Abi-Training: Stochastik

Mathematik · Klasse 12 · mittel

Abiturvorbereitung
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Prüfungsteil Stochastik. Immer notieren, welche Zufallsgröße du betrachtest und wie sie verteilt ist.

1Binomialverteilung anwenden

Reihenfolge: 1. X benennen und begründen, warum binomialverteilt. 2. n, p, k aufschreiben. 3. Formel P(X = k) = (n über k) · p^k · (1 - p)^(n - k). „Mindestens 1" über das Gegenereignis: P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0).

  1. a)Ein Versuch mit Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,20 wird 6-mal wiederholt. Berechne P(X = 2) und P(X ≥ 1).Modell: X = Anzahl der Treffer. X ist binomialverteilt, denn: nur Treffer/kein Treffer, 6 feste Wiederholungen, p bleibt 0,20. n = 6, p = 0,20Formel: P(X = k) = (n über k) · p^k · (1 - p)^(n - k)(6 über 2) = 15P(X = 2) = 15 · 0,20^2 · 0,80^4 = 15 · 0,0400 · 0,4096 ≈ 0,246P(X ≥ 1) über das Gegenereignis „kein Treffer": P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)P(X = 0) = 0,80^6 ≈ 0,262 → P(X ≥ 1) ≈ 1 - 0,262 = 0,738
  2. b)Ein Versuch mit Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,50 wird 9-mal wiederholt. Berechne P(X = 1) und P(X ≥ 1).
  3. c)Ein Versuch mit Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,25 wird 8-mal wiederholt. Berechne P(X = 3) und P(X ≥ 1).

2Sigma-Umgebung

E(X) = n · p. σ = √(n · p · (1 - p)). 1σ-Umgebung: E ± σ (≈ 68 %), 2σ: E ± 2σ (≈ 95 %). Am Ende in einem Satz sagen, was das Intervall bedeutet.

  1. a)n = 100, p = 0,50. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.Erwartungswert: E(X) = n · p = 100 · 0,50 = 50Standardabweichung: σ = √(n · p · (1 - p)) = √(100 · 0,50 · 0,50) = √25 = 51-Sigma-Umgebung: von E - σ bis E + σ, also von 45 bis 55Bedeutung: in rund 68 % der Versuchsreihen liegt die Trefferzahl zwischen 45 und 55.(Sigma-Regeln gelten gut, weil σ = 5 > 3 ist.)
  2. b)n = 36, p = 0,50. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.
  3. c)n = 900, p = 0,10. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.

Prüfungsteil Stochastik. Immer notieren, welche Zufallsgröße du betrachtest und wie sie verteilt ist.

1Binomialverteilung anwenden

Reihenfolge: 1. X benennen und begründen, warum binomialverteilt. 2. n, p, k aufschreiben. 3. Formel P(X = k) = (n über k) · p^k · (1 - p)^(n - k). „Mindestens 1" über das Gegenereignis: P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0).

  1. a)Ein Versuch mit Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,20 wird 6-mal wiederholt. Berechne P(X = 2) und P(X ≥ 1).Modell: X = Anzahl der Treffer. X ist binomialverteilt, denn: nur Treffer/kein Treffer, 6 feste Wiederholungen, p bleibt 0,20. n = 6, p = 0,20Formel: P(X = k) = (n über k) · p^k · (1 - p)^(n - k)(6 über 2) = 15P(X = 2) = 15 · 0,20^2 · 0,80^4 = 15 · 0,0400 · 0,4096 ≈ 0,246P(X ≥ 1) über das Gegenereignis „kein Treffer": P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)P(X = 0) = 0,80^6 ≈ 0,262 → P(X ≥ 1) ≈ 1 - 0,262 = 0,738
  2. b)Ein Versuch mit Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,50 wird 9-mal wiederholt. Berechne P(X = 1) und P(X ≥ 1).Modell: X = Anzahl der Treffer. X ist binomialverteilt, denn: nur Treffer/kein Treffer, 9 feste Wiederholungen, p bleibt 0,50. n = 9, p = 0,50Formel: P(X = k) = (n über k) · p^k · (1 - p)^(n - k)(9 über 1) = 9P(X = 1) = 9 · 0,50^1 · 0,50^8 = 9 · 0,50 · 0,0039 ≈ 0,018P(X ≥ 1) über das Gegenereignis „kein Treffer": P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)P(X = 0) = 0,50^9 ≈ 0,002 → P(X ≥ 1) ≈ 1 - 0,002 = 0,998
  3. c)Ein Versuch mit Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,25 wird 8-mal wiederholt. Berechne P(X = 3) und P(X ≥ 1).Modell: X = Anzahl der Treffer. X ist binomialverteilt, denn: nur Treffer/kein Treffer, 8 feste Wiederholungen, p bleibt 0,25. n = 8, p = 0,25Formel: P(X = k) = (n über k) · p^k · (1 - p)^(n - k)(8 über 3) = 56P(X = 3) = 56 · 0,25^3 · 0,75^5 = 56 · 0,0156 · 0,2373 ≈ 0,208P(X ≥ 1) über das Gegenereignis „kein Treffer": P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)P(X = 0) = 0,75^8 ≈ 0,100 → P(X ≥ 1) ≈ 1 - 0,100 = 0,900

2Sigma-Umgebung

E(X) = n · p. σ = √(n · p · (1 - p)). 1σ-Umgebung: E ± σ (≈ 68 %), 2σ: E ± 2σ (≈ 95 %). Am Ende in einem Satz sagen, was das Intervall bedeutet.

  1. a)n = 100, p = 0,50. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.Erwartungswert: E(X) = n · p = 100 · 0,50 = 50Standardabweichung: σ = √(n · p · (1 - p)) = √(100 · 0,50 · 0,50) = √25 = 51-Sigma-Umgebung: von E - σ bis E + σ, also von 45 bis 55Bedeutung: in rund 68 % der Versuchsreihen liegt die Trefferzahl zwischen 45 und 55.(Sigma-Regeln gelten gut, weil σ = 5 > 3 ist.)
  2. b)n = 36, p = 0,50. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.Erwartungswert: E(X) = n · p = 36 · 0,50 = 18Standardabweichung: σ = √(n · p · (1 - p)) = √(36 · 0,50 · 0,50) = √9 = 31-Sigma-Umgebung: von E - σ bis E + σ, also von 15 bis 21Bedeutung: in rund 68 % der Versuchsreihen liegt die Trefferzahl zwischen 15 und 21.(Sigma-Regeln gelten gut, weil σ = 3 > 3 ist.)
  3. c)n = 900, p = 0,10. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.Erwartungswert: E(X) = n · p = 900 · 0,10 = 90Standardabweichung: σ = √(n · p · (1 - p)) = √(900 · 0,10 · 0,90) = √81 = 91-Sigma-Umgebung: von E - σ bis E + σ, also von 81 bis 99Bedeutung: in rund 68 % der Versuchsreihen liegt die Trefferzahl zwischen 81 und 99.(Sigma-Regeln gelten gut, weil σ = 9 > 3 ist.)

Prüfungsteil Stochastik. Immer notieren, welche Zufallsgröße du betrachtest und wie sie verteilt ist.

1Binomialverteilung anwenden

Reihenfolge: 1. X benennen und begründen, warum binomialverteilt. 2. n, p, k aufschreiben. 3. Formel P(X = k) = (n über k) · p^k · (1 - p)^(n - k). „Mindestens 1" über das Gegenereignis: P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0).

  1. a)Ein Versuch mit Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,20 wird 8-mal wiederholt. Berechne P(X = 3) und P(X ≥ 1).Modell: X = Anzahl der Treffer. X ist binomialverteilt, denn: nur Treffer/kein Treffer, 8 feste Wiederholungen, p bleibt 0,20. n = 8, p = 0,20Formel: P(X = k) = (n über k) · p^k · (1 - p)^(n - k)(8 über 3) = 56P(X = 3) = 56 · 0,20^3 · 0,80^5 = 56 · 0,0080 · 0,3277 ≈ 0,147P(X ≥ 1) über das Gegenereignis „kein Treffer": P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)P(X = 0) = 0,80^8 ≈ 0,168 → P(X ≥ 1) ≈ 1 - 0,168 = 0,832
  2. b)Ein Versuch mit Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,20 wird 6-mal wiederholt. Berechne P(X = 2) und P(X ≥ 1).
  3. c)Ein Versuch mit Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,25 wird 10-mal wiederholt. Berechne P(X = 3) und P(X ≥ 1).

2Sigma-Umgebung

E(X) = n · p. σ = √(n · p · (1 - p)). 1σ-Umgebung: E ± σ (≈ 68 %), 2σ: E ± 2σ (≈ 95 %). Am Ende in einem Satz sagen, was das Intervall bedeutet.

  1. a)n = 400, p = 0,50. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.Erwartungswert: E(X) = n · p = 400 · 0,50 = 200Standardabweichung: σ = √(n · p · (1 - p)) = √(400 · 0,50 · 0,50) = √100 = 101-Sigma-Umgebung: von E - σ bis E + σ, also von 190 bis 210Bedeutung: in rund 68 % der Versuchsreihen liegt die Trefferzahl zwischen 190 und 210.(Sigma-Regeln gelten gut, weil σ = 10 > 3 ist.)
  2. b)n = 900, p = 0,10. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.
  3. c)n = 144, p = 0,50. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.

3Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit

Erst alle gegebenen Zahlen in die Tafel, dann die Lücken durch Addieren und Subtrahieren füllen. P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A): das gemeinsame Feld durch die Summe der Bedingung.

  1. a)Von 800 Personen haben 80 das Merkmal A, davon 40 auch B. Von den übrigen 720 haben 180 das Merkmal B. Stelle die Vierfeldertafel auf und berechne P(B|A) und P(A|B).Gegeben eintragen: A ∩ B = 40, A gesamt = 80, nicht A ∩ B = 180, gesamt = 800Zeile A: A ∩ B = 40, A ∩ nicht B = 80 - 40 = 40, Summe 80Zeile nicht A: nicht A ∩ B = 180, nicht A ∩ nicht B = 720 - 180 = 540, Summe 720Spaltensummen: B gesamt = 40 + 180 = 220, nicht B gesamt = 40 + 540 = 580, gesamt 800 ✓P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = 40 / 80 = 0,50 (Feld durch seine Zeilensumme)P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 40 / 220 ≈ 0,18 (dasselbe Feld durch seine Spaltensumme)
  2. b)Von 200 Personen haben 40 das Merkmal A, davon 20 auch B. Von den übrigen 160 haben 80 das Merkmal B. Stelle die Vierfeldertafel auf und berechne P(B|A) und P(A|B).
  3. c)Von 200 Personen haben 20 das Merkmal A, davon 5 auch B. Von den übrigen 180 haben 90 das Merkmal B. Stelle die Vierfeldertafel auf und berechne P(B|A) und P(A|B).

Prüfungsteil Stochastik. Immer notieren, welche Zufallsgröße du betrachtest und wie sie verteilt ist.

1Binomialverteilung anwenden

Reihenfolge: 1. X benennen und begründen, warum binomialverteilt. 2. n, p, k aufschreiben. 3. Formel P(X = k) = (n über k) · p^k · (1 - p)^(n - k). „Mindestens 1" über das Gegenereignis: P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0).

  1. a)Ein Versuch mit Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,20 wird 8-mal wiederholt. Berechne P(X = 3) und P(X ≥ 1).Modell: X = Anzahl der Treffer. X ist binomialverteilt, denn: nur Treffer/kein Treffer, 8 feste Wiederholungen, p bleibt 0,20. n = 8, p = 0,20Formel: P(X = k) = (n über k) · p^k · (1 - p)^(n - k)(8 über 3) = 56P(X = 3) = 56 · 0,20^3 · 0,80^5 = 56 · 0,0080 · 0,3277 ≈ 0,147P(X ≥ 1) über das Gegenereignis „kein Treffer": P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)P(X = 0) = 0,80^8 ≈ 0,168 → P(X ≥ 1) ≈ 1 - 0,168 = 0,832
  2. b)Ein Versuch mit Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,20 wird 6-mal wiederholt. Berechne P(X = 2) und P(X ≥ 1).Modell: X = Anzahl der Treffer. X ist binomialverteilt, denn: nur Treffer/kein Treffer, 6 feste Wiederholungen, p bleibt 0,20. n = 6, p = 0,20Formel: P(X = k) = (n über k) · p^k · (1 - p)^(n - k)(6 über 2) = 15P(X = 2) = 15 · 0,20^2 · 0,80^4 = 15 · 0,0400 · 0,4096 ≈ 0,246P(X ≥ 1) über das Gegenereignis „kein Treffer": P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)P(X = 0) = 0,80^6 ≈ 0,262 → P(X ≥ 1) ≈ 1 - 0,262 = 0,738
  3. c)Ein Versuch mit Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,25 wird 10-mal wiederholt. Berechne P(X = 3) und P(X ≥ 1).Modell: X = Anzahl der Treffer. X ist binomialverteilt, denn: nur Treffer/kein Treffer, 10 feste Wiederholungen, p bleibt 0,25. n = 10, p = 0,25Formel: P(X = k) = (n über k) · p^k · (1 - p)^(n - k)(10 über 3) = 120P(X = 3) = 120 · 0,25^3 · 0,75^7 = 120 · 0,0156 · 0,1335 ≈ 0,250P(X ≥ 1) über das Gegenereignis „kein Treffer": P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)P(X = 0) = 0,75^10 ≈ 0,056 → P(X ≥ 1) ≈ 1 - 0,056 = 0,944

2Sigma-Umgebung

E(X) = n · p. σ = √(n · p · (1 - p)). 1σ-Umgebung: E ± σ (≈ 68 %), 2σ: E ± 2σ (≈ 95 %). Am Ende in einem Satz sagen, was das Intervall bedeutet.

  1. a)n = 400, p = 0,50. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.Erwartungswert: E(X) = n · p = 400 · 0,50 = 200Standardabweichung: σ = √(n · p · (1 - p)) = √(400 · 0,50 · 0,50) = √100 = 101-Sigma-Umgebung: von E - σ bis E + σ, also von 190 bis 210Bedeutung: in rund 68 % der Versuchsreihen liegt die Trefferzahl zwischen 190 und 210.(Sigma-Regeln gelten gut, weil σ = 10 > 3 ist.)
  2. b)n = 900, p = 0,10. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.Erwartungswert: E(X) = n · p = 900 · 0,10 = 90Standardabweichung: σ = √(n · p · (1 - p)) = √(900 · 0,10 · 0,90) = √81 = 91-Sigma-Umgebung: von E - σ bis E + σ, also von 81 bis 99Bedeutung: in rund 68 % der Versuchsreihen liegt die Trefferzahl zwischen 81 und 99.(Sigma-Regeln gelten gut, weil σ = 9 > 3 ist.)
  3. c)n = 144, p = 0,50. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.Erwartungswert: E(X) = n · p = 144 · 0,50 = 72Standardabweichung: σ = √(n · p · (1 - p)) = √(144 · 0,50 · 0,50) = √36 = 61-Sigma-Umgebung: von E - σ bis E + σ, also von 66 bis 78Bedeutung: in rund 68 % der Versuchsreihen liegt die Trefferzahl zwischen 66 und 78.(Sigma-Regeln gelten gut, weil σ = 6 > 3 ist.)

3Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit

Erst alle gegebenen Zahlen in die Tafel, dann die Lücken durch Addieren und Subtrahieren füllen. P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A): das gemeinsame Feld durch die Summe der Bedingung.

  1. a)Von 800 Personen haben 80 das Merkmal A, davon 40 auch B. Von den übrigen 720 haben 180 das Merkmal B. Stelle die Vierfeldertafel auf und berechne P(B|A) und P(A|B).Gegeben eintragen: A ∩ B = 40, A gesamt = 80, nicht A ∩ B = 180, gesamt = 800Zeile A: A ∩ B = 40, A ∩ nicht B = 80 - 40 = 40, Summe 80Zeile nicht A: nicht A ∩ B = 180, nicht A ∩ nicht B = 720 - 180 = 540, Summe 720Spaltensummen: B gesamt = 40 + 180 = 220, nicht B gesamt = 40 + 540 = 580, gesamt 800 ✓P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = 40 / 80 = 0,50 (Feld durch seine Zeilensumme)P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 40 / 220 ≈ 0,18 (dasselbe Feld durch seine Spaltensumme)
  2. b)Von 200 Personen haben 40 das Merkmal A, davon 20 auch B. Von den übrigen 160 haben 80 das Merkmal B. Stelle die Vierfeldertafel auf und berechne P(B|A) und P(A|B).Gegeben eintragen: A ∩ B = 20, A gesamt = 40, nicht A ∩ B = 80, gesamt = 200Zeile A: A ∩ B = 20, A ∩ nicht B = 40 - 20 = 20, Summe 40Zeile nicht A: nicht A ∩ B = 80, nicht A ∩ nicht B = 160 - 80 = 80, Summe 160Spaltensummen: B gesamt = 20 + 80 = 100, nicht B gesamt = 20 + 80 = 100, gesamt 200 ✓P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = 20 / 40 = 0,50 (Feld durch seine Zeilensumme)P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 20 / 100 ≈ 0,20 (dasselbe Feld durch seine Spaltensumme)
  3. c)Von 200 Personen haben 20 das Merkmal A, davon 5 auch B. Von den übrigen 180 haben 90 das Merkmal B. Stelle die Vierfeldertafel auf und berechne P(B|A) und P(A|B).Gegeben eintragen: A ∩ B = 5, A gesamt = 20, nicht A ∩ B = 90, gesamt = 200Zeile A: A ∩ B = 5, A ∩ nicht B = 20 - 5 = 15, Summe 20Zeile nicht A: nicht A ∩ B = 90, nicht A ∩ nicht B = 180 - 90 = 90, Summe 180Spaltensummen: B gesamt = 5 + 90 = 95, nicht B gesamt = 15 + 90 = 105, gesamt 200 ✓P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = 5 / 20 = 0,25 (Feld durch seine Zeilensumme)P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 5 / 95 ≈ 0,05 (dasselbe Feld durch seine Spaltensumme)

Prüfungsteil Stochastik. Immer notieren, welche Zufallsgröße du betrachtest und wie sie verteilt ist.

1Binomialverteilung anwenden

Reihenfolge: 1. X benennen und begründen, warum binomialverteilt. 2. n, p, k aufschreiben. 3. Formel P(X = k) = (n über k) · p^k · (1 - p)^(n - k). „Mindestens 1" über das Gegenereignis: P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0).

  1. a)Ein Versuch mit Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,25 wird 5-mal wiederholt. Berechne P(X = 2) und P(X ≥ 1).Modell: X = Anzahl der Treffer. X ist binomialverteilt, denn: nur Treffer/kein Treffer, 5 feste Wiederholungen, p bleibt 0,25. n = 5, p = 0,25Formel: P(X = k) = (n über k) · p^k · (1 - p)^(n - k)(5 über 2) = 10P(X = 2) = 10 · 0,25^2 · 0,75^3 = 10 · 0,0625 · 0,4219 ≈ 0,264P(X ≥ 1) über das Gegenereignis „kein Treffer": P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)P(X = 0) = 0,75^5 ≈ 0,237 → P(X ≥ 1) ≈ 1 - 0,237 = 0,763
  2. b)Ein Versuch mit Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,50 wird 5-mal wiederholt. Berechne P(X = 3) und P(X ≥ 1).
  3. c)Ein Versuch mit Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,20 wird 9-mal wiederholt. Berechne P(X = 1) und P(X ≥ 1).

2Sigma-Umgebung

E(X) = n · p. σ = √(n · p · (1 - p)). 1σ-Umgebung: E ± σ (≈ 68 %), 2σ: E ± 2σ (≈ 95 %). Am Ende in einem Satz sagen, was das Intervall bedeutet.

  1. a)n = 400, p = 0,10. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.Erwartungswert: E(X) = n · p = 400 · 0,10 = 40Standardabweichung: σ = √(n · p · (1 - p)) = √(400 · 0,10 · 0,90) = √36 = 61-Sigma-Umgebung: von E - σ bis E + σ, also von 34 bis 46Bedeutung: in rund 68 % der Versuchsreihen liegt die Trefferzahl zwischen 34 und 46.(Sigma-Regeln gelten gut, weil σ = 6 > 3 ist.)
  2. b)n = 64, p = 0,50. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.
  3. c)n = 400, p = 0,50. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.

3Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit

Erst alle gegebenen Zahlen in die Tafel, dann die Lücken durch Addieren und Subtrahieren füllen. P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A): das gemeinsame Feld durch die Summe der Bedingung.

  1. a)Von 800 Personen haben 80 das Merkmal A, davon 60 auch B. Von den übrigen 720 haben 360 das Merkmal B. Stelle die Vierfeldertafel auf und berechne P(B|A) und P(A|B).Gegeben eintragen: A ∩ B = 60, A gesamt = 80, nicht A ∩ B = 360, gesamt = 800Zeile A: A ∩ B = 60, A ∩ nicht B = 80 - 60 = 20, Summe 80Zeile nicht A: nicht A ∩ B = 360, nicht A ∩ nicht B = 720 - 360 = 360, Summe 720Spaltensummen: B gesamt = 60 + 360 = 420, nicht B gesamt = 20 + 360 = 380, gesamt 800 ✓P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = 60 / 80 = 0,75 (Feld durch seine Zeilensumme)P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 60 / 420 ≈ 0,14 (dasselbe Feld durch seine Spaltensumme)
  2. b)Von 100 Personen haben 20 das Merkmal A, davon 15 auch B. Von den übrigen 80 haben 40 das Merkmal B. Stelle die Vierfeldertafel auf und berechne P(B|A) und P(A|B).
  3. c)Von 600 Personen haben 60 das Merkmal A, davon 30 auch B. Von den übrigen 540 haben 270 das Merkmal B. Stelle die Vierfeldertafel auf und berechne P(B|A) und P(A|B).

4Hypothese prüfen

Reihenfolge: 1. Verteilung unter H₀. 2. E(X) und σ. 3. Annahmebereich E ± 2σ. 4. Ergebnis einordnen. 5. Entscheidung in einem Satz.

  1. a)Eine Nullhypothese behauptet p = 0,10 bei n = 900. In einer Stichprobe gibt es 116 Treffer. Prüfe mit der Sigma-Regel, ob H₀ auf dem 5-Prozent-Niveau verworfen wird.Unter H₀ ist X binomialverteilt mit n = 900 und p = 0,10E(X) = 900 · 0,10 = 90, σ = √(900 · 0,10 · 0,90) = 92-Sigma-Umgebung: 90 ± 2 · 9 → von 72 bis 108. Darin liegen rund 95 % der Ergebnisse, wenn H₀ stimmt.Annahmebereich also [72; 108], Ablehnungsbereich alles außerhalb.116 > 108 → das Ergebnis liegt im Ablehnungsbereich.Entscheidung: H₀ wird auf dem 5-Prozent-Niveau verworfen. Ein so großes Ergebnis wäre bei p = 0,10 sehr unwahrscheinlich (unter 5 %).
  2. b)Eine Nullhypothese behauptet p = 0,50 bei n = 100. In einer Stichprobe gibt es 61 Treffer. Prüfe mit der Sigma-Regel, ob H₀ auf dem 5-Prozent-Niveau verworfen wird.

5Knobelaufgabe

Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.

  1. a)Eine Firma behauptet, höchstens 3 % ihrer Teile seien defekt. In einer Stichprobe von 500 Teilen sind 24 defekt. Argumentiere, ob die Behauptung haltbar ist.

Prüfungsteil Stochastik. Immer notieren, welche Zufallsgröße du betrachtest und wie sie verteilt ist.

1Binomialverteilung anwenden

Reihenfolge: 1. X benennen und begründen, warum binomialverteilt. 2. n, p, k aufschreiben. 3. Formel P(X = k) = (n über k) · p^k · (1 - p)^(n - k). „Mindestens 1" über das Gegenereignis: P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0).

  1. a)Ein Versuch mit Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,25 wird 5-mal wiederholt. Berechne P(X = 2) und P(X ≥ 1).Modell: X = Anzahl der Treffer. X ist binomialverteilt, denn: nur Treffer/kein Treffer, 5 feste Wiederholungen, p bleibt 0,25. n = 5, p = 0,25Formel: P(X = k) = (n über k) · p^k · (1 - p)^(n - k)(5 über 2) = 10P(X = 2) = 10 · 0,25^2 · 0,75^3 = 10 · 0,0625 · 0,4219 ≈ 0,264P(X ≥ 1) über das Gegenereignis „kein Treffer": P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)P(X = 0) = 0,75^5 ≈ 0,237 → P(X ≥ 1) ≈ 1 - 0,237 = 0,763
  2. b)Ein Versuch mit Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,50 wird 5-mal wiederholt. Berechne P(X = 3) und P(X ≥ 1).Modell: X = Anzahl der Treffer. X ist binomialverteilt, denn: nur Treffer/kein Treffer, 5 feste Wiederholungen, p bleibt 0,50. n = 5, p = 0,50Formel: P(X = k) = (n über k) · p^k · (1 - p)^(n - k)(5 über 3) = 10P(X = 3) = 10 · 0,50^3 · 0,50^2 = 10 · 0,1250 · 0,2500 ≈ 0,313P(X ≥ 1) über das Gegenereignis „kein Treffer": P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)P(X = 0) = 0,50^5 ≈ 0,031 → P(X ≥ 1) ≈ 1 - 0,031 = 0,969
  3. c)Ein Versuch mit Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,20 wird 9-mal wiederholt. Berechne P(X = 1) und P(X ≥ 1).Modell: X = Anzahl der Treffer. X ist binomialverteilt, denn: nur Treffer/kein Treffer, 9 feste Wiederholungen, p bleibt 0,20. n = 9, p = 0,20Formel: P(X = k) = (n über k) · p^k · (1 - p)^(n - k)(9 über 1) = 9P(X = 1) = 9 · 0,20^1 · 0,80^8 = 9 · 0,20 · 0,1678 ≈ 0,302P(X ≥ 1) über das Gegenereignis „kein Treffer": P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)P(X = 0) = 0,80^9 ≈ 0,134 → P(X ≥ 1) ≈ 1 - 0,134 = 0,866

2Sigma-Umgebung

E(X) = n · p. σ = √(n · p · (1 - p)). 1σ-Umgebung: E ± σ (≈ 68 %), 2σ: E ± 2σ (≈ 95 %). Am Ende in einem Satz sagen, was das Intervall bedeutet.

  1. a)n = 400, p = 0,10. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.Erwartungswert: E(X) = n · p = 400 · 0,10 = 40Standardabweichung: σ = √(n · p · (1 - p)) = √(400 · 0,10 · 0,90) = √36 = 61-Sigma-Umgebung: von E - σ bis E + σ, also von 34 bis 46Bedeutung: in rund 68 % der Versuchsreihen liegt die Trefferzahl zwischen 34 und 46.(Sigma-Regeln gelten gut, weil σ = 6 > 3 ist.)
  2. b)n = 64, p = 0,50. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.Erwartungswert: E(X) = n · p = 64 · 0,50 = 32Standardabweichung: σ = √(n · p · (1 - p)) = √(64 · 0,50 · 0,50) = √16 = 41-Sigma-Umgebung: von E - σ bis E + σ, also von 28 bis 36Bedeutung: in rund 68 % der Versuchsreihen liegt die Trefferzahl zwischen 28 und 36.(Sigma-Regeln gelten gut, weil σ = 4 > 3 ist.)
  3. c)n = 400, p = 0,50. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.Erwartungswert: E(X) = n · p = 400 · 0,50 = 200Standardabweichung: σ = √(n · p · (1 - p)) = √(400 · 0,50 · 0,50) = √100 = 101-Sigma-Umgebung: von E - σ bis E + σ, also von 190 bis 210Bedeutung: in rund 68 % der Versuchsreihen liegt die Trefferzahl zwischen 190 und 210.(Sigma-Regeln gelten gut, weil σ = 10 > 3 ist.)

3Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit

Erst alle gegebenen Zahlen in die Tafel, dann die Lücken durch Addieren und Subtrahieren füllen. P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A): das gemeinsame Feld durch die Summe der Bedingung.

  1. a)Von 800 Personen haben 80 das Merkmal A, davon 60 auch B. Von den übrigen 720 haben 360 das Merkmal B. Stelle die Vierfeldertafel auf und berechne P(B|A) und P(A|B).Gegeben eintragen: A ∩ B = 60, A gesamt = 80, nicht A ∩ B = 360, gesamt = 800Zeile A: A ∩ B = 60, A ∩ nicht B = 80 - 60 = 20, Summe 80Zeile nicht A: nicht A ∩ B = 360, nicht A ∩ nicht B = 720 - 360 = 360, Summe 720Spaltensummen: B gesamt = 60 + 360 = 420, nicht B gesamt = 20 + 360 = 380, gesamt 800 ✓P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = 60 / 80 = 0,75 (Feld durch seine Zeilensumme)P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 60 / 420 ≈ 0,14 (dasselbe Feld durch seine Spaltensumme)
  2. b)Von 100 Personen haben 20 das Merkmal A, davon 15 auch B. Von den übrigen 80 haben 40 das Merkmal B. Stelle die Vierfeldertafel auf und berechne P(B|A) und P(A|B).Gegeben eintragen: A ∩ B = 15, A gesamt = 20, nicht A ∩ B = 40, gesamt = 100Zeile A: A ∩ B = 15, A ∩ nicht B = 20 - 15 = 5, Summe 20Zeile nicht A: nicht A ∩ B = 40, nicht A ∩ nicht B = 80 - 40 = 40, Summe 80Spaltensummen: B gesamt = 15 + 40 = 55, nicht B gesamt = 5 + 40 = 45, gesamt 100 ✓P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = 15 / 20 = 0,75 (Feld durch seine Zeilensumme)P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 15 / 55 ≈ 0,27 (dasselbe Feld durch seine Spaltensumme)
  3. c)Von 600 Personen haben 60 das Merkmal A, davon 30 auch B. Von den übrigen 540 haben 270 das Merkmal B. Stelle die Vierfeldertafel auf und berechne P(B|A) und P(A|B).Gegeben eintragen: A ∩ B = 30, A gesamt = 60, nicht A ∩ B = 270, gesamt = 600Zeile A: A ∩ B = 30, A ∩ nicht B = 60 - 30 = 30, Summe 60Zeile nicht A: nicht A ∩ B = 270, nicht A ∩ nicht B = 540 - 270 = 270, Summe 540Spaltensummen: B gesamt = 30 + 270 = 300, nicht B gesamt = 30 + 270 = 300, gesamt 600 ✓P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = 30 / 60 = 0,50 (Feld durch seine Zeilensumme)P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 30 / 300 ≈ 0,10 (dasselbe Feld durch seine Spaltensumme)

4Hypothese prüfen

Reihenfolge: 1. Verteilung unter H₀. 2. E(X) und σ. 3. Annahmebereich E ± 2σ. 4. Ergebnis einordnen. 5. Entscheidung in einem Satz.

  1. a)Eine Nullhypothese behauptet p = 0,10 bei n = 900. In einer Stichprobe gibt es 116 Treffer. Prüfe mit der Sigma-Regel, ob H₀ auf dem 5-Prozent-Niveau verworfen wird.Unter H₀ ist X binomialverteilt mit n = 900 und p = 0,10E(X) = 900 · 0,10 = 90, σ = √(900 · 0,10 · 0,90) = 92-Sigma-Umgebung: 90 ± 2 · 9 → von 72 bis 108. Darin liegen rund 95 % der Ergebnisse, wenn H₀ stimmt.Annahmebereich also [72; 108], Ablehnungsbereich alles außerhalb.116 > 108 → das Ergebnis liegt im Ablehnungsbereich.Entscheidung: H₀ wird auf dem 5-Prozent-Niveau verworfen. Ein so großes Ergebnis wäre bei p = 0,10 sehr unwahrscheinlich (unter 5 %).
  2. b)Eine Nullhypothese behauptet p = 0,50 bei n = 100. In einer Stichprobe gibt es 61 Treffer. Prüfe mit der Sigma-Regel, ob H₀ auf dem 5-Prozent-Niveau verworfen wird.Unter H₀ ist X binomialverteilt mit n = 100 und p = 0,50E(X) = 100 · 0,50 = 50, σ = √(100 · 0,50 · 0,50) = 52-Sigma-Umgebung: 50 ± 2 · 5 → von 40 bis 60. Darin liegen rund 95 % der Ergebnisse, wenn H₀ stimmt.Annahmebereich also [40; 60], Ablehnungsbereich alles außerhalb.61 > 60 → das Ergebnis liegt im Ablehnungsbereich.Entscheidung: H₀ wird auf dem 5-Prozent-Niveau verworfen. Ein so großes Ergebnis wäre bei p = 0,50 sehr unwahrscheinlich (unter 5 %).

5Knobelaufgabe

Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.

  1. a)Eine Firma behauptet, höchstens 3 % ihrer Teile seien defekt. In einer Stichprobe von 500 Teilen sind 24 defekt. Argumentiere, ob die Behauptung haltbar ist.Erwartet wären 15 Teile, Sigma = 3,81. Der Wert 24 liegt 2,4 Sigma darüber, also außerhalb des 2-Sigma-Bereichs. Die Behauptung ist auf dem 5-Prozent-Niveau zu verwerfen.

Binomialverteilung: erst das Modell

Schreib hin, was X zählt („Anzahl der Treffer") und begründe kurz, warum X binomialverteilt ist: nur zwei Ausgänge, feste Anzahl n an Wiederholungen, p bleibt gleich. Dann n, p und k notieren und in die Formel einsetzen. Den Binomialkoeffizienten (n über k) getrennt ausrechnen, dann die Potenzen.

n = 6, p = 0,5, k = 2(6 über 2) = 15P(X = 2) = 15 · 0,5² · 0,5⁴ = 15 · 0,015625 ≈ 0,234

Mindestens, höchstens, mehr als

Übersetze jede Formulierung in eine Ungleichung für X, bevor du rechnest. „Mindestens 1" geht am schnellsten über das Gegenereignis: P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0). „Höchstens k" ist die Summe von P(X = 0) bis P(X = k) — im Abitur liest man sie aus der Tabelle oder dem Rechner.

mehr als 5 → P(X ≥ 6) = 1 - P(X ≤ 5)mindestens 1 → 1 - P(X = 0)höchstens 2 → P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Erwartungswert und Sigma-Umgebung

E(X) = n · p sagt, wie viele Treffer im Mittel kommen. σ = √(n · p · (1 - p)) sagt, wie stark die Ergebnisse darum schwanken. Die 1σ-Umgebung E ± σ enthält rund 68 % aller Ergebnisse, die 2σ-Umgebung E ± 2σ rund 95 %. Schreib am Ende einen Satz, was das Intervall bedeutet — den gibt es im Abitur extra bewertet.

n = 100, p = 0,5: E = 50, σ = √25 = 51σ: 45 bis 55 (≈ 68 %), 2σ: 40 bis 60 (≈ 95 %)

Vierfeldertafel

Zeichne die Tafel mit A / nicht A in den Zeilen, B / nicht B in den Spalten und Randsummen. Trage zuerst alle gegebenen Zahlen ein, dann füllst du die Lücken: jede Zeile und jede Spalte muss zur Randsumme passen. Bedingte Wahrscheinlichkeit heißt: das gemeinsame Feld durch die Randsumme der Bedingung teilen. P(B|A) teilt durch die Zeile A, P(A|B) durch die Spalte B — das sind zwei verschiedene Zahlen.

A ∩ B = 30, A gesamt = 40, B gesamt = 50P(B|A) = 30/40 = 0,75P(A|B) = 30/50 = 0,6

Hypothese mit der Sigma-Regel prüfen

Unter der Nullhypothese H₀ ist X binomialverteilt mit dem behaupteten p. Berechne E(X) und σ, dann den Annahmebereich E ± 2σ — darin liegen rund 95 % der Ergebnisse, wenn H₀ stimmt. Liegt das beobachtete Ergebnis außerhalb, wird H₀ auf dem 5-Prozent-Niveau verworfen. Schreib die Entscheidung als ganzen Satz und nenne den Grund: ein solches Ergebnis wäre unter H₀ zu unwahrscheinlich.

H₀: p = 0,5, n = 100 → E = 50, σ = 5Annahmebereich 40 bis 60beobachtet 63 → außerhalb → H₀ verwerfen

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