Skalarprodukt, Winkel und Abstand

Mathematik · Klasse 12 · mittel

Abiturvorbereitung
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Das brauchst du

a · b = a1·b1 + a2·b2 + a3·b3cos des Winkels = (a · b)/(|a| · |b|), senkrecht wenn a · b = 0Abstand Punkt-Ebene: d = |n · (P - A)| / |n|

Skalarprodukt null heißt senkrecht. Für den Winkel gilt cos(w) = Skalarprodukt geteilt durch das Produkt der Beträge.

1Skalarprodukt

  1. a)(4|1|-4) · (0|3|-2) =Komponenten multiplizieren und addieren: 11
  2. b)(-4|5|6) · (6|-2|-4) =
  3. c)(-3|2|5) · (6|-2|-5) =
  4. d)(-5|4|3) · (4|-6|4) =
  5. e)(-1|2|4) · (0|6|1) =
  6. f)(5|3|-5) · (-2|-4|1) =
  7. g)(5|-3|6) · (-1|6|-4) =
  8. h)(-6|-5|-4) · (1|-1|1) =

2Senkrecht prüfen

  1. a)Stehen (4|1|0) und (-1|4|2) senkrecht aufeinander?Skalarprodukt: 0. Null bedeutet senkrecht, also ja.
  2. b)Stehen (3|1|0) und (-1|3|-3) senkrecht aufeinander?
  3. c)Stehen (2|5|0) und (-5|2|-1) senkrecht aufeinander?
  4. d)Stehen (3|5|0) und (-5|3|-2) senkrecht aufeinander?
  5. e)Stehen (1|1|0) und (-1|1|-4) senkrecht aufeinander?
  6. f)Stehen (3|2|0) und (-2|3|-3) senkrecht aufeinander?

Das brauchst du

a · b = a1·b1 + a2·b2 + a3·b3cos des Winkels = (a · b)/(|a| · |b|), senkrecht wenn a · b = 0Abstand Punkt-Ebene: d = |n · (P - A)| / |n|

Skalarprodukt null heißt senkrecht. Für den Winkel gilt cos(w) = Skalarprodukt geteilt durch das Produkt der Beträge.

1Skalarprodukt

  1. a)(4|1|-4) · (0|3|-2) =Komponenten multiplizieren und addieren: 11
  2. b)(-4|5|6) · (6|-2|-4) =Komponenten multiplizieren und addieren: -58
  3. c)(-3|2|5) · (6|-2|-5) =Komponenten multiplizieren und addieren: -47
  4. d)(-5|4|3) · (4|-6|4) =Komponenten multiplizieren und addieren: -32
  5. e)(-1|2|4) · (0|6|1) =Komponenten multiplizieren und addieren: 16
  6. f)(5|3|-5) · (-2|-4|1) =Komponenten multiplizieren und addieren: -27
  7. g)(5|-3|6) · (-1|6|-4) =Komponenten multiplizieren und addieren: -47
  8. h)(-6|-5|-4) · (1|-1|1) =Komponenten multiplizieren und addieren: -5

2Senkrecht prüfen

  1. a)Stehen (4|1|0) und (-1|4|2) senkrecht aufeinander?Skalarprodukt: 0. Null bedeutet senkrecht, also ja.
  2. b)Stehen (3|1|0) und (-1|3|-3) senkrecht aufeinander?Skalarprodukt: 0. Null bedeutet senkrecht, also ja.
  3. c)Stehen (2|5|0) und (-5|2|-1) senkrecht aufeinander?Skalarprodukt: 0. Null bedeutet senkrecht, also ja.
  4. d)Stehen (3|5|0) und (-5|3|-2) senkrecht aufeinander?Skalarprodukt: 0. Null bedeutet senkrecht, also ja.
  5. e)Stehen (1|1|0) und (-1|1|-4) senkrecht aufeinander?Skalarprodukt: 0. Null bedeutet senkrecht, also ja.
  6. f)Stehen (3|2|0) und (-2|3|-3) senkrecht aufeinander?Skalarprodukt: 0. Null bedeutet senkrecht, also ja.

Das brauchst du

a · b = a1·b1 + a2·b2 + a3·b3cos des Winkels = (a · b)/(|a| · |b|), senkrecht wenn a · b = 0Abstand Punkt-Ebene: d = |n · (P - A)| / |n|

Skalarprodukt null heißt senkrecht. Für den Winkel gilt cos(w) = Skalarprodukt geteilt durch das Produkt der Beträge.

1Skalarprodukt

  1. a)(-4|0|-5) · (5|6|5) =Komponenten multiplizieren und addieren: -45
  2. b)(-3|1|-5) · (-4|6|6) =
  3. c)(-2|1|5) · (-5|5|-4) =
  4. d)(-5|5|-2) · (-1|-2|0) =
  5. e)(-6|3|-5) · (4|-4|-4) =
  6. f)(-1|1|-4) · (-4|-6|1) =
  7. g)(6|-2|-4) · (2|-3|2) =
  8. h)(6|5|1) · (0|6|4) =

2Senkrecht prüfen

  1. a)Stehen (4|3|0) und (-3|4|-2) senkrecht aufeinander?Skalarprodukt: 0. Null bedeutet senkrecht, also ja.
  2. b)Stehen (1|2|0) und (-2|1|4) senkrecht aufeinander?
  3. c)Stehen (4|4|0) und (-4|4|4) senkrecht aufeinander?
  4. d)Stehen (5|1|0) und (-1|5|-1) senkrecht aufeinander?
  5. e)Stehen (5|3|0) und (-3|5|3) senkrecht aufeinander?
  6. f)Stehen (1|1|0) und (-1|1|-2) senkrecht aufeinander?

3Winkel berechnen

  1. a)Winkel zwischen (5|4|5) und (4|4|5)?cos(w) = 61 / (√66 · √57) = 0,9945, w = 6,0°
  2. b)Winkel zwischen (3|4|4) und (4|4|5)?
  3. c)Winkel zwischen (3|1|1) und (4|5|5)?
  4. d)Winkel zwischen (3|5|4) und (5|4|1)?
  5. e)Winkel zwischen (5|4|2) und (2|2|5)?

Das brauchst du

a · b = a1·b1 + a2·b2 + a3·b3cos des Winkels = (a · b)/(|a| · |b|), senkrecht wenn a · b = 0Abstand Punkt-Ebene: d = |n · (P - A)| / |n|

Skalarprodukt null heißt senkrecht. Für den Winkel gilt cos(w) = Skalarprodukt geteilt durch das Produkt der Beträge.

1Skalarprodukt

  1. a)(-4|0|-5) · (5|6|5) =Komponenten multiplizieren und addieren: -45
  2. b)(-3|1|-5) · (-4|6|6) =Komponenten multiplizieren und addieren: -12
  3. c)(-2|1|5) · (-5|5|-4) =Komponenten multiplizieren und addieren: -5
  4. d)(-5|5|-2) · (-1|-2|0) =Komponenten multiplizieren und addieren: -5
  5. e)(-6|3|-5) · (4|-4|-4) =Komponenten multiplizieren und addieren: -16
  6. f)(-1|1|-4) · (-4|-6|1) =Komponenten multiplizieren und addieren: -6
  7. g)(6|-2|-4) · (2|-3|2) =Komponenten multiplizieren und addieren: 10
  8. h)(6|5|1) · (0|6|4) =Komponenten multiplizieren und addieren: 34

2Senkrecht prüfen

  1. a)Stehen (4|3|0) und (-3|4|-2) senkrecht aufeinander?Skalarprodukt: 0. Null bedeutet senkrecht, also ja.
  2. b)Stehen (1|2|0) und (-2|1|4) senkrecht aufeinander?Skalarprodukt: 0. Null bedeutet senkrecht, also ja.
  3. c)Stehen (4|4|0) und (-4|4|4) senkrecht aufeinander?Skalarprodukt: 0. Null bedeutet senkrecht, also ja.
  4. d)Stehen (5|1|0) und (-1|5|-1) senkrecht aufeinander?Skalarprodukt: 0. Null bedeutet senkrecht, also ja.
  5. e)Stehen (5|3|0) und (-3|5|3) senkrecht aufeinander?Skalarprodukt: 0. Null bedeutet senkrecht, also ja.
  6. f)Stehen (1|1|0) und (-1|1|-2) senkrecht aufeinander?Skalarprodukt: 0. Null bedeutet senkrecht, also ja.

3Winkel berechnen

  1. a)Winkel zwischen (5|4|5) und (4|4|5)?cos(w) = 61 / (√66 · √57) = 0,9945, w = 6,0°
  2. b)Winkel zwischen (3|4|4) und (4|4|5)?cos(w) = 48 / (√41 · √57) = 0,9929, w = 6,8°
  3. c)Winkel zwischen (3|1|1) und (4|5|5)?cos(w) = 22 / (√11 · √66) = 0,8165, w = 35,3°
  4. d)Winkel zwischen (3|5|4) und (5|4|1)?cos(w) = 39 / (√50 · √42) = 0,8510, w = 31,7°
  5. e)Winkel zwischen (5|4|2) und (2|2|5)?cos(w) = 28 / (√45 · √33) = 0,7266, w = 43,4°

Das brauchst du

a · b = a1·b1 + a2·b2 + a3·b3cos des Winkels = (a · b)/(|a| · |b|), senkrecht wenn a · b = 0Abstand Punkt-Ebene: d = |n · (P - A)| / |n|

Skalarprodukt null heißt senkrecht. Für den Winkel gilt cos(w) = Skalarprodukt geteilt durch das Produkt der Beträge.

1Skalarprodukt

  1. a)(-2|4|-1) · (-1|-6|-6) =Komponenten multiplizieren und addieren: -16
  2. b)(3|6|1) · (2|4|1) =
  3. c)(6|-1|2) · (-5|-5|0) =
  4. d)(4|-6|-6) · (-1|4|-4) =
  5. e)(3|5|-2) · (6|-1|5) =
  6. f)(-2|4|1) · (5|4|-1) =
  7. g)(1|-5|-6) · (-3|1|-2) =
  8. h)(4|-2|4) · (2|-3|0) =

2Senkrecht prüfen

  1. a)Stehen (4|4|0) und (-4|4|-4) senkrecht aufeinander?Skalarprodukt: 0. Null bedeutet senkrecht, also ja.
  2. b)Stehen (5|4|0) und (-4|5|-3) senkrecht aufeinander?
  3. c)Stehen (3|4|0) und (-4|3|0) senkrecht aufeinander?
  4. d)Stehen (4|2|0) und (-2|4|2) senkrecht aufeinander?
  5. e)Stehen (3|5|0) und (-5|3|-1) senkrecht aufeinander?
  6. f)Stehen (4|2|0) und (-2|4|-3) senkrecht aufeinander?

3Winkel berechnen

  1. a)Winkel zwischen (1|4|3) und (1|3|2)?cos(w) = 19 / (√26 · √14) = 0,9959, w = 5,2°
  2. b)Winkel zwischen (4|4|4) und (2|3|1)?
  3. c)Winkel zwischen (4|3|5) und (1|3|3)?
  4. d)Winkel zwischen (1|4|5) und (2|3|1)?
  5. e)Winkel zwischen (5|4|2) und (5|2|2)?

4Abstand Punkt zu Ebene

  1. a)Abstand von P(2|4|-1) zur Ebene 2x1 + 6x2 + 9x3 = -36?Hessesche Normalform: |55| / √121 = 55 / 11 = 5
  2. b)Abstand von P(-1|1|3) zur Ebene 2x1 + 3x2 + 6x3 = -2?
  3. c)Abstand von P(1|3|1) zur Ebene x1 + 2x2 + 2x3 = 0?
  4. d)Abstand von P(3|-5|2) zur Ebene 2x1 + 3x2 + 6x3 = -4?
  5. e)Abstand von P(5|2|-6) zur Ebene 4x1 + 4x2 + 7x3 = -59?

Das brauchst du

a · b = a1·b1 + a2·b2 + a3·b3cos des Winkels = (a · b)/(|a| · |b|), senkrecht wenn a · b = 0Abstand Punkt-Ebene: d = |n · (P - A)| / |n|

Skalarprodukt null heißt senkrecht. Für den Winkel gilt cos(w) = Skalarprodukt geteilt durch das Produkt der Beträge.

1Skalarprodukt

  1. a)(-2|4|-1) · (-1|-6|-6) =Komponenten multiplizieren und addieren: -16
  2. b)(3|6|1) · (2|4|1) =Komponenten multiplizieren und addieren: 31
  3. c)(6|-1|2) · (-5|-5|0) =Komponenten multiplizieren und addieren: -25
  4. d)(4|-6|-6) · (-1|4|-4) =Komponenten multiplizieren und addieren: -4
  5. e)(3|5|-2) · (6|-1|5) =Komponenten multiplizieren und addieren: 3
  6. f)(-2|4|1) · (5|4|-1) =Komponenten multiplizieren und addieren: 5
  7. g)(1|-5|-6) · (-3|1|-2) =Komponenten multiplizieren und addieren: 4
  8. h)(4|-2|4) · (2|-3|0) =Komponenten multiplizieren und addieren: 14

2Senkrecht prüfen

  1. a)Stehen (4|4|0) und (-4|4|-4) senkrecht aufeinander?Skalarprodukt: 0. Null bedeutet senkrecht, also ja.
  2. b)Stehen (5|4|0) und (-4|5|-3) senkrecht aufeinander?Skalarprodukt: 0. Null bedeutet senkrecht, also ja.
  3. c)Stehen (3|4|0) und (-4|3|0) senkrecht aufeinander?Skalarprodukt: 0. Null bedeutet senkrecht, also ja.
  4. d)Stehen (4|2|0) und (-2|4|2) senkrecht aufeinander?Skalarprodukt: 0. Null bedeutet senkrecht, also ja.
  5. e)Stehen (3|5|0) und (-5|3|-1) senkrecht aufeinander?Skalarprodukt: 0. Null bedeutet senkrecht, also ja.
  6. f)Stehen (4|2|0) und (-2|4|-3) senkrecht aufeinander?Skalarprodukt: 0. Null bedeutet senkrecht, also ja.

3Winkel berechnen

  1. a)Winkel zwischen (1|4|3) und (1|3|2)?cos(w) = 19 / (√26 · √14) = 0,9959, w = 5,2°
  2. b)Winkel zwischen (4|4|4) und (2|3|1)?cos(w) = 24 / (√48 · √14) = 0,9258, w = 22,2°
  3. c)Winkel zwischen (4|3|5) und (1|3|3)?cos(w) = 28 / (√50 · √19) = 0,9084, w = 24,7°
  4. d)Winkel zwischen (1|4|5) und (2|3|1)?cos(w) = 19 / (√42 · √14) = 0,7835, w = 38,4°
  5. e)Winkel zwischen (5|4|2) und (5|2|2)?cos(w) = 37 / (√45 · √33) = 0,9601, w = 16,2°

4Abstand Punkt zu Ebene

  1. a)Abstand von P(2|4|-1) zur Ebene 2x1 + 6x2 + 9x3 = -36?Hessesche Normalform: |55| / √121 = 55 / 11 = 5
  2. b)Abstand von P(-1|1|3) zur Ebene 2x1 + 3x2 + 6x3 = -2?Hessesche Normalform: |21| / √49 = 21 / 7 = 3
  3. c)Abstand von P(1|3|1) zur Ebene x1 + 2x2 + 2x3 = 0?Hessesche Normalform: |9| / √9 = 9 / 3 = 3
  4. d)Abstand von P(3|-5|2) zur Ebene 2x1 + 3x2 + 6x3 = -4?Hessesche Normalform: |7| / √49 = 7 / 7 = 1
  5. e)Abstand von P(5|2|-6) zur Ebene 4x1 + 4x2 + 7x3 = -59?Hessesche Normalform: |45| / √81 = 45 / 9 = 5

Das Skalarprodukt

Komponentenweise multiplizieren und addieren. Heraus kommt eine Zahl, kein Vektor. Ist sie null, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander.

(1, 2, 2) · (2, -1, 0) = 2 - 2 + 0 = 0also senkrecht

Winkel zwischen Vektoren

Das Skalarprodukt geteilt durch das Produkt der Längen ergibt den Kosinus des Winkels.

cos des Winkels = (a · b)/(|a| · |b|)

Abstand Punkt–Ebene

Mit der Hesseschen Normalform: Punkt in die Koordinatenform einsetzen und durch die Länge des Normalenvektors teilen. Der Betrag davon ist der Abstand.

E: 2x1 + x2 + 2x3 = 5, P(3 | 1 | 2)d = |6 + 1 + 4 - 5| / 3 = 2

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