Gerade: x = a + t · uEbene (Parameterform): x = a + s · u + t · vEbene (Normalenform): n · (x - a) = 0
Eine Gerade braucht einen Aufpunkt und einen Richtungsvektor, eine Ebene einen Aufpunkt und zwei Spannvektoren.
1Gerade durch zwei Punkte
a)Geradengleichung durch A(-2|5|-1) und B(4|-3|5)?g: x = (-2|5|-1) + t · (6|-8|6)
b)Geradengleichung durch A(2|-6|-1) und B(2|-6|-6)?
c)Geradengleichung durch A(-5|-5|-6) und B(-5|-6|-3)?
d)Geradengleichung durch A(-2|-6|3) und B(3|-2|-6)?
e)Geradengleichung durch A(-1|6|5) und B(1|-1|1)?
f)Geradengleichung durch A(0|4|1) und B(-5|1|-2)?
2Punktprobe
a)Liegt P(0|9|1) auf g: x = (-4|5|-3) + t · (4|4|4)?Ja, für t = 1 stimmen alle drei Zeilen.
b)Liegt P(22|6|7) auf g: x = (6|-6|-5) + t · (4|3|3)?
c)Liegt P(-1|0|11) auf g: x = (-4|-3|5) + t · (1|1|2)?
d)Liegt P(8|7|1) auf g: x = (6|3|-1) + t · (2|4|2)?
e)Liegt P(2|3|6) auf g: x = (-4|-5|2) + t · (3|4|2)?
f)Liegt P(6|-2|7) auf g: x = (5|-3|3) + t · (1|1|4)?
3Lies Stützpunkt und Richtungsvektor ab.
a)g: x = (1|2|3) + t · (4|0|-1)Stützpunkt (1|2|3), Richtung (4|0|-1)
b)g: x = (0|-5|2) + t · (1|1|1)
Das brauchst du
Gerade: x = a + t · uEbene (Parameterform): x = a + s · u + t · vEbene (Normalenform): n · (x - a) = 0
Eine Gerade braucht einen Aufpunkt und einen Richtungsvektor, eine Ebene einen Aufpunkt und zwei Spannvektoren.
1Gerade durch zwei Punkte
a)Geradengleichung durch A(-2|5|-1) und B(4|-3|5)?g: x = (-2|5|-1) + t · (6|-8|6)
b)Geradengleichung durch A(2|-6|-1) und B(2|-6|-6)?g: x = (2|-6|-1) + t · (0|0|-5)
c)Geradengleichung durch A(-5|-5|-6) und B(-5|-6|-3)?g: x = (-5|-5|-6) + t · (0|-1|3)
d)Geradengleichung durch A(-2|-6|3) und B(3|-2|-6)?g: x = (-2|-6|3) + t · (5|4|-9)
e)Geradengleichung durch A(-1|6|5) und B(1|-1|1)?g: x = (-1|6|5) + t · (2|-7|-4)
f)Geradengleichung durch A(0|4|1) und B(-5|1|-2)?g: x = (0|4|1) + t · (-5|-3|-3)
2Punktprobe
a)Liegt P(0|9|1) auf g: x = (-4|5|-3) + t · (4|4|4)?Ja, für t = 1 stimmen alle drei Zeilen.
b)Liegt P(22|6|7) auf g: x = (6|-6|-5) + t · (4|3|3)?Ja, für t = 4 stimmen alle drei Zeilen.
c)Liegt P(-1|0|11) auf g: x = (-4|-3|5) + t · (1|1|2)?Ja, für t = 3 stimmen alle drei Zeilen.
d)Liegt P(8|7|1) auf g: x = (6|3|-1) + t · (2|4|2)?Ja, für t = 1 stimmen alle drei Zeilen.
e)Liegt P(2|3|6) auf g: x = (-4|-5|2) + t · (3|4|2)?Ja, für t = 2 stimmen alle drei Zeilen.
f)Liegt P(6|-2|7) auf g: x = (5|-3|3) + t · (1|1|4)?Ja, für t = 1 stimmen alle drei Zeilen.
3Lies Stützpunkt und Richtungsvektor ab.
a)g: x = (1|2|3) + t · (4|0|-1)Stützpunkt (1|2|3), Richtung (4|0|-1)
b)g: x = (0|-5|2) + t · (1|1|1)Stützpunkt (0|-5|2), Richtung (1|1|1)
Das brauchst du
Gerade: x = a + t · uEbene (Parameterform): x = a + s · u + t · vEbene (Normalenform): n · (x - a) = 0
Eine Gerade braucht einen Aufpunkt und einen Richtungsvektor, eine Ebene einen Aufpunkt und zwei Spannvektoren.
1Gerade durch zwei Punkte
a)Geradengleichung durch A(4|-2|-6) und B(6|6|5)?g: x = (4|-2|-6) + t · (2|8|11)
b)Geradengleichung durch A(3|-4|-6) und B(4|0|-3)?
c)Geradengleichung durch A(-2|-4|-6) und B(-5|3|6)?
d)Geradengleichung durch A(0|-3|3) und B(5|-2|-3)?
e)Geradengleichung durch A(6|1|5) und B(5|5|1)?
f)Geradengleichung durch A(-2|-2|1) und B(3|-4|2)?
2Punktprobe
a)Liegt P(5|12|7) auf g: x = (-4|0|4) + t · (3|4|1)?Ja, für t = 3 stimmen alle drei Zeilen.
b)Liegt P(5|12|0) auf g: x = (-1|0|-6) + t · (2|4|2)?
c)Liegt P(6|2|-2) auf g: x = (0|-4|-5) + t · (2|2|1)?
d)Liegt P(5|1|1) auf g: x = (-1|-5|-1) + t · (3|3|1)?
e)Liegt P(7|8|3) auf g: x = (-1|0|-5) + t · (2|2|2)?
f)Liegt P(5|7|3) auf g: x = (3|-1|-3) + t · (1|4|3)?
3Ebene in Parameterform
a)Ebene in Parameterform durch A(-4|-4|6) mit den Spannvektoren (1|1|1) und (3|-2|3)?E: x = (-4|-4|6) + r · (1|1|1) + s · (3|-2|3)
b)Ebene in Parameterform durch A(4|-4|2) mit den Spannvektoren (1|3|2) und (3|-1|2)?
c)Ebene in Parameterform durch A(3|-3|0) mit den Spannvektoren (2|1|2) und (2|-3|1)?
d)Ebene in Parameterform durch A(-5|2|4) mit den Spannvektoren (2|3|1) und (3|-2|1)?
e)Ebene in Parameterform durch A(4|0|-1) mit den Spannvektoren (1|2|2) und (2|-1|2)?
Das brauchst du
Gerade: x = a + t · uEbene (Parameterform): x = a + s · u + t · vEbene (Normalenform): n · (x - a) = 0
Eine Gerade braucht einen Aufpunkt und einen Richtungsvektor, eine Ebene einen Aufpunkt und zwei Spannvektoren.
1Gerade durch zwei Punkte
a)Geradengleichung durch A(4|-2|-6) und B(6|6|5)?g: x = (4|-2|-6) + t · (2|8|11)
b)Geradengleichung durch A(3|-4|-6) und B(4|0|-3)?g: x = (3|-4|-6) + t · (1|4|3)
c)Geradengleichung durch A(-2|-4|-6) und B(-5|3|6)?g: x = (-2|-4|-6) + t · (-3|7|12)
d)Geradengleichung durch A(0|-3|3) und B(5|-2|-3)?g: x = (0|-3|3) + t · (5|1|-6)
e)Geradengleichung durch A(6|1|5) und B(5|5|1)?g: x = (6|1|5) + t · (-1|4|-4)
f)Geradengleichung durch A(-2|-2|1) und B(3|-4|2)?g: x = (-2|-2|1) + t · (5|-2|1)
2Punktprobe
a)Liegt P(5|12|7) auf g: x = (-4|0|4) + t · (3|4|1)?Ja, für t = 3 stimmen alle drei Zeilen.
b)Liegt P(5|12|0) auf g: x = (-1|0|-6) + t · (2|4|2)?Ja, für t = 3 stimmen alle drei Zeilen.
c)Liegt P(6|2|-2) auf g: x = (0|-4|-5) + t · (2|2|1)?Ja, für t = 3 stimmen alle drei Zeilen.
d)Liegt P(5|1|1) auf g: x = (-1|-5|-1) + t · (3|3|1)?Ja, für t = 2 stimmen alle drei Zeilen.
e)Liegt P(7|8|3) auf g: x = (-1|0|-5) + t · (2|2|2)?Ja, für t = 4 stimmen alle drei Zeilen.
f)Liegt P(5|7|3) auf g: x = (3|-1|-3) + t · (1|4|3)?Ja, für t = 2 stimmen alle drei Zeilen.
3Ebene in Parameterform
a)Ebene in Parameterform durch A(-4|-4|6) mit den Spannvektoren (1|1|1) und (3|-2|3)?E: x = (-4|-4|6) + r · (1|1|1) + s · (3|-2|3)
b)Ebene in Parameterform durch A(4|-4|2) mit den Spannvektoren (1|3|2) und (3|-1|2)?E: x = (4|-4|2) + r · (1|3|2) + s · (3|-1|2)
c)Ebene in Parameterform durch A(3|-3|0) mit den Spannvektoren (2|1|2) und (2|-3|1)?E: x = (3|-3|0) + r · (2|1|2) + s · (2|-3|1)
d)Ebene in Parameterform durch A(-5|2|4) mit den Spannvektoren (2|3|1) und (3|-2|1)?E: x = (-5|2|4) + r · (2|3|1) + s · (3|-2|1)
e)Ebene in Parameterform durch A(4|0|-1) mit den Spannvektoren (1|2|2) und (2|-1|2)?E: x = (4|0|-1) + r · (1|2|2) + s · (2|-1|2)
Das brauchst du
Gerade: x = a + t · uEbene (Parameterform): x = a + s · u + t · vEbene (Normalenform): n · (x - a) = 0
Eine Gerade braucht einen Aufpunkt und einen Richtungsvektor, eine Ebene einen Aufpunkt und zwei Spannvektoren.
1Gerade durch zwei Punkte
a)Geradengleichung durch A(-5|5|4) und B(-4|-1|-6)?g: x = (-5|5|4) + t · (1|-6|-10)
b)Geradengleichung durch A(2|5|0) und B(-5|-5|-4)?
c)Geradengleichung durch A(-1|1|3) und B(-5|-4|-5)?
d)Geradengleichung durch A(2|3|-5) und B(-1|-4|-4)?
e)Geradengleichung durch A(-4|-1|6) und B(-4|-4|-6)?
f)Geradengleichung durch A(0|-1|-2) und B(2|3|-6)?
2Punktprobe
a)Liegt P(-2|3|5) auf g: x = (-6|-5|1) + t · (1|2|1)?Ja, für t = 4 stimmen alle drei Zeilen.
b)Liegt P(18|21|7) auf g: x = (2|5|-1) + t · (4|4|2)?
c)Liegt P(9|10|0) auf g: x = (-3|4|-3) + t · (4|2|1)?
d)Liegt P(12|8|11) auf g: x = (6|4|3) + t · (3|2|4)?
e)Liegt P(10|-2|-1) auf g: x = (-6|-6|-5) + t · (4|1|1)?
f)Liegt P(-3|-5|7) auf g: x = (-5|-6|4) + t · (2|1|3)?
3Ebene in Parameterform
a)Ebene in Parameterform durch A(1|0|2) mit den Spannvektoren (1|1|3) und (1|-3|1)?E: x = (1|0|2) + r · (1|1|3) + s · (1|-3|1)
b)Ebene in Parameterform durch A(5|-3|6) mit den Spannvektoren (2|3|2) und (1|-3|2)?
c)Ebene in Parameterform durch A(-2|-5|4) mit den Spannvektoren (3|2|2) und (2|-2|2)?
d)Ebene in Parameterform durch A(1|3|4) mit den Spannvektoren (1|2|1) und (2|-2|1)?
e)Ebene in Parameterform durch A(-2|-1|-1) mit den Spannvektoren (3|2|1) und (3|-2|3)?
4Koordinatenform
a)Ebene in Koordinatenform mit Normalenvektor (4|3|4) durch P(-6|1|-1)?E: 4x1 + 3x2 + 4x3 = -25
b)Ebene in Koordinatenform mit Normalenvektor (3|2|3) durch P(4|1|-3)?
c)Ebene in Koordinatenform mit Normalenvektor (2|3|3) durch P(3|-2|2)?
d)Ebene in Koordinatenform mit Normalenvektor (3|4|4) durch P(6|-2|6)?
e)Ebene in Koordinatenform mit Normalenvektor (2|2|4) durch P(-2|0|-1)?
5Zeichne
a)Skizziere zwei windschiefe Geraden im Raum. Erkläre in einem Satz, woran man rechnerisch erkennt, dass sie windschief sind.
Das brauchst du
Gerade: x = a + t · uEbene (Parameterform): x = a + s · u + t · vEbene (Normalenform): n · (x - a) = 0
Eine Gerade braucht einen Aufpunkt und einen Richtungsvektor, eine Ebene einen Aufpunkt und zwei Spannvektoren.
1Gerade durch zwei Punkte
a)Geradengleichung durch A(-5|5|4) und B(-4|-1|-6)?g: x = (-5|5|4) + t · (1|-6|-10)
b)Geradengleichung durch A(2|5|0) und B(-5|-5|-4)?g: x = (2|5|0) + t · (-7|-10|-4)
c)Geradengleichung durch A(-1|1|3) und B(-5|-4|-5)?g: x = (-1|1|3) + t · (-4|-5|-8)
d)Geradengleichung durch A(2|3|-5) und B(-1|-4|-4)?g: x = (2|3|-5) + t · (-3|-7|1)
e)Geradengleichung durch A(-4|-1|6) und B(-4|-4|-6)?g: x = (-4|-1|6) + t · (0|-3|-12)
f)Geradengleichung durch A(0|-1|-2) und B(2|3|-6)?g: x = (0|-1|-2) + t · (2|4|-4)
2Punktprobe
a)Liegt P(-2|3|5) auf g: x = (-6|-5|1) + t · (1|2|1)?Ja, für t = 4 stimmen alle drei Zeilen.
b)Liegt P(18|21|7) auf g: x = (2|5|-1) + t · (4|4|2)?Ja, für t = 4 stimmen alle drei Zeilen.
c)Liegt P(9|10|0) auf g: x = (-3|4|-3) + t · (4|2|1)?Ja, für t = 3 stimmen alle drei Zeilen.
d)Liegt P(12|8|11) auf g: x = (6|4|3) + t · (3|2|4)?Ja, für t = 2 stimmen alle drei Zeilen.
e)Liegt P(10|-2|-1) auf g: x = (-6|-6|-5) + t · (4|1|1)?Ja, für t = 4 stimmen alle drei Zeilen.
f)Liegt P(-3|-5|7) auf g: x = (-5|-6|4) + t · (2|1|3)?Ja, für t = 1 stimmen alle drei Zeilen.
3Ebene in Parameterform
a)Ebene in Parameterform durch A(1|0|2) mit den Spannvektoren (1|1|3) und (1|-3|1)?E: x = (1|0|2) + r · (1|1|3) + s · (1|-3|1)
b)Ebene in Parameterform durch A(5|-3|6) mit den Spannvektoren (2|3|2) und (1|-3|2)?E: x = (5|-3|6) + r · (2|3|2) + s · (1|-3|2)
c)Ebene in Parameterform durch A(-2|-5|4) mit den Spannvektoren (3|2|2) und (2|-2|2)?E: x = (-2|-5|4) + r · (3|2|2) + s · (2|-2|2)
d)Ebene in Parameterform durch A(1|3|4) mit den Spannvektoren (1|2|1) und (2|-2|1)?E: x = (1|3|4) + r · (1|2|1) + s · (2|-2|1)
e)Ebene in Parameterform durch A(-2|-1|-1) mit den Spannvektoren (3|2|1) und (3|-2|3)?E: x = (-2|-1|-1) + r · (3|2|1) + s · (3|-2|3)
4Koordinatenform
a)Ebene in Koordinatenform mit Normalenvektor (4|3|4) durch P(-6|1|-1)?E: 4x1 + 3x2 + 4x3 = -25
b)Ebene in Koordinatenform mit Normalenvektor (3|2|3) durch P(4|1|-3)?E: 3x1 + 2x2 + 3x3 = 5
c)Ebene in Koordinatenform mit Normalenvektor (2|3|3) durch P(3|-2|2)?E: 2x1 + 3x2 + 3x3 = 6
d)Ebene in Koordinatenform mit Normalenvektor (3|4|4) durch P(6|-2|6)?E: 3x1 + 4x2 + 4x3 = 34
e)Ebene in Koordinatenform mit Normalenvektor (2|2|4) durch P(-2|0|-1)?E: 2x1 + 2x2 + 4x3 = -8
5Zeichne
a)Skizziere zwei windschiefe Geraden im Raum. Erkläre in einem Satz, woran man rechnerisch erkennt, dass sie windschief sind.
Die Richtungsvektoren sind nicht parallel, und das Gleichungssystem für einen Schnittpunkt hat keine Lösung.
Die Geradengleichung
Ein Stützpunkt und eine Richtung genügen. Jeder Wert von t liefert einen Punkt der Geraden.
x = a + t · udurch A(1 | 0 | 2) in Richtung (2, 1, -1)
Ebenen in zwei Formen
Die Parameterform braucht einen Punkt und zwei Richtungen. Die Normalenform braucht einen Punkt und einen Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht — mit ihr lassen sich Lagen und Abstände leichter berechnen.
Parameterform: x = a + s · u + t · vKoordinatenform: n1·x1 + n2·x2 + n3·x3 = d
Lagebeziehungen
Zwei Geraden können sich schneiden, parallel, identisch oder windschief sein. Prüfe erst, ob die Richtungen Vielfache sind, dann, ob es einen gemeinsamen Punkt gibt.