Produkt-, Quotienten- und Kettenregel

Mathematik · Klasse 12 · mittel

Abiturvorbereitung
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Das brauchst du

Produktregel: (u · v)' = u' · v + u · v'Quotientenregel: (u/v)' = (u' · v - u · v')/v²Kettenregel: (u(v(x)))' = u'(v(x)) · v'(x)

Produktregel u'v + uv'. Quotientenregel (u'v - uv')/v². Kettenregel: äußere mal innere Ableitung.

1Kettenregel

  1. a)f(x) = (x + 3)^2. f'(x) =Kettenregel: f'(x) = 2 · (x + 3)^1
  2. b)f(x) = (5x + 4)^3. f'(x) =
  3. c)f(x) = (2x + 3)^3. f'(x) =
  4. d)f(x) = (x + 3)^3. f'(x) =
  5. e)f(x) = (5x + 2)^2. f'(x) =
  6. f)f(x) = (3x + 4)^2. f'(x) =
  7. g)f(x) = (3x + 2)^2. f'(x) =
  8. h)f(x) = (5x + 3)^4. f'(x) =

2Produktregel

  1. a)f(x) = x² · e^(5x). f'(x) =Produktregel: f'(x) = 2x · e^(5x) + 5x² · e^(5x) = e^(5x) · (2x + 5x²)
  2. b)f(x) = x² · e^(3x). f'(x) =
  3. c)f(x) = x² · e^(4x). f'(x) =
  4. d)f(x) = x² · e^(2x). f'(x) =

Das brauchst du

Produktregel: (u · v)' = u' · v + u · v'Quotientenregel: (u/v)' = (u' · v - u · v')/v²Kettenregel: (u(v(x)))' = u'(v(x)) · v'(x)

Produktregel u'v + uv'. Quotientenregel (u'v - uv')/v². Kettenregel: äußere mal innere Ableitung.

1Kettenregel

  1. a)f(x) = (x + 3)^2. f'(x) =Kettenregel: f'(x) = 2 · (x + 3)^1
  2. b)f(x) = (5x + 4)^3. f'(x) =Kettenregel: f'(x) = 15 · (5x + 4)^2
  3. c)f(x) = (2x + 3)^3. f'(x) =Kettenregel: f'(x) = 6 · (2x + 3)^2
  4. d)f(x) = (x + 3)^3. f'(x) =Kettenregel: f'(x) = 3 · (x + 3)^2
  5. e)f(x) = (5x + 2)^2. f'(x) =Kettenregel: f'(x) = 10 · (5x + 2)^1
  6. f)f(x) = (3x + 4)^2. f'(x) =Kettenregel: f'(x) = 6 · (3x + 4)^1
  7. g)f(x) = (3x + 2)^2. f'(x) =Kettenregel: f'(x) = 6 · (3x + 2)^1
  8. h)f(x) = (5x + 3)^4. f'(x) =Kettenregel: f'(x) = 20 · (5x + 3)^3

2Produktregel

  1. a)f(x) = x² · e^(5x). f'(x) =Produktregel: f'(x) = 2x · e^(5x) + 5x² · e^(5x) = e^(5x) · (2x + 5x²)
  2. b)f(x) = x² · e^(3x). f'(x) =Produktregel: f'(x) = 2x · e^(3x) + 3x² · e^(3x) = e^(3x) · (2x + 3x²)
  3. c)f(x) = x² · e^(4x). f'(x) =Produktregel: f'(x) = 2x · e^(4x) + 4x² · e^(4x) = e^(4x) · (2x + 4x²)
  4. d)f(x) = x² · e^(2x). f'(x) =Produktregel: f'(x) = 2x · e^(2x) + 2x² · e^(2x) = e^(2x) · (2x + 2x²)

Das brauchst du

Produktregel: (u · v)' = u' · v + u · v'Quotientenregel: (u/v)' = (u' · v - u · v')/v²Kettenregel: (u(v(x)))' = u'(v(x)) · v'(x)

Produktregel u'v + uv'. Quotientenregel (u'v - uv')/v². Kettenregel: äußere mal innere Ableitung.

1Kettenregel

  1. a)f(x) = (3x + 3)^4. f'(x) =Kettenregel: f'(x) = 12 · (3x + 3)^3
  2. b)f(x) = (3x + 5)^2. f'(x) =
  3. c)f(x) = (2x + 3)^4. f'(x) =
  4. d)f(x) = (5x + 2)^3. f'(x) =
  5. e)f(x) = (x + 4)^2. f'(x) =
  6. f)f(x) = (3x + 2)^2. f'(x) =
  7. g)f(x) = (2x + 3)^2. f'(x) =
  8. h)f(x) = (x + 3)^3. f'(x) =

2Produktregel

  1. a)f(x) = x² · e^(3x). f'(x) =Produktregel: f'(x) = 2x · e^(3x) + 3x² · e^(3x) = e^(3x) · (2x + 3x²)
  2. b)f(x) = x² · e^(4x). f'(x) =
  3. c)f(x) = x² · e^(2x). f'(x) =
  4. d)f(x) = x² · e^(5x). f'(x) =

3Quotientenregel

  1. a)f(x) = x / (x + 3). f'(x) =Quotientenregel: f'(x) = ((x + 3) · 1 - x · 1) / (x + 3)² = 3 / (x + 3)²
  2. b)f(x) = x / (x + 2). f'(x) =
  3. c)f(x) = x / (x + 1). f'(x) =
  4. d)f(x) = x / (x + 5). f'(x) =
  5. e)f(x) = x / (x + 4). f'(x) =

Das brauchst du

Produktregel: (u · v)' = u' · v + u · v'Quotientenregel: (u/v)' = (u' · v - u · v')/v²Kettenregel: (u(v(x)))' = u'(v(x)) · v'(x)

Produktregel u'v + uv'. Quotientenregel (u'v - uv')/v². Kettenregel: äußere mal innere Ableitung.

1Kettenregel

  1. a)f(x) = (3x + 3)^4. f'(x) =Kettenregel: f'(x) = 12 · (3x + 3)^3
  2. b)f(x) = (3x + 5)^2. f'(x) =Kettenregel: f'(x) = 6 · (3x + 5)^1
  3. c)f(x) = (2x + 3)^4. f'(x) =Kettenregel: f'(x) = 8 · (2x + 3)^3
  4. d)f(x) = (5x + 2)^3. f'(x) =Kettenregel: f'(x) = 15 · (5x + 2)^2
  5. e)f(x) = (x + 4)^2. f'(x) =Kettenregel: f'(x) = 2 · (x + 4)^1
  6. f)f(x) = (3x + 2)^2. f'(x) =Kettenregel: f'(x) = 6 · (3x + 2)^1
  7. g)f(x) = (2x + 3)^2. f'(x) =Kettenregel: f'(x) = 4 · (2x + 3)^1
  8. h)f(x) = (x + 3)^3. f'(x) =Kettenregel: f'(x) = 3 · (x + 3)^2

2Produktregel

  1. a)f(x) = x² · e^(3x). f'(x) =Produktregel: f'(x) = 2x · e^(3x) + 3x² · e^(3x) = e^(3x) · (2x + 3x²)
  2. b)f(x) = x² · e^(4x). f'(x) =Produktregel: f'(x) = 2x · e^(4x) + 4x² · e^(4x) = e^(4x) · (2x + 4x²)
  3. c)f(x) = x² · e^(2x). f'(x) =Produktregel: f'(x) = 2x · e^(2x) + 2x² · e^(2x) = e^(2x) · (2x + 2x²)
  4. d)f(x) = x² · e^(5x). f'(x) =Produktregel: f'(x) = 2x · e^(5x) + 5x² · e^(5x) = e^(5x) · (2x + 5x²)

3Quotientenregel

  1. a)f(x) = x / (x + 3). f'(x) =Quotientenregel: f'(x) = ((x + 3) · 1 - x · 1) / (x + 3)² = 3 / (x + 3)²
  2. b)f(x) = x / (x + 2). f'(x) =Quotientenregel: f'(x) = ((x + 2) · 1 - x · 1) / (x + 2)² = 2 / (x + 2)²
  3. c)f(x) = x / (x + 1). f'(x) =Quotientenregel: f'(x) = ((x + 1) · 1 - x · 1) / (x + 1)² = 1 / (x + 1)²
  4. d)f(x) = x / (x + 5). f'(x) =Quotientenregel: f'(x) = ((x + 5) · 1 - x · 1) / (x + 5)² = 5 / (x + 5)²
  5. e)f(x) = x / (x + 4). f'(x) =Quotientenregel: f'(x) = ((x + 4) · 1 - x · 1) / (x + 4)² = 4 / (x + 4)²

Das brauchst du

Produktregel: (u · v)' = u' · v + u · v'Quotientenregel: (u/v)' = (u' · v - u · v')/v²Kettenregel: (u(v(x)))' = u'(v(x)) · v'(x)

Produktregel u'v + uv'. Quotientenregel (u'v - uv')/v². Kettenregel: äußere mal innere Ableitung.

1Kettenregel

  1. a)f(x) = (x + 2)^2. f'(x) =Kettenregel: f'(x) = 2 · (x + 2)^1
  2. b)f(x) = (3x + 2)^2. f'(x) =
  3. c)f(x) = (3x + 5)^4. f'(x) =
  4. d)f(x) = (4x + 5)^3. f'(x) =
  5. e)f(x) = (3x + 5)^2. f'(x) =
  6. f)f(x) = (5x + 5)^4. f'(x) =
  7. g)f(x) = (x + 4)^2. f'(x) =
  8. h)f(x) = (2x + 2)^3. f'(x) =

2Produktregel

  1. a)f(x) = x² · e^(3x). f'(x) =Produktregel: f'(x) = 2x · e^(3x) + 3x² · e^(3x) = e^(3x) · (2x + 3x²)
  2. b)f(x) = x² · e^(2x). f'(x) =
  3. c)f(x) = x² · e^(4x). f'(x) =
  4. d)f(x) = x² · e^(5x). f'(x) =

3Quotientenregel

  1. a)f(x) = x / (x + 2). f'(x) =Quotientenregel: f'(x) = ((x + 2) · 1 - x · 1) / (x + 2)² = 2 / (x + 2)²
  2. b)f(x) = x / (x + 5). f'(x) =
  3. c)f(x) = x / (x + 4). f'(x) =
  4. d)f(x) = x / (x + 3). f'(x) =
  5. e)f(x) = x / (x + 1). f'(x) =

4Regeln kombinieren

  1. a)f(x) = sin(4x) · cos(4x). f'(x) =Produkt- und Kettenregel: f'(x) = 4cos(4x)·cos(4x) - 4sin(4x)·sin(4x) = 4 · cos(8x)
  2. b)f(x) = sin(3x) · cos(3x). f'(x) =
  3. c)f(x) = sin(5x) · cos(5x). f'(x) =
  4. d)f(x) = sin(2x) · cos(2x). f'(x) =

Das brauchst du

Produktregel: (u · v)' = u' · v + u · v'Quotientenregel: (u/v)' = (u' · v - u · v')/v²Kettenregel: (u(v(x)))' = u'(v(x)) · v'(x)

Produktregel u'v + uv'. Quotientenregel (u'v - uv')/v². Kettenregel: äußere mal innere Ableitung.

1Kettenregel

  1. a)f(x) = (x + 2)^2. f'(x) =Kettenregel: f'(x) = 2 · (x + 2)^1
  2. b)f(x) = (3x + 2)^2. f'(x) =Kettenregel: f'(x) = 6 · (3x + 2)^1
  3. c)f(x) = (3x + 5)^4. f'(x) =Kettenregel: f'(x) = 12 · (3x + 5)^3
  4. d)f(x) = (4x + 5)^3. f'(x) =Kettenregel: f'(x) = 12 · (4x + 5)^2
  5. e)f(x) = (3x + 5)^2. f'(x) =Kettenregel: f'(x) = 6 · (3x + 5)^1
  6. f)f(x) = (5x + 5)^4. f'(x) =Kettenregel: f'(x) = 20 · (5x + 5)^3
  7. g)f(x) = (x + 4)^2. f'(x) =Kettenregel: f'(x) = 2 · (x + 4)^1
  8. h)f(x) = (2x + 2)^3. f'(x) =Kettenregel: f'(x) = 6 · (2x + 2)^2

2Produktregel

  1. a)f(x) = x² · e^(3x). f'(x) =Produktregel: f'(x) = 2x · e^(3x) + 3x² · e^(3x) = e^(3x) · (2x + 3x²)
  2. b)f(x) = x² · e^(2x). f'(x) =Produktregel: f'(x) = 2x · e^(2x) + 2x² · e^(2x) = e^(2x) · (2x + 2x²)
  3. c)f(x) = x² · e^(4x). f'(x) =Produktregel: f'(x) = 2x · e^(4x) + 4x² · e^(4x) = e^(4x) · (2x + 4x²)
  4. d)f(x) = x² · e^(5x). f'(x) =Produktregel: f'(x) = 2x · e^(5x) + 5x² · e^(5x) = e^(5x) · (2x + 5x²)

3Quotientenregel

  1. a)f(x) = x / (x + 2). f'(x) =Quotientenregel: f'(x) = ((x + 2) · 1 - x · 1) / (x + 2)² = 2 / (x + 2)²
  2. b)f(x) = x / (x + 5). f'(x) =Quotientenregel: f'(x) = ((x + 5) · 1 - x · 1) / (x + 5)² = 5 / (x + 5)²
  3. c)f(x) = x / (x + 4). f'(x) =Quotientenregel: f'(x) = ((x + 4) · 1 - x · 1) / (x + 4)² = 4 / (x + 4)²
  4. d)f(x) = x / (x + 3). f'(x) =Quotientenregel: f'(x) = ((x + 3) · 1 - x · 1) / (x + 3)² = 3 / (x + 3)²
  5. e)f(x) = x / (x + 1). f'(x) =Quotientenregel: f'(x) = ((x + 1) · 1 - x · 1) / (x + 1)² = 1 / (x + 1)²

4Regeln kombinieren

  1. a)f(x) = sin(4x) · cos(4x). f'(x) =Produkt- und Kettenregel: f'(x) = 4cos(4x)·cos(4x) - 4sin(4x)·sin(4x) = 4 · cos(8x)
  2. b)f(x) = sin(3x) · cos(3x). f'(x) =Produkt- und Kettenregel: f'(x) = 3cos(3x)·cos(3x) - 3sin(3x)·sin(3x) = 3 · cos(6x)
  3. c)f(x) = sin(5x) · cos(5x). f'(x) =Produkt- und Kettenregel: f'(x) = 5cos(5x)·cos(5x) - 5sin(5x)·sin(5x) = 5 · cos(10x)
  4. d)f(x) = sin(2x) · cos(2x). f'(x) =Produkt- und Kettenregel: f'(x) = 2cos(2x)·cos(2x) - 2sin(2x)·sin(2x) = 2 · cos(4x)

Produktregel

Bei einem Produkt zweier Funktionen reicht es nicht, beide einzeln abzuleiten. Jede Funktion wird einmal abgeleitet, während die andere stehen bleibt.

(u · v)' = u' · v + u · v'f(x) = x² · e^xf'(x) = 2x · e^x + x² · e^x

Kettenregel

Bei einer verketteten Funktion leitest du die äußere ab, lässt die innere darin stehen und multiplizierst mit der Ableitung der inneren.

f(x) = (3x + 1)⁴f'(x) = 4 · (3x + 1)³ · 3 = 12 · (3x + 1)³

Quotientenregel

Für Brüche. Merksatz: NAZ minus ZAN durch N-Quadrat — Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners.

(u/v)' = (u' · v - u · v')/v²

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