Binomialverteilung

Mathematik · Klasse 12 · mittel

Abiturvorbereitung
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Das brauchst du

P(X = k) = C(n,k) · p^k · (1 - p)^(n-k)E(X) = n · p, V(X) = n · p · (1 - p)σ = √(n · p · (1 - p))

Binomialverteilung: P(X = k) = (n über k) · p^k · (1-p)^(n-k). Bei "mindestens eins" über das Gegenereignis rechnen.

1Binomialkoeffizient

  1. a)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 5 Elementen 3 auszuwählen?Binomialkoeffizient 5 über 3 = 10
  2. b)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 8 Elementen 2 auszuwählen?
  3. c)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 8 Elementen 1 auszuwählen?
  4. d)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 4 Elementen 3 auszuwählen?
  5. e)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 7 Elementen 3 auszuwählen?
  6. f)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 5 Elementen 2 auszuwählen?

2Genau k Treffer

  1. a)8-mal ziehen mit p = 0,25. Wahrscheinlichkeit für genau 1 Treffer?P = 8 · 0,25^1 · 0,75^7 = 0,2670
  2. b)7-mal ziehen mit p = 0,20. Wahrscheinlichkeit für genau 1 Treffer?
  3. c)5-mal ziehen mit p = 0,25. Wahrscheinlichkeit für genau 3 Treffer?
  4. d)4-mal ziehen mit p = 0,25. Wahrscheinlichkeit für genau 1 Treffer?
  5. e)4-mal ziehen mit p = 0,50. Wahrscheinlichkeit für genau 3 Treffer?
  6. f)7-mal ziehen mit p = 0,25. Wahrscheinlichkeit für genau 2 Treffer?

Das brauchst du

P(X = k) = C(n,k) · p^k · (1 - p)^(n-k)E(X) = n · p, V(X) = n · p · (1 - p)σ = √(n · p · (1 - p))

Binomialverteilung: P(X = k) = (n über k) · p^k · (1-p)^(n-k). Bei "mindestens eins" über das Gegenereignis rechnen.

1Binomialkoeffizient

  1. a)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 5 Elementen 3 auszuwählen?Binomialkoeffizient 5 über 3 = 10
  2. b)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 8 Elementen 2 auszuwählen?Binomialkoeffizient 8 über 2 = 28
  3. c)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 8 Elementen 1 auszuwählen?Binomialkoeffizient 8 über 1 = 8
  4. d)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 4 Elementen 3 auszuwählen?Binomialkoeffizient 4 über 3 = 4
  5. e)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 7 Elementen 3 auszuwählen?Binomialkoeffizient 7 über 3 = 35
  6. f)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 5 Elementen 2 auszuwählen?Binomialkoeffizient 5 über 2 = 10

2Genau k Treffer

  1. a)8-mal ziehen mit p = 0,25. Wahrscheinlichkeit für genau 1 Treffer?P = 8 · 0,25^1 · 0,75^7 = 0,2670
  2. b)7-mal ziehen mit p = 0,20. Wahrscheinlichkeit für genau 1 Treffer?P = 7 · 0,20^1 · 0,80^6 = 0,3670
  3. c)5-mal ziehen mit p = 0,25. Wahrscheinlichkeit für genau 3 Treffer?P = 10 · 0,25^3 · 0,75^2 = 0,0879
  4. d)4-mal ziehen mit p = 0,25. Wahrscheinlichkeit für genau 1 Treffer?P = 4 · 0,25^1 · 0,75^3 = 0,4219
  5. e)4-mal ziehen mit p = 0,50. Wahrscheinlichkeit für genau 3 Treffer?P = 4 · 0,50^3 · 0,50^1 = 0,2500
  6. f)7-mal ziehen mit p = 0,25. Wahrscheinlichkeit für genau 2 Treffer?P = 21 · 0,25^2 · 0,75^5 = 0,3115

Das brauchst du

P(X = k) = C(n,k) · p^k · (1 - p)^(n-k)E(X) = n · p, V(X) = n · p · (1 - p)σ = √(n · p · (1 - p))

Binomialverteilung: P(X = k) = (n über k) · p^k · (1-p)^(n-k). Bei "mindestens eins" über das Gegenereignis rechnen.

1Binomialkoeffizient

  1. a)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 5 Elementen 2 auszuwählen?Binomialkoeffizient 5 über 2 = 10
  2. b)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 7 Elementen 2 auszuwählen?
  3. c)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 8 Elementen 1 auszuwählen?
  4. d)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 4 Elementen 3 auszuwählen?
  5. e)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 6 Elementen 1 auszuwählen?
  6. f)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 5 Elementen 1 auszuwählen?

2Genau k Treffer

  1. a)7-mal ziehen mit p = 0,20. Wahrscheinlichkeit für genau 3 Treffer?P = 35 · 0,20^3 · 0,80^4 = 0,1147
  2. b)8-mal ziehen mit p = 0,50. Wahrscheinlichkeit für genau 3 Treffer?
  3. c)5-mal ziehen mit p = 0,25. Wahrscheinlichkeit für genau 2 Treffer?
  4. d)7-mal ziehen mit p = 0,50. Wahrscheinlichkeit für genau 2 Treffer?
  5. e)6-mal ziehen mit p = 0,50. Wahrscheinlichkeit für genau 2 Treffer?
  6. f)4-mal ziehen mit p = 0,50. Wahrscheinlichkeit für genau 1 Treffer?

3Erwartungswert und Standardabweichung?

  1. a)n = 144, p = 0,50.E = n·p = 72, σ = √(n·p·(1-p)) = √36 = 6
  2. b)n = 400, p = 0,10.
  3. c)n = 36, p = 0,50.
  4. d)n = 100, p = 0,10.
  5. e)n = 64, p = 0,50.

Das brauchst du

P(X = k) = C(n,k) · p^k · (1 - p)^(n-k)E(X) = n · p, V(X) = n · p · (1 - p)σ = √(n · p · (1 - p))

Binomialverteilung: P(X = k) = (n über k) · p^k · (1-p)^(n-k). Bei "mindestens eins" über das Gegenereignis rechnen.

1Binomialkoeffizient

  1. a)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 5 Elementen 2 auszuwählen?Binomialkoeffizient 5 über 2 = 10
  2. b)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 7 Elementen 2 auszuwählen?Binomialkoeffizient 7 über 2 = 21
  3. c)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 8 Elementen 1 auszuwählen?Binomialkoeffizient 8 über 1 = 8
  4. d)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 4 Elementen 3 auszuwählen?Binomialkoeffizient 4 über 3 = 4
  5. e)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 6 Elementen 1 auszuwählen?Binomialkoeffizient 6 über 1 = 6
  6. f)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 5 Elementen 1 auszuwählen?Binomialkoeffizient 5 über 1 = 5

2Genau k Treffer

  1. a)7-mal ziehen mit p = 0,20. Wahrscheinlichkeit für genau 3 Treffer?P = 35 · 0,20^3 · 0,80^4 = 0,1147
  2. b)8-mal ziehen mit p = 0,50. Wahrscheinlichkeit für genau 3 Treffer?P = 56 · 0,50^3 · 0,50^5 = 0,2188
  3. c)5-mal ziehen mit p = 0,25. Wahrscheinlichkeit für genau 2 Treffer?P = 10 · 0,25^2 · 0,75^3 = 0,2637
  4. d)7-mal ziehen mit p = 0,50. Wahrscheinlichkeit für genau 2 Treffer?P = 21 · 0,50^2 · 0,50^5 = 0,1641
  5. e)6-mal ziehen mit p = 0,50. Wahrscheinlichkeit für genau 2 Treffer?P = 15 · 0,50^2 · 0,50^4 = 0,2344
  6. f)4-mal ziehen mit p = 0,50. Wahrscheinlichkeit für genau 1 Treffer?P = 4 · 0,50^1 · 0,50^3 = 0,2500

3Erwartungswert und Standardabweichung?

  1. a)n = 144, p = 0,50.E = n·p = 72, σ = √(n·p·(1-p)) = √36 = 6
  2. b)n = 400, p = 0,10.E = n·p = 40, σ = √(n·p·(1-p)) = √36 = 6
  3. c)n = 36, p = 0,50.E = n·p = 18, σ = √(n·p·(1-p)) = √9 = 3
  4. d)n = 100, p = 0,10.E = n·p = 10, σ = √(n·p·(1-p)) = √9 = 3
  5. e)n = 64, p = 0,50.E = n·p = 32, σ = √(n·p·(1-p)) = √16 = 4

Das brauchst du

P(X = k) = C(n,k) · p^k · (1 - p)^(n-k)E(X) = n · p, V(X) = n · p · (1 - p)σ = √(n · p · (1 - p))

Binomialverteilung: P(X = k) = (n über k) · p^k · (1-p)^(n-k). Bei "mindestens eins" über das Gegenereignis rechnen.

1Binomialkoeffizient

  1. a)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 7 Elementen 3 auszuwählen?Binomialkoeffizient 7 über 3 = 35
  2. b)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 6 Elementen 1 auszuwählen?
  3. c)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 5 Elementen 1 auszuwählen?
  4. d)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 8 Elementen 1 auszuwählen?
  5. e)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 6 Elementen 3 auszuwählen?
  6. f)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 5 Elementen 2 auszuwählen?

2Genau k Treffer

  1. a)6-mal ziehen mit p = 0,20. Wahrscheinlichkeit für genau 1 Treffer?P = 6 · 0,20^1 · 0,80^5 = 0,3932
  2. b)7-mal ziehen mit p = 0,50. Wahrscheinlichkeit für genau 3 Treffer?
  3. c)8-mal ziehen mit p = 0,50. Wahrscheinlichkeit für genau 1 Treffer?
  4. d)5-mal ziehen mit p = 0,20. Wahrscheinlichkeit für genau 1 Treffer?
  5. e)7-mal ziehen mit p = 0,20. Wahrscheinlichkeit für genau 1 Treffer?
  6. f)5-mal ziehen mit p = 0,25. Wahrscheinlichkeit für genau 1 Treffer?

3Erwartungswert und Standardabweichung?

  1. a)n = 400, p = 0,50.E = n·p = 200, σ = √(n·p·(1-p)) = √100 = 10
  2. b)n = 64, p = 0,50.
  3. c)n = 900, p = 0,10.
  4. d)n = 144, p = 0,50.
  5. e)n = 36, p = 0,50.

4Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer?

  1. a)n = 6, p = 0,30.Gegenereignis: kein Treffer hat P = 0,70^6 = 0,1176. Also P = 1 - 0,1176 = 0,8824
  2. b)n = 7, p = 0,50.
  3. c)n = 8, p = 0,30.
  4. d)n = 5, p = 0,30.

5Knobelaufgabe

Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.

  1. a)Ein Test erkennt eine Krankheit zu 95 %. Bei 200 gesunden Personen schlägt er in 5 % der Fälle fälschlich an. Wie viele Fehlalarme erwartest du, und was heißt das für die Aussagekraft?

Das brauchst du

P(X = k) = C(n,k) · p^k · (1 - p)^(n-k)E(X) = n · p, V(X) = n · p · (1 - p)σ = √(n · p · (1 - p))

Binomialverteilung: P(X = k) = (n über k) · p^k · (1-p)^(n-k). Bei "mindestens eins" über das Gegenereignis rechnen.

1Binomialkoeffizient

  1. a)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 7 Elementen 3 auszuwählen?Binomialkoeffizient 7 über 3 = 35
  2. b)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 6 Elementen 1 auszuwählen?Binomialkoeffizient 6 über 1 = 6
  3. c)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 5 Elementen 1 auszuwählen?Binomialkoeffizient 5 über 1 = 5
  4. d)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 8 Elementen 1 auszuwählen?Binomialkoeffizient 8 über 1 = 8
  5. e)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 6 Elementen 3 auszuwählen?Binomialkoeffizient 6 über 3 = 20
  6. f)Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 5 Elementen 2 auszuwählen?Binomialkoeffizient 5 über 2 = 10

2Genau k Treffer

  1. a)6-mal ziehen mit p = 0,20. Wahrscheinlichkeit für genau 1 Treffer?P = 6 · 0,20^1 · 0,80^5 = 0,3932
  2. b)7-mal ziehen mit p = 0,50. Wahrscheinlichkeit für genau 3 Treffer?P = 35 · 0,50^3 · 0,50^4 = 0,2734
  3. c)8-mal ziehen mit p = 0,50. Wahrscheinlichkeit für genau 1 Treffer?P = 8 · 0,50^1 · 0,50^7 = 0,0313
  4. d)5-mal ziehen mit p = 0,20. Wahrscheinlichkeit für genau 1 Treffer?P = 5 · 0,20^1 · 0,80^4 = 0,4096
  5. e)7-mal ziehen mit p = 0,20. Wahrscheinlichkeit für genau 1 Treffer?P = 7 · 0,20^1 · 0,80^6 = 0,3670
  6. f)5-mal ziehen mit p = 0,25. Wahrscheinlichkeit für genau 1 Treffer?P = 5 · 0,25^1 · 0,75^4 = 0,3955

3Erwartungswert und Standardabweichung?

  1. a)n = 400, p = 0,50.E = n·p = 200, σ = √(n·p·(1-p)) = √100 = 10
  2. b)n = 64, p = 0,50.E = n·p = 32, σ = √(n·p·(1-p)) = √16 = 4
  3. c)n = 900, p = 0,10.E = n·p = 90, σ = √(n·p·(1-p)) = √81 = 9
  4. d)n = 144, p = 0,50.E = n·p = 72, σ = √(n·p·(1-p)) = √36 = 6
  5. e)n = 36, p = 0,50.E = n·p = 18, σ = √(n·p·(1-p)) = √9 = 3

4Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer?

  1. a)n = 6, p = 0,30.Gegenereignis: kein Treffer hat P = 0,70^6 = 0,1176. Also P = 1 - 0,1176 = 0,8824
  2. b)n = 7, p = 0,50.Gegenereignis: kein Treffer hat P = 0,50^7 = 0,0078. Also P = 1 - 0,0078 = 0,9922
  3. c)n = 8, p = 0,30.Gegenereignis: kein Treffer hat P = 0,70^8 = 0,0576. Also P = 1 - 0,0576 = 0,9424
  4. d)n = 5, p = 0,30.Gegenereignis: kein Treffer hat P = 0,70^5 = 0,1681. Also P = 1 - 0,1681 = 0,8319

5Knobelaufgabe

Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.

  1. a)Ein Test erkennt eine Krankheit zu 95 %. Bei 200 gesunden Personen schlägt er in 5 % der Fälle fälschlich an. Wie viele Fehlalarme erwartest du, und was heißt das für die Aussagekraft?E = 200 · 0,05 = 10 Fehlalarme. Wenn die Krankheit selten ist, sind unter den positiven Ergebnissen viele falsche — ein positiver Test allein reicht nicht.

Wann sie passt

Ein Versuch mit genau zwei Ausgängen (Treffer oder nicht), n-mal unabhängig wiederholt, und die Trefferwahrscheinlichkeit p bleibt gleich. Das ist eine Bernoulli-Kette.

Die Formel

Der Binomialkoeffizient zählt, wie viele Pfade genau k Treffer haben. Jeder davon hat dieselbe Wahrscheinlichkeit.

P(X = k) = C(n,k) · p^k · (1 - p)^(n-k)n = 10, p = 0,2, k = 3P ≈ 0,201

Erwartungswert und kumuliert

Der Erwartungswert ist einfach n · p. Für „höchstens k" nimmst du die kumulierte Wahrscheinlichkeit aus Tabelle oder Rechner, für „mindestens k" das Gegenereignis.

P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2)

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