 - (-8) = 9x = 1 ± √9 = 1 ± 3 → x₁ = -2, x₂ = 4Probe (Vieta): x₁ + x₂ = 2 = -p ✓, x₁ · x₂ = -8 = q ✓
  2. b)x² + 4x + 3 = 0. Lösungen?Ablesen: p = 4, q = 3. p-q-Formel: x = -p/2 ± √((p/2)² - q)-p/2 = -2, (p/2)² - q = 4 - (3) = 1x = -2 ± √1 = -2 ± 1 → x₁ = -3, x₂ = -1Probe (Vieta): x₁ + x₂ = -4 = -p ✓, x₁ · x₂ = 3 = q ✓
  3. c)x² + 2x + 1 = 0. Lösungen?Ablesen: p = 2, q = 1. p-q-Formel: x = -p/2 ± √((p/2)² - q)-p/2 = -1, (p/2)² - q = 1 - (1) = 0x = -1 ± √0 = -1 ± 0 → x₁ = -1, x₂ = -1Probe (Vieta): x₁ + x₂ = -2 = -p ✓, x₁ · x₂ = 1 = q ✓
  4. d)x² - 4x + 3 = 0. Lösungen?Ablesen: p = -4, q = 3. p-q-Formel: x = -p/2 ± √((p/2)² - q)-p/2 = 2, (p/2)² - q = 4 - (3) = 1x = 2 ± √1 = 2 ± 1 → x₁ = 1, x₂ = 3Probe (Vieta): x₁ + x₂ = 4 = -p ✓, x₁ · x₂ = 3 = q ✓
  5. e)x² - 16 = 0. Lösungen?Ablesen: p = 0, q = -16. p-q-Formel: x = -p/2 ± √((p/2)² - q)-p/2 = 0, (p/2)² - q = 0 - (-16) = 16x = 0 ± √16 = 0 ± 4 → x₁ = -4, x₂ = 4Probe (Vieta): x₁ + x₂ = 0 = -p ✓, x₁ · x₂ = -16 = q ✓
  6. f)x² + 8x + 15 = 0. Lösungen?Ablesen: p = 8, q = 15. p-q-Formel: x = -p/2 ± √((p/2)² - q)-p/2 = -4, (p/2)² - q = 16 - (15) = 1x = -4 ± √1 = -4 ± 1 → x₁ = -5, x₂ = -3Probe (Vieta): x₁ + x₂ = -8 = -p ✓, x₁ · x₂ = 15 = q ✓

4Skalarprodukt

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ — Koordinaten paarweise multiplizieren und addieren. Ist es 0, stehen die Vektoren senkrecht.

  1. a)Skalarprodukt von (6|2|-4) und (-2|4|2)?6 · (-2) + 2 · (4) + -4 · (2) = -12
  2. b)Skalarprodukt von (2|0|-5) und (-6|-3|4)?2 · (-6) + 0 · (-3) + -5 · (4) = -32
  3. c)Skalarprodukt von (5|3|3) und (-6|4|-6)?5 · (-6) + 3 · (4) + 3 · (-6) = -36
  4. d)Skalarprodukt von (3|-6|1) und (6|-5|1)?3 · (6) + -6 · (-5) + 1 · (1) = 49
  5. e)Skalarprodukt von (-1|-6|4) und (5|2|-1)?-1 · (5) + -6 · (2) + 4 · (-1) = -21
  6. f)Skalarprodukt von (4|5|-1) und (1|6|1)?4 · (1) + 5 · (6) + -1 · (1) = 33

Ableiten und Integrieren

Ableiten: Exponent nach vorn multiplizieren, Exponent um 1 kleiner. Integrieren ist der Rückweg: Exponent um 1 größer, durch den neuen Exponenten teilen, + C. Zur Kontrolle die Stammfunktion wieder ableiten — es muss die Ausgangsfunktion herauskommen.

f(x) = 4x³ → f'(x) = 12x²f(x) = 4x³ → F(x) = 4/4 · x⁴ + C = x⁴ + C

p-q-Formel

Die Gleichung muss die Form x² + px + q = 0 haben — steht vor x² eine Zahl, erst dadurch teilen. Dann p und q mit Vorzeichen ablesen und einsetzen. Probe über Vieta: x₁ + x₂ = -p und x₁ · x₂ = q.

x² - 2x - 8 = 0: p = -2, q = -8x = 1 ± √(1 + 8) = 1 ± 3x₁ = -2, x₂ = 4; Probe: -2 + 4 = 2 = -p ✓

Skalarprodukt

Koordinaten paarweise multiplizieren und die drei Produkte addieren. Ergebnis 0 heißt: die Vektoren stehen senkrecht. Schreib die Produkte einzeln hin — bei negativen Zahlen passieren hier die meisten Fehler.

(1|2|3) · (4|-1|2) = 4 - 2 + 6 = 8

Ohne Rechner

Die Zahlen sind so gewählt, dass alles im Kopf oder auf dem Papier aufgeht. Geht es nicht glatt auf, ist meist irgendwo ein Rechenfehler. Erst alle Aufgaben lesen, dann die leichten zuerst; bei keiner länger als fünf Minuten hängen bleiben.

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