Bedingte Wahrscheinlichkeit

Mathematik · Klasse 12 · mittel

Abiturvorbereitung
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Das brauchst du

P(A|B) = P(A und B)/P(B)P(A und B) = P(B) · P(A|B)unabhängig, wenn P(A und B) = P(A) · P(B)

P(A|B) = P(A und B) / P(B). Unabhängig sind zwei Ereignisse, wenn P(A und B) = P(A) · P(B).

1Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Brillenträgerin eine Frau ist?

  1. a)In einer Gruppe von 80 Personen tragen 16 eine Brille, 4 davon sind Frauen.P = 4/16 = 0,25
  2. b)In einer Gruppe von 60 Personen tragen 12 eine Brille, 9 davon sind Frauen.
  3. c)In einer Gruppe von 36 Personen tragen 12 eine Brille, 3 davon sind Frauen.
  4. d)In einer Gruppe von 36 Personen tragen 12 eine Brille, 9 davon sind Frauen.
  5. e)In einer Gruppe von 60 Personen tragen 20 eine Brille, 5 davon sind Frauen.
  6. f)In einer Gruppe von 64 Personen tragen 16 eine Brille, 12 davon sind Frauen.

2P(A unter der Bedingung B)?

  1. a)P(A und B) = 20%, P(B) = 50%.P(A|B) = 20 / 50 = 0,40
  2. b)P(A und B) = 4%, P(B) = 20%.
  3. c)P(A und B) = 10%, P(B) = 25%.
  4. d)P(A und B) = 30%, P(B) = 50%.
  5. e)P(A und B) = 15%, P(B) = 25%.
  6. f)P(A und B) = 8%, P(B) = 40%.

Das brauchst du

P(A|B) = P(A und B)/P(B)P(A und B) = P(B) · P(A|B)unabhängig, wenn P(A und B) = P(A) · P(B)

P(A|B) = P(A und B) / P(B). Unabhängig sind zwei Ereignisse, wenn P(A und B) = P(A) · P(B).

1Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Brillenträgerin eine Frau ist?

  1. a)In einer Gruppe von 80 Personen tragen 16 eine Brille, 4 davon sind Frauen.P = 4/16 = 0,25
  2. b)In einer Gruppe von 60 Personen tragen 12 eine Brille, 9 davon sind Frauen.P = 9/12 = 0,75
  3. c)In einer Gruppe von 36 Personen tragen 12 eine Brille, 3 davon sind Frauen.P = 3/12 = 0,25
  4. d)In einer Gruppe von 36 Personen tragen 12 eine Brille, 9 davon sind Frauen.P = 9/12 = 0,75
  5. e)In einer Gruppe von 60 Personen tragen 20 eine Brille, 5 davon sind Frauen.P = 5/20 = 0,25
  6. f)In einer Gruppe von 64 Personen tragen 16 eine Brille, 12 davon sind Frauen.P = 12/16 = 0,75

2P(A unter der Bedingung B)?

  1. a)P(A und B) = 20%, P(B) = 50%.P(A|B) = 20 / 50 = 0,40
  2. b)P(A und B) = 4%, P(B) = 20%.P(A|B) = 4 / 20 = 0,20
  3. c)P(A und B) = 10%, P(B) = 25%.P(A|B) = 10 / 25 = 0,40
  4. d)P(A und B) = 30%, P(B) = 50%.P(A|B) = 30 / 50 = 0,60
  5. e)P(A und B) = 15%, P(B) = 25%.P(A|B) = 15 / 25 = 0,60
  6. f)P(A und B) = 8%, P(B) = 40%.P(A|B) = 8 / 40 = 0,20

Das brauchst du

P(A|B) = P(A und B)/P(B)P(A und B) = P(B) · P(A|B)unabhängig, wenn P(A und B) = P(A) · P(B)

P(A|B) = P(A und B) / P(B). Unabhängig sind zwei Ereignisse, wenn P(A und B) = P(A) · P(B).

1Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Brillenträgerin eine Frau ist?

  1. a)In einer Gruppe von 60 Personen tragen 12 eine Brille, 9 davon sind Frauen.P = 9/12 = 0,75
  2. b)In einer Gruppe von 80 Personen tragen 16 eine Brille, 12 davon sind Frauen.
  3. c)In einer Gruppe von 36 Personen tragen 12 eine Brille, 6 davon sind Frauen.
  4. d)In einer Gruppe von 80 Personen tragen 20 eine Brille, 5 davon sind Frauen.
  5. e)In einer Gruppe von 48 Personen tragen 12 eine Brille, 3 davon sind Frauen.

2P(A unter der Bedingung B)?

  1. a)P(A und B) = 5%, P(B) = 25%.P(A|B) = 5 / 25 = 0,20
  2. b)P(A und B) = 12%, P(B) = 20%.
  3. c)P(A und B) = 16%, P(B) = 40%.
  4. d)P(A und B) = 8%, P(B) = 40%.
  5. e)P(A und B) = 10%, P(B) = 50%.

3Wie viele haben keines von beiden?

Vierfeldertafel:

  1. a)103 Befragte, 50 mit Merkmal A, 21 mit Merkmal B, 9 mit beiden.A oder B: 50 + 21 - 9 = 62. Keines: 103 - 62 = 41
  2. b)102 Befragte, 31 mit Merkmal A, 28 mit Merkmal B, 11 mit beiden.
  3. c)182 Befragte, 22 mit Merkmal A, 30 mit Merkmal B, 10 mit beiden.
  4. d)141 Befragte, 31 mit Merkmal A, 28 mit Merkmal B, 7 mit beiden.

Das brauchst du

P(A|B) = P(A und B)/P(B)P(A und B) = P(B) · P(A|B)unabhängig, wenn P(A und B) = P(A) · P(B)

P(A|B) = P(A und B) / P(B). Unabhängig sind zwei Ereignisse, wenn P(A und B) = P(A) · P(B).

1Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Brillenträgerin eine Frau ist?

  1. a)In einer Gruppe von 60 Personen tragen 12 eine Brille, 9 davon sind Frauen.P = 9/12 = 0,75
  2. b)In einer Gruppe von 80 Personen tragen 16 eine Brille, 12 davon sind Frauen.P = 12/16 = 0,75
  3. c)In einer Gruppe von 36 Personen tragen 12 eine Brille, 6 davon sind Frauen.P = 6/12 = 0,50
  4. d)In einer Gruppe von 80 Personen tragen 20 eine Brille, 5 davon sind Frauen.P = 5/20 = 0,25
  5. e)In einer Gruppe von 48 Personen tragen 12 eine Brille, 3 davon sind Frauen.P = 3/12 = 0,25

2P(A unter der Bedingung B)?

  1. a)P(A und B) = 5%, P(B) = 25%.P(A|B) = 5 / 25 = 0,20
  2. b)P(A und B) = 12%, P(B) = 20%.P(A|B) = 12 / 20 = 0,60
  3. c)P(A und B) = 16%, P(B) = 40%.P(A|B) = 16 / 40 = 0,40
  4. d)P(A und B) = 8%, P(B) = 40%.P(A|B) = 8 / 40 = 0,20
  5. e)P(A und B) = 10%, P(B) = 50%.P(A|B) = 10 / 50 = 0,20

3Wie viele haben keines von beiden?

Vierfeldertafel:

  1. a)103 Befragte, 50 mit Merkmal A, 21 mit Merkmal B, 9 mit beiden.A oder B: 50 + 21 - 9 = 62. Keines: 103 - 62 = 41
  2. b)102 Befragte, 31 mit Merkmal A, 28 mit Merkmal B, 11 mit beiden.A oder B: 31 + 28 - 11 = 48. Keines: 102 - 48 = 54
  3. c)182 Befragte, 22 mit Merkmal A, 30 mit Merkmal B, 10 mit beiden.A oder B: 22 + 30 - 10 = 42. Keines: 182 - 42 = 140
  4. d)141 Befragte, 31 mit Merkmal A, 28 mit Merkmal B, 7 mit beiden.A oder B: 31 + 28 - 7 = 52. Keines: 141 - 52 = 89

Das brauchst du

P(A|B) = P(A und B)/P(B)P(A und B) = P(B) · P(A|B)unabhängig, wenn P(A und B) = P(A) · P(B)

P(A|B) = P(A und B) / P(B). Unabhängig sind zwei Ereignisse, wenn P(A und B) = P(A) · P(B).

1Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Brillenträgerin eine Frau ist?

  1. a)In einer Gruppe von 64 Personen tragen 16 eine Brille, 4 davon sind Frauen.P = 4/16 = 0,25
  2. b)In einer Gruppe von 80 Personen tragen 16 eine Brille, 8 davon sind Frauen.
  3. c)In einer Gruppe von 48 Personen tragen 12 eine Brille, 3 davon sind Frauen.
  4. d)In einer Gruppe von 60 Personen tragen 20 eine Brille, 5 davon sind Frauen.
  5. e)In einer Gruppe von 64 Personen tragen 16 eine Brille, 8 davon sind Frauen.

2P(A unter der Bedingung B)?

  1. a)P(A und B) = 12%, P(B) = 20%.P(A|B) = 12 / 20 = 0,60
  2. b)P(A und B) = 8%, P(B) = 20%.
  3. c)P(A und B) = 16%, P(B) = 40%.
  4. d)P(A und B) = 8%, P(B) = 40%.
  5. e)P(A und B) = 10%, P(B) = 50%.

3Wie viele haben keines von beiden?

Vierfeldertafel:

  1. a)138 Befragte, 20 mit Merkmal A, 36 mit Merkmal B, 9 mit beiden.A oder B: 20 + 36 - 9 = 47. Keines: 138 - 47 = 91
  2. b)146 Befragte, 33 mit Merkmal A, 22 mit Merkmal B, 15 mit beiden.
  3. c)171 Befragte, 39 mit Merkmal A, 23 mit Merkmal B, 6 mit beiden.
  4. d)125 Befragte, 28 mit Merkmal A, 21 mit Merkmal B, 14 mit beiden.

4Sind A und B unabhängig?

  1. a)P(A) = 0,20, P(B) = 0,50, P(A und B) = 0,100.Bei Unabhängigkeit gilt P(A und B) = P(A)·P(B) = 0,100. Das stimmt, also unabhängig.
  2. b)P(A) = 0,30, P(B) = 0,50, P(A und B) = 0,150.
  3. c)P(A) = 0,40, P(B) = 0,50, P(A und B) = 0,200.
  4. d)P(A) = 0,40, P(B) = 0,25, P(A und B) = 0,100.

5Knobelaufgabe

Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.

  1. a)Erfinde ein Beispiel, bei dem P(A|B) deutlich größer ist als P(A). Erkläre, warum die Bedingung so viel ändert.

Das brauchst du

P(A|B) = P(A und B)/P(B)P(A und B) = P(B) · P(A|B)unabhängig, wenn P(A und B) = P(A) · P(B)

P(A|B) = P(A und B) / P(B). Unabhängig sind zwei Ereignisse, wenn P(A und B) = P(A) · P(B).

1Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Brillenträgerin eine Frau ist?

  1. a)In einer Gruppe von 64 Personen tragen 16 eine Brille, 4 davon sind Frauen.P = 4/16 = 0,25
  2. b)In einer Gruppe von 80 Personen tragen 16 eine Brille, 8 davon sind Frauen.P = 8/16 = 0,50
  3. c)In einer Gruppe von 48 Personen tragen 12 eine Brille, 3 davon sind Frauen.P = 3/12 = 0,25
  4. d)In einer Gruppe von 60 Personen tragen 20 eine Brille, 5 davon sind Frauen.P = 5/20 = 0,25
  5. e)In einer Gruppe von 64 Personen tragen 16 eine Brille, 8 davon sind Frauen.P = 8/16 = 0,50

2P(A unter der Bedingung B)?

  1. a)P(A und B) = 12%, P(B) = 20%.P(A|B) = 12 / 20 = 0,60
  2. b)P(A und B) = 8%, P(B) = 20%.P(A|B) = 8 / 20 = 0,40
  3. c)P(A und B) = 16%, P(B) = 40%.P(A|B) = 16 / 40 = 0,40
  4. d)P(A und B) = 8%, P(B) = 40%.P(A|B) = 8 / 40 = 0,20
  5. e)P(A und B) = 10%, P(B) = 50%.P(A|B) = 10 / 50 = 0,20

3Wie viele haben keines von beiden?

Vierfeldertafel:

  1. a)138 Befragte, 20 mit Merkmal A, 36 mit Merkmal B, 9 mit beiden.A oder B: 20 + 36 - 9 = 47. Keines: 138 - 47 = 91
  2. b)146 Befragte, 33 mit Merkmal A, 22 mit Merkmal B, 15 mit beiden.A oder B: 33 + 22 - 15 = 40. Keines: 146 - 40 = 106
  3. c)171 Befragte, 39 mit Merkmal A, 23 mit Merkmal B, 6 mit beiden.A oder B: 39 + 23 - 6 = 56. Keines: 171 - 56 = 115
  4. d)125 Befragte, 28 mit Merkmal A, 21 mit Merkmal B, 14 mit beiden.A oder B: 28 + 21 - 14 = 35. Keines: 125 - 35 = 90

4Sind A und B unabhängig?

  1. a)P(A) = 0,20, P(B) = 0,50, P(A und B) = 0,100.Bei Unabhängigkeit gilt P(A und B) = P(A)·P(B) = 0,100. Das stimmt, also unabhängig.
  2. b)P(A) = 0,30, P(B) = 0,50, P(A und B) = 0,150.Bei Unabhängigkeit gilt P(A und B) = P(A)·P(B) = 0,150. Das stimmt, also unabhängig.
  3. c)P(A) = 0,40, P(B) = 0,50, P(A und B) = 0,200.Bei Unabhängigkeit gilt P(A und B) = P(A)·P(B) = 0,200. Das stimmt, also unabhängig.
  4. d)P(A) = 0,40, P(B) = 0,25, P(A und B) = 0,100.Bei Unabhängigkeit gilt P(A und B) = P(A)·P(B) = 0,100. Das stimmt, also unabhängig.

5Knobelaufgabe

Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.

  1. a)Erfinde ein Beispiel, bei dem P(A|B) deutlich größer ist als P(A). Erkläre, warum die Bedingung so viel ändert.Zum Beispiel A = „Person ist Torhüter", B = „Person spielt Fußball". Ohne Bedingung ist A sehr selten, unter Fußballspielern deutlich häufiger.

Was „bedingt" heißt

P(A|B) ist die Wahrscheinlichkeit für A, wenn man schon weiß, dass B eingetreten ist. Man rechnet also nur noch innerhalb von B.

P(A|B) = P(A und B) / P(B)

Vierfeldertafel

Trage A, nicht A, B und nicht B in eine Tabelle mit den Randsummen ein. Fehlende Felder ergeben sich durch Addieren und Subtrahieren. Bedingte Wahrscheinlichkeiten liest du ab, indem du ein Feld durch seine Zeilen- oder Spaltensumme teilst.

Die typische Falle

P(A|B) ist nicht P(B|A). Ein positiver Test bei einer seltenen Krankheit bedeutet oft trotzdem nur eine geringe Wahrscheinlichkeit, krank zu sein — weil es so viele Gesunde gibt, die falsch positiv getestet werden.

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