Bestimmtes Integral und Flächen

Mathematik · Klasse 12 · mittel

Abiturvorbereitung
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Das brauchst du

Integral von a bis b: F(b) - F(a)Fläche zwischen zwei Kurven: Integral über (oben - unten)Bei Vorzeichenwechsel abschnittsweise rechnen.

Bestimmtes Integral: Stammfunktion an der oberen Grenze minus Stammfunktion an der unteren Grenze.

1Bestimmtes Integral

  1. a)Integral von 6x in den Grenzen 0 bis 2?F(x) = 3x², F(2) - F(0) = 12
  2. b)Integral von 4x in den Grenzen 0 bis 5?
  3. c)Integral von 9x² in den Grenzen 0 bis 3?
  4. d)Integral von 3x² in den Grenzen 0 bis 5?
  5. e)Integral von 2x in den Grenzen 0 bis 5?
  6. f)Integral von 4x in den Grenzen 0 bis 4?
  7. g)Integral von 8x³ in den Grenzen 0 bis 5?
  8. h)Integral von 4x³ in den Grenzen 0 bis 2?
  9. i)Integral von 4x³ in den Grenzen 0 bis 4?
  10. j)Integral von 9x² in den Grenzen 0 bis 2?
  11. k)Integral von 6x² in den Grenzen 0 bis 5?

2Fläche zur x-Achse

  1. a)Fläche zwischen f(x) = 9 - x² und der x-Achse?Nullstellen bei x = -3 und 3. Integral ergibt 36 Flächeneinheiten.
  2. b)Fläche zwischen f(x) = 81 - x² und der x-Achse?
  3. c)Fläche zwischen f(x) = 36 - x² und der x-Achse?

Das brauchst du

Integral von a bis b: F(b) - F(a)Fläche zwischen zwei Kurven: Integral über (oben - unten)Bei Vorzeichenwechsel abschnittsweise rechnen.

Bestimmtes Integral: Stammfunktion an der oberen Grenze minus Stammfunktion an der unteren Grenze.

1Bestimmtes Integral

  1. a)Integral von 6x in den Grenzen 0 bis 2?F(x) = 3x², F(2) - F(0) = 12
  2. b)Integral von 4x in den Grenzen 0 bis 5?F(x) = 2x², F(5) - F(0) = 50
  3. c)Integral von 9x² in den Grenzen 0 bis 3?F(x) = 3x³, F(3) - F(0) = 81
  4. d)Integral von 3x² in den Grenzen 0 bis 5?F(x) = x³, F(5) - F(0) = 125
  5. e)Integral von 2x in den Grenzen 0 bis 5?F(x) = x², F(5) - F(0) = 25
  6. f)Integral von 4x in den Grenzen 0 bis 4?F(x) = 2x², F(4) - F(0) = 32
  7. g)Integral von 8x³ in den Grenzen 0 bis 5?F(x) = 2x^4, F(5) - F(0) = 1250
  8. h)Integral von 4x³ in den Grenzen 0 bis 2?F(x) = x^4, F(2) - F(0) = 16
  9. i)Integral von 4x³ in den Grenzen 0 bis 4?F(x) = x^4, F(4) - F(0) = 256
  10. j)Integral von 9x² in den Grenzen 0 bis 2?F(x) = 3x³, F(2) - F(0) = 24
  11. k)Integral von 6x² in den Grenzen 0 bis 5?F(x) = 2x³, F(5) - F(0) = 250

2Fläche zur x-Achse

  1. a)Fläche zwischen f(x) = 9 - x² und der x-Achse?Nullstellen bei x = -3 und 3. Integral ergibt 36 Flächeneinheiten.
  2. b)Fläche zwischen f(x) = 81 - x² und der x-Achse?Nullstellen bei x = -9 und 9. Integral ergibt 972 Flächeneinheiten.
  3. c)Fläche zwischen f(x) = 36 - x² und der x-Achse?Nullstellen bei x = -6 und 6. Integral ergibt 288 Flächeneinheiten.

Das brauchst du

Integral von a bis b: F(b) - F(a)Fläche zwischen zwei Kurven: Integral über (oben - unten)Bei Vorzeichenwechsel abschnittsweise rechnen.

Bestimmtes Integral: Stammfunktion an der oberen Grenze minus Stammfunktion an der unteren Grenze.

1Bestimmtes Integral

  1. a)Integral von 3x² in den Grenzen 0 bis 3?F(x) = x³, F(3) - F(0) = 27
  2. b)Integral von 8x³ in den Grenzen 0 bis 3?
  3. c)Integral von 4x in den Grenzen 0 bis 5?
  4. d)Integral von 4x³ in den Grenzen 0 bis 4?
  5. e)Integral von 2x in den Grenzen 0 bis 2?
  6. f)Integral von 9x² in den Grenzen 0 bis 3?

2Fläche zur x-Achse

  1. a)Fläche zwischen f(x) = 9 - x² und der x-Achse?Nullstellen bei x = -3 und 3. Integral ergibt 36 Flächeneinheiten.
  2. b)Fläche zwischen f(x) = 81 - x² und der x-Achse?
  3. c)Fläche zwischen f(x) = 36 - x² und der x-Achse?

3Fläche zwischen zwei Kurven

  1. a)Fläche zwischen f(x) = 6x und g(x) = x² im Bereich der Schnittpunkte?Schnittpunkte: x² = 6x also x = 0 und x = 6. Integral von (6x - x²) ergibt 36.
  2. b)Fläche zwischen f(x) = 12x und g(x) = x² im Bereich der Schnittpunkte?

Das brauchst du

Integral von a bis b: F(b) - F(a)Fläche zwischen zwei Kurven: Integral über (oben - unten)Bei Vorzeichenwechsel abschnittsweise rechnen.

Bestimmtes Integral: Stammfunktion an der oberen Grenze minus Stammfunktion an der unteren Grenze.

1Bestimmtes Integral

  1. a)Integral von 3x² in den Grenzen 0 bis 3?F(x) = x³, F(3) - F(0) = 27
  2. b)Integral von 8x³ in den Grenzen 0 bis 3?F(x) = 2x^4, F(3) - F(0) = 162
  3. c)Integral von 4x in den Grenzen 0 bis 5?F(x) = 2x², F(5) - F(0) = 50
  4. d)Integral von 4x³ in den Grenzen 0 bis 4?F(x) = x^4, F(4) - F(0) = 256
  5. e)Integral von 2x in den Grenzen 0 bis 2?F(x) = x², F(2) - F(0) = 4
  6. f)Integral von 9x² in den Grenzen 0 bis 3?F(x) = 3x³, F(3) - F(0) = 81

2Fläche zur x-Achse

  1. a)Fläche zwischen f(x) = 9 - x² und der x-Achse?Nullstellen bei x = -3 und 3. Integral ergibt 36 Flächeneinheiten.
  2. b)Fläche zwischen f(x) = 81 - x² und der x-Achse?Nullstellen bei x = -9 und 9. Integral ergibt 972 Flächeneinheiten.
  3. c)Fläche zwischen f(x) = 36 - x² und der x-Achse?Nullstellen bei x = -6 und 6. Integral ergibt 288 Flächeneinheiten.

3Fläche zwischen zwei Kurven

  1. a)Fläche zwischen f(x) = 6x und g(x) = x² im Bereich der Schnittpunkte?Schnittpunkte: x² = 6x also x = 0 und x = 6. Integral von (6x - x²) ergibt 36.
  2. b)Fläche zwischen f(x) = 12x und g(x) = x² im Bereich der Schnittpunkte?Schnittpunkte: x² = 12x also x = 0 und x = 12. Integral von (12x - x²) ergibt 288.

Das brauchst du

Integral von a bis b: F(b) - F(a)Fläche zwischen zwei Kurven: Integral über (oben - unten)Bei Vorzeichenwechsel abschnittsweise rechnen.

Bestimmtes Integral: Stammfunktion an der oberen Grenze minus Stammfunktion an der unteren Grenze.

1Bestimmtes Integral

  1. a)Integral von 6x² in den Grenzen 0 bis 2?F(x) = 2x³, F(2) - F(0) = 16
  2. b)Integral von 6x² in den Grenzen 0 bis 5?
  3. c)Integral von 4x in den Grenzen 0 bis 4?
  4. d)Integral von 2x in den Grenzen 0 bis 2?
  5. e)Integral von 6x in den Grenzen 0 bis 2?
  6. f)Integral von 4x³ in den Grenzen 0 bis 4?

2Fläche zur x-Achse

  1. a)Fläche zwischen f(x) = 36 - x² und der x-Achse?Nullstellen bei x = -6 und 6. Integral ergibt 288 Flächeneinheiten.
  2. b)Fläche zwischen f(x) = 81 - x² und der x-Achse?
  3. c)Fläche zwischen f(x) = 9 - x² und der x-Achse?

3Fläche zwischen zwei Kurven

  1. a)Fläche zwischen f(x) = 12x und g(x) = x² im Bereich der Schnittpunkte?Schnittpunkte: x² = 12x also x = 0 und x = 12. Integral von (12x - x²) ergibt 288.
  2. b)Fläche zwischen f(x) = 6x und g(x) = x² im Bereich der Schnittpunkte?

4Vorzeichen begründen

  1. a)Warum ist das Integral von x³ in den Grenzen -6 bis 6 gleich null, obwohl eine Fläche vorhanden ist?x³ ist punktsymmetrisch. Der negative Teil links der y-Achse hebt den positiven Teil rechts auf. Für die Fläche getrennt rechnen: 2 · 324 = 648.
  2. b)Warum ist das Integral von x³ in den Grenzen -2 bis 2 gleich null, obwohl eine Fläche vorhanden ist?
  3. c)Warum ist das Integral von x³ in den Grenzen -4 bis 4 gleich null, obwohl eine Fläche vorhanden ist?

5Zeichne

  1. a)Skizziere eine Funktion, deren Integral von 0 bis 4 null ergibt, obwohl der Graph nicht die Nullfunktion ist. Erkläre.

Das brauchst du

Integral von a bis b: F(b) - F(a)Fläche zwischen zwei Kurven: Integral über (oben - unten)Bei Vorzeichenwechsel abschnittsweise rechnen.

Bestimmtes Integral: Stammfunktion an der oberen Grenze minus Stammfunktion an der unteren Grenze.

1Bestimmtes Integral

  1. a)Integral von 6x² in den Grenzen 0 bis 2?F(x) = 2x³, F(2) - F(0) = 16
  2. b)Integral von 6x² in den Grenzen 0 bis 5?F(x) = 2x³, F(5) - F(0) = 250
  3. c)Integral von 4x in den Grenzen 0 bis 4?F(x) = 2x², F(4) - F(0) = 32
  4. d)Integral von 2x in den Grenzen 0 bis 2?F(x) = x², F(2) - F(0) = 4
  5. e)Integral von 6x in den Grenzen 0 bis 2?F(x) = 3x², F(2) - F(0) = 12
  6. f)Integral von 4x³ in den Grenzen 0 bis 4?F(x) = x^4, F(4) - F(0) = 256

2Fläche zur x-Achse

  1. a)Fläche zwischen f(x) = 36 - x² und der x-Achse?Nullstellen bei x = -6 und 6. Integral ergibt 288 Flächeneinheiten.
  2. b)Fläche zwischen f(x) = 81 - x² und der x-Achse?Nullstellen bei x = -9 und 9. Integral ergibt 972 Flächeneinheiten.
  3. c)Fläche zwischen f(x) = 9 - x² und der x-Achse?Nullstellen bei x = -3 und 3. Integral ergibt 36 Flächeneinheiten.

3Fläche zwischen zwei Kurven

  1. a)Fläche zwischen f(x) = 12x und g(x) = x² im Bereich der Schnittpunkte?Schnittpunkte: x² = 12x also x = 0 und x = 12. Integral von (12x - x²) ergibt 288.
  2. b)Fläche zwischen f(x) = 6x und g(x) = x² im Bereich der Schnittpunkte?Schnittpunkte: x² = 6x also x = 0 und x = 6. Integral von (6x - x²) ergibt 36.

4Vorzeichen begründen

  1. a)Warum ist das Integral von x³ in den Grenzen -6 bis 6 gleich null, obwohl eine Fläche vorhanden ist?x³ ist punktsymmetrisch. Der negative Teil links der y-Achse hebt den positiven Teil rechts auf. Für die Fläche getrennt rechnen: 2 · 324 = 648.
  2. b)Warum ist das Integral von x³ in den Grenzen -2 bis 2 gleich null, obwohl eine Fläche vorhanden ist?x³ ist punktsymmetrisch. Der negative Teil links der y-Achse hebt den positiven Teil rechts auf. Für die Fläche getrennt rechnen: 2 · 4 = 8.
  3. c)Warum ist das Integral von x³ in den Grenzen -4 bis 4 gleich null, obwohl eine Fläche vorhanden ist?x³ ist punktsymmetrisch. Der negative Teil links der y-Achse hebt den positiven Teil rechts auf. Für die Fläche getrennt rechnen: 2 · 64 = 128.

5Zeichne

  1. a)Skizziere eine Funktion, deren Integral von 0 bis 4 null ergibt, obwohl der Graph nicht die Nullfunktion ist. Erkläre.
Zum Beispiel eine Funktion, die von 0 bis 2 positiv und von 2 bis 4 spiegelbildlich negativ ist. Die Flächen heben sich auf.

Der Hauptsatz

Das Integral von a bis b ist F(b) - F(a). Du brauchst also nur eine Stammfunktion und setzt die Grenzen ein.

Integral von 0 bis 2 über 3x²F(x) = x³F(2) - F(0) = 8

Integral ist nicht gleich Fläche

Unter der x-Achse zählt das Integral negativ. Wechselt die Funktion im Intervall das Vorzeichen, rechnest du abschnittsweise zwischen den Nullstellen und addierst die Beträge.

Fläche zwischen zwei Kurven

Obere Funktion minus untere, dann integrieren. Die Grenzen sind die Schnittstellen der beiden Graphen.

A = Integral von a bis b über (f(x) - g(x))

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