Stammfunktionen

Mathematik · Klasse 12 · mittel

Abiturvorbereitung
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Das brauchst du

F' = fStammfunktion von x^n: x^(n+1)/(n + 1) + c (n ungleich -1)Stammfunktion von e^x: e^x + c, von 1/x: ln|x| + c

Stammfunktion bilden heißt: Exponent um 1 erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen. Die Konstante C nicht vergessen.

1Potenzregel rückwärts

  1. a)f(x) = 3xF(x) = 3/2 x² + C
  2. b)f(x) = 5x²
  3. c)f(x) = 4x³
  4. d)f(x) = x
  5. e)f(x) = x²
  6. f)f(x) = 2x³
  7. g)f(x) = 5x
  8. h)f(x) = 2x²
  9. i)f(x) = x³
  10. j)f(x) = 2x

2Summen integrieren

  1. a)f(x) = 3x² - 8x + 1.F(x) = x³ - 4x² + x + C
  2. b)f(x) = 15x² - 12x + 6.
  3. c)f(x) = 6x² - 2x + 3.
  4. d)f(x) = 6x² - 4.
  5. e)f(x) = 9x² - 6x + 7.
  6. f)f(x) = 15x² - 8x + 6.
  7. g)f(x) = 12x² - 2x + 8.
  8. h)f(x) = 3x² - 4x + 6.

Das brauchst du

F' = fStammfunktion von x^n: x^(n+1)/(n + 1) + c (n ungleich -1)Stammfunktion von e^x: e^x + c, von 1/x: ln|x| + c

Stammfunktion bilden heißt: Exponent um 1 erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen. Die Konstante C nicht vergessen.

1Potenzregel rückwärts

  1. a)f(x) = 3xF(x) = 3/2 x² + C
  2. b)f(x) = 5x²F(x) = 5/3 x³ + C
  3. c)f(x) = 4x³F(x) = x^4 + C
  4. d)f(x) = xF(x) = 1/2 x² + C
  5. e)f(x) = x²F(x) = 1/3 x³ + C
  6. f)f(x) = 2x³F(x) = 1/2 x^4 + C
  7. g)f(x) = 5xF(x) = 5/2 x² + C
  8. h)f(x) = 2x²F(x) = 2/3 x³ + C
  9. i)f(x) = x³F(x) = 1/4 x^4 + C
  10. j)f(x) = 2xF(x) = x² + C

2Summen integrieren

  1. a)f(x) = 3x² - 8x + 1.F(x) = x³ - 4x² + x + C
  2. b)f(x) = 15x² - 12x + 6.F(x) = 5x³ - 6x² + 6x + C
  3. c)f(x) = 6x² - 2x + 3.F(x) = 2x³ - x² + 3x + C
  4. d)f(x) = 6x² - 4.F(x) = 2x³ - 4x + C
  5. e)f(x) = 9x² - 6x + 7.F(x) = 3x³ - 3x² + 7x + C
  6. f)f(x) = 15x² - 8x + 6.F(x) = 5x³ - 4x² + 6x + C
  7. g)f(x) = 12x² - 2x + 8.F(x) = 4x³ - x² + 8x + C
  8. h)f(x) = 3x² - 4x + 6.F(x) = x³ - 2x² + 6x + C

Das brauchst du

F' = fStammfunktion von x^n: x^(n+1)/(n + 1) + c (n ungleich -1)Stammfunktion von e^x: e^x + c, von 1/x: ln|x| + c

Stammfunktion bilden heißt: Exponent um 1 erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen. Die Konstante C nicht vergessen.

1Potenzregel rückwärts

  1. a)f(x) = 4xF(x) = 2x² + C
  2. b)f(x) = 9x²
  3. c)f(x) = 4x³
  4. d)f(x) = 6x^4
  5. e)f(x) = 4x^5
  6. f)f(x) = 3x
  7. g)f(x) = 2x²
  8. h)f(x) = 6x³
  9. i)f(x) = 3x^4
  10. j)f(x) = 3x^5

2Summen integrieren

  1. a)f(x) = 15x² - 4x.F(x) = 5x³ - 2x² + C
  2. b)f(x) = 15x² - 8x - 9.
  3. c)f(x) = 12x² - 8x + 1.
  4. d)f(x) = 9x² + 12x - 5.
  5. e)f(x) = 3x² - 10x - 6.
  6. f)f(x) = 9x² - 4x + 3.
  7. g)f(x) = 9x² + 10x + 1.
  8. h)f(x) = 9x² - 6x + 3.

3C e-Funktion

  1. a)f(x) = e^(5x).F(x) = 1/5 · e^(5x) + C
  2. b)f(x) = e^(4x).
  3. c)f(x) = e^(3x).
  4. d)f(x) = e^(2x).
  5. e)f(x) = e^(6x).

Das brauchst du

F' = fStammfunktion von x^n: x^(n+1)/(n + 1) + c (n ungleich -1)Stammfunktion von e^x: e^x + c, von 1/x: ln|x| + c

Stammfunktion bilden heißt: Exponent um 1 erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen. Die Konstante C nicht vergessen.

1Potenzregel rückwärts

  1. a)f(x) = 4xF(x) = 2x² + C
  2. b)f(x) = 9x²F(x) = 3x³ + C
  3. c)f(x) = 4x³F(x) = x^4 + C
  4. d)f(x) = 6x^4F(x) = 6/5 x^5 + C
  5. e)f(x) = 4x^5F(x) = 2/3 x^6 + C
  6. f)f(x) = 3xF(x) = 3/2 x² + C
  7. g)f(x) = 2x²F(x) = 2/3 x³ + C
  8. h)f(x) = 6x³F(x) = 3/2 x^4 + C
  9. i)f(x) = 3x^4F(x) = 3/5 x^5 + C
  10. j)f(x) = 3x^5F(x) = 1/2 x^6 + C

2Summen integrieren

  1. a)f(x) = 15x² - 4x.F(x) = 5x³ - 2x² + C
  2. b)f(x) = 15x² - 8x - 9.F(x) = 5x³ - 4x² - 9x + C
  3. c)f(x) = 12x² - 8x + 1.F(x) = 4x³ - 4x² + x + C
  4. d)f(x) = 9x² + 12x - 5.F(x) = 3x³ + 6x² - 5x + C
  5. e)f(x) = 3x² - 10x - 6.F(x) = x³ - 5x² - 6x + C
  6. f)f(x) = 9x² - 4x + 3.F(x) = 3x³ - 2x² + 3x + C
  7. g)f(x) = 9x² + 10x + 1.F(x) = 3x³ + 5x² + x + C
  8. h)f(x) = 9x² - 6x + 3.F(x) = 3x³ - 3x² + 3x + C

3C e-Funktion

  1. a)f(x) = e^(5x).F(x) = 1/5 · e^(5x) + C
  2. b)f(x) = e^(4x).F(x) = 1/4 · e^(4x) + C
  3. c)f(x) = e^(3x).F(x) = 1/3 · e^(3x) + C
  4. d)f(x) = e^(2x).F(x) = 1/2 · e^(2x) + C
  5. e)f(x) = e^(6x).F(x) = 1/6 · e^(6x) + C

Das brauchst du

F' = fStammfunktion von x^n: x^(n+1)/(n + 1) + c (n ungleich -1)Stammfunktion von e^x: e^x + c, von 1/x: ln|x| + c

Stammfunktion bilden heißt: Exponent um 1 erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen. Die Konstante C nicht vergessen.

1Potenzregel rückwärts

  1. a)f(x) = 9x²F(x) = 3x³ + C
  2. b)f(x) = 11x³
  3. c)f(x) = 6x^4
  4. d)f(x) = 8x^5
  5. e)f(x) = 2x^6
  6. f)f(x) = 6x^7
  7. g)f(x) = 2x²
  8. h)f(x) = 6x³
  9. i)f(x) = 4x^4
  10. j)f(x) = 11x^5

2Summen integrieren

  1. a)f(x) = 3x² + 2x + 6.F(x) = x³ + x² + 6x + C
  2. b)f(x) = 6x² - 6x + 6.
  3. c)f(x) = 15x² + 6x - 5.
  4. d)f(x) = 12x² + 10x - 1.
  5. e)f(x) = 9x² - 4x + 2.
  6. f)f(x) = 3x² + 6x - 8.
  7. g)f(x) = 12x² - 2.
  8. h)f(x) = 12x² - 2x + 6.

3C e-Funktion

  1. a)f(x) = e^(6x).F(x) = 1/6 · e^(6x) + C
  2. b)f(x) = e^(2x).
  3. c)f(x) = e^(3x).
  4. d)f(x) = e^(4x).
  5. e)f(x) = e^(5x).

4Stammfunktion durch einen Punkt

  1. a)f(x) = 4x. Gesucht ist die Stammfunktion durch P(2|7).F(x) = 2x² + C. Einsetzen: 8 + C = 7, also C = -1. F(x) = 2x² - 1
  2. b)f(x) = 8x. Gesucht ist die Stammfunktion durch P(1|7).
  3. c)f(x) = 4x. Gesucht ist die Stammfunktion durch P(4|6).
  4. d)f(x) = 4x. Gesucht ist die Stammfunktion durch P(1|7).
  5. e)f(x) = 8x. Gesucht ist die Stammfunktion durch P(1|3).

Das brauchst du

F' = fStammfunktion von x^n: x^(n+1)/(n + 1) + c (n ungleich -1)Stammfunktion von e^x: e^x + c, von 1/x: ln|x| + c

Stammfunktion bilden heißt: Exponent um 1 erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen. Die Konstante C nicht vergessen.

1Potenzregel rückwärts

  1. a)f(x) = 9x²F(x) = 3x³ + C
  2. b)f(x) = 11x³F(x) = 11/4 x^4 + C
  3. c)f(x) = 6x^4F(x) = 6/5 x^5 + C
  4. d)f(x) = 8x^5F(x) = 4/3 x^6 + C
  5. e)f(x) = 2x^6F(x) = 2/7 x^7 + C
  6. f)f(x) = 6x^7F(x) = 3/4 x^8 + C
  7. g)f(x) = 2x²F(x) = 2/3 x³ + C
  8. h)f(x) = 6x³F(x) = 3/2 x^4 + C
  9. i)f(x) = 4x^4F(x) = 4/5 x^5 + C
  10. j)f(x) = 11x^5F(x) = 11/6 x^6 + C

2Summen integrieren

  1. a)f(x) = 3x² + 2x + 6.F(x) = x³ + x² + 6x + C
  2. b)f(x) = 6x² - 6x + 6.F(x) = 2x³ - 3x² + 6x + C
  3. c)f(x) = 15x² + 6x - 5.F(x) = 5x³ + 3x² - 5x + C
  4. d)f(x) = 12x² + 10x - 1.F(x) = 4x³ + 5x² - x + C
  5. e)f(x) = 9x² - 4x + 2.F(x) = 3x³ - 2x² + 2x + C
  6. f)f(x) = 3x² + 6x - 8.F(x) = x³ + 3x² - 8x + C
  7. g)f(x) = 12x² - 2.F(x) = 4x³ - 2x + C
  8. h)f(x) = 12x² - 2x + 6.F(x) = 4x³ - x² + 6x + C

3C e-Funktion

  1. a)f(x) = e^(6x).F(x) = 1/6 · e^(6x) + C
  2. b)f(x) = e^(2x).F(x) = 1/2 · e^(2x) + C
  3. c)f(x) = e^(3x).F(x) = 1/3 · e^(3x) + C
  4. d)f(x) = e^(4x).F(x) = 1/4 · e^(4x) + C
  5. e)f(x) = e^(5x).F(x) = 1/5 · e^(5x) + C

4Stammfunktion durch einen Punkt

  1. a)f(x) = 4x. Gesucht ist die Stammfunktion durch P(2|7).F(x) = 2x² + C. Einsetzen: 8 + C = 7, also C = -1. F(x) = 2x² - 1
  2. b)f(x) = 8x. Gesucht ist die Stammfunktion durch P(1|7).F(x) = 4x² + C. Einsetzen: 4 + C = 7, also C = 3. F(x) = 4x² + 3
  3. c)f(x) = 4x. Gesucht ist die Stammfunktion durch P(4|6).F(x) = 2x² + C. Einsetzen: 32 + C = 6, also C = -26. F(x) = 2x² - 26
  4. d)f(x) = 4x. Gesucht ist die Stammfunktion durch P(1|7).F(x) = 2x² + C. Einsetzen: 2 + C = 7, also C = 5. F(x) = 2x² + 5
  5. e)f(x) = 8x. Gesucht ist die Stammfunktion durch P(1|3).F(x) = 4x² + C. Einsetzen: 4 + C = 3, also C = -1. F(x) = 4x² - 1

Ableiten rückwärts

F ist eine Stammfunktion von f, wenn F' = f. Weil Konstanten beim Ableiten wegfallen, gibt es unendlich viele Stammfunktionen — sie unterscheiden sich nur um + c.

Die Potenzregel rückwärts

Exponent um eins erhöhen, durch den neuen Exponenten teilen. Die Probe ist immer das Ableiten.

f(x) = 6x²F(x) = 6 · x³/3 = 2x³ + cProbe: F'(x) = 6x² ✓

Weitere Grundfunktionen

e^x bleibt e^x, 1/x wird zu ln|x|, sin wird zu -cos, cos zu sin. Bei linearer innerer Funktion teilst du zusätzlich durch deren Faktor.

Stammfunktion von e^(2x): 1/2 · e^(2x) + c

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