Wachstumsmodelle

Mathematik · Klasse 12 · mittel

Abiturvorbereitung
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Das brauchst du

exponentiell: N(t) = N0 · e^(k·t)beschränkt: N(t) = S - (S - N0) · e^(-k·t)Änderungsrate ist die Ableitung N'(t).

Exponentielles Wachstum: N(t) = N0 · q^t. Verdopplungszeit über ln(2) / ln(q).

1Bestand berechnen

  1. a)Bestand 800, Wachstum 2 % pro Jahr. Bestand nach 8 Jahren?N(t) = 800 · 1,02^t, N(8) = 937,3
  2. b)Bestand 600, Wachstum 5 % pro Jahr. Bestand nach 4 Jahren?
  3. c)Bestand 900, Wachstum 2 % pro Jahr. Bestand nach 8 Jahren?
  4. d)Bestand 300, Wachstum 3 % pro Jahr. Bestand nach 5 Jahren?
  5. e)Bestand 800, Wachstum 6 % pro Jahr. Bestand nach 5 Jahren?
  6. f)Bestand 400, Wachstum 5 % pro Jahr. Bestand nach 5 Jahren?

2Nach wie vielen Jahren hat sich der Bestand verdoppelt?

  1. a)Wachstum 2 % pro Jahr.t = ln(2) / ln(1,02) = 35,00 Jahre
  2. b)Wachstum 6 % pro Jahr.
  3. c)Wachstum 8 % pro Jahr.
  4. d)Wachstum 4 % pro Jahr.
  5. e)Wachstum 3 % pro Jahr.
  6. f)Wachstum 7 % pro Jahr.

Das brauchst du

exponentiell: N(t) = N0 · e^(k·t)beschränkt: N(t) = S - (S - N0) · e^(-k·t)Änderungsrate ist die Ableitung N'(t).

Exponentielles Wachstum: N(t) = N0 · q^t. Verdopplungszeit über ln(2) / ln(q).

1Bestand berechnen

  1. a)Bestand 800, Wachstum 2 % pro Jahr. Bestand nach 8 Jahren?N(t) = 800 · 1,02^t, N(8) = 937,3
  2. b)Bestand 600, Wachstum 5 % pro Jahr. Bestand nach 4 Jahren?N(t) = 600 · 1,05^t, N(4) = 729,3
  3. c)Bestand 900, Wachstum 2 % pro Jahr. Bestand nach 8 Jahren?N(t) = 900 · 1,02^t, N(8) = 1054,5
  4. d)Bestand 300, Wachstum 3 % pro Jahr. Bestand nach 5 Jahren?N(t) = 300 · 1,03^t, N(5) = 347,8
  5. e)Bestand 800, Wachstum 6 % pro Jahr. Bestand nach 5 Jahren?N(t) = 800 · 1,06^t, N(5) = 1070,6
  6. f)Bestand 400, Wachstum 5 % pro Jahr. Bestand nach 5 Jahren?N(t) = 400 · 1,05^t, N(5) = 510,5

2Nach wie vielen Jahren hat sich der Bestand verdoppelt?

  1. a)Wachstum 2 % pro Jahr.t = ln(2) / ln(1,02) = 35,00 Jahre
  2. b)Wachstum 6 % pro Jahr.t = ln(2) / ln(1,06) = 11,90 Jahre
  3. c)Wachstum 8 % pro Jahr.t = ln(2) / ln(1,08) = 9,01 Jahre
  4. d)Wachstum 4 % pro Jahr.t = ln(2) / ln(1,04) = 17,67 Jahre
  5. e)Wachstum 3 % pro Jahr.t = ln(2) / ln(1,03) = 23,45 Jahre
  6. f)Wachstum 7 % pro Jahr.t = ln(2) / ln(1,07) = 10,24 Jahre

Das brauchst du

exponentiell: N(t) = N0 · e^(k·t)beschränkt: N(t) = S - (S - N0) · e^(-k·t)Änderungsrate ist die Ableitung N'(t).

Exponentielles Wachstum: N(t) = N0 · q^t. Verdopplungszeit über ln(2) / ln(q).

1Bestand berechnen

  1. a)Bestand 500, Wachstum 9 % pro Jahr. Bestand nach 8 Jahren?N(t) = 500 · 1,09^t, N(8) = 996,3
  2. b)Bestand 600, Wachstum 7 % pro Jahr. Bestand nach 5 Jahren?
  3. c)Bestand 300, Wachstum 5 % pro Jahr. Bestand nach 7 Jahren?
  4. d)Bestand 600, Wachstum 6 % pro Jahr. Bestand nach 7 Jahren?
  5. e)Bestand 200, Wachstum 9 % pro Jahr. Bestand nach 2 Jahren?
  6. f)Bestand 400, Wachstum 8 % pro Jahr. Bestand nach 2 Jahren?

2Nach wie vielen Jahren hat sich der Bestand verdoppelt?

  1. a)Wachstum 3 % pro Jahr.t = ln(2) / ln(1,03) = 23,45 Jahre
  2. b)Wachstum 2 % pro Jahr.
  3. c)Wachstum 12 % pro Jahr.
  4. d)Wachstum 7 % pro Jahr.
  5. e)Wachstum 8 % pro Jahr.
  6. f)Wachstum 6 % pro Jahr.

3Abnahme

  1. a)Bestand 300, Abnahme 5 % pro Jahr. Bestand nach 5 Jahren?N(t) = 300 · 0,95^t, N(5) = 232,1
  2. b)Bestand 600, Abnahme 14 % pro Jahr. Bestand nach 3 Jahren?
  3. c)Bestand 400, Abnahme 11 % pro Jahr. Bestand nach 5 Jahren?
  4. d)Bestand 500, Abnahme 9 % pro Jahr. Bestand nach 5 Jahren?
  5. e)Bestand 800, Abnahme 11 % pro Jahr. Bestand nach 4 Jahren?

Das brauchst du

exponentiell: N(t) = N0 · e^(k·t)beschränkt: N(t) = S - (S - N0) · e^(-k·t)Änderungsrate ist die Ableitung N'(t).

Exponentielles Wachstum: N(t) = N0 · q^t. Verdopplungszeit über ln(2) / ln(q).

1Bestand berechnen

  1. a)Bestand 500, Wachstum 9 % pro Jahr. Bestand nach 8 Jahren?N(t) = 500 · 1,09^t, N(8) = 996,3
  2. b)Bestand 600, Wachstum 7 % pro Jahr. Bestand nach 5 Jahren?N(t) = 600 · 1,07^t, N(5) = 841,5
  3. c)Bestand 300, Wachstum 5 % pro Jahr. Bestand nach 7 Jahren?N(t) = 300 · 1,05^t, N(7) = 422,1
  4. d)Bestand 600, Wachstum 6 % pro Jahr. Bestand nach 7 Jahren?N(t) = 600 · 1,06^t, N(7) = 902,2
  5. e)Bestand 200, Wachstum 9 % pro Jahr. Bestand nach 2 Jahren?N(t) = 200 · 1,09^t, N(2) = 237,6
  6. f)Bestand 400, Wachstum 8 % pro Jahr. Bestand nach 2 Jahren?N(t) = 400 · 1,08^t, N(2) = 466,6

2Nach wie vielen Jahren hat sich der Bestand verdoppelt?

  1. a)Wachstum 3 % pro Jahr.t = ln(2) / ln(1,03) = 23,45 Jahre
  2. b)Wachstum 2 % pro Jahr.t = ln(2) / ln(1,02) = 35,00 Jahre
  3. c)Wachstum 12 % pro Jahr.t = ln(2) / ln(1,12) = 6,12 Jahre
  4. d)Wachstum 7 % pro Jahr.t = ln(2) / ln(1,07) = 10,24 Jahre
  5. e)Wachstum 8 % pro Jahr.t = ln(2) / ln(1,08) = 9,01 Jahre
  6. f)Wachstum 6 % pro Jahr.t = ln(2) / ln(1,06) = 11,90 Jahre

3Abnahme

  1. a)Bestand 300, Abnahme 5 % pro Jahr. Bestand nach 5 Jahren?N(t) = 300 · 0,95^t, N(5) = 232,1
  2. b)Bestand 600, Abnahme 14 % pro Jahr. Bestand nach 3 Jahren?N(t) = 600 · 0,86^t, N(3) = 381,6
  3. c)Bestand 400, Abnahme 11 % pro Jahr. Bestand nach 5 Jahren?N(t) = 400 · 0,89^t, N(5) = 223,4
  4. d)Bestand 500, Abnahme 9 % pro Jahr. Bestand nach 5 Jahren?N(t) = 500 · 0,91^t, N(5) = 312,0
  5. e)Bestand 800, Abnahme 11 % pro Jahr. Bestand nach 4 Jahren?N(t) = 800 · 0,89^t, N(4) = 501,9

Das brauchst du

exponentiell: N(t) = N0 · e^(k·t)beschränkt: N(t) = S - (S - N0) · e^(-k·t)Änderungsrate ist die Ableitung N'(t).

Exponentielles Wachstum: N(t) = N0 · q^t. Verdopplungszeit über ln(2) / ln(q).

1Bestand berechnen

  1. a)Bestand 200, Wachstum 8 % pro Jahr. Bestand nach 5 Jahren?N(t) = 200 · 1,08^t, N(5) = 293,9
  2. b)Bestand 700, Wachstum 3 % pro Jahr. Bestand nach 4 Jahren?
  3. c)Bestand 700, Wachstum 9 % pro Jahr. Bestand nach 8 Jahren?
  4. d)Bestand 400, Wachstum 4 % pro Jahr. Bestand nach 6 Jahren?
  5. e)Bestand 200, Wachstum 11 % pro Jahr. Bestand nach 6 Jahren?
  6. f)Bestand 200, Wachstum 9 % pro Jahr. Bestand nach 5 Jahren?

2Nach wie vielen Jahren hat sich der Bestand verdoppelt?

  1. a)Wachstum 11 % pro Jahr.t = ln(2) / ln(1,11) = 6,64 Jahre
  2. b)Wachstum 5 % pro Jahr.
  3. c)Wachstum 6 % pro Jahr.
  4. d)Wachstum 9 % pro Jahr.
  5. e)Wachstum 8 % pro Jahr.
  6. f)Wachstum 3 % pro Jahr.

3Abnahme

  1. a)Bestand 800, Abnahme 13 % pro Jahr. Bestand nach 8 Jahren?N(t) = 800 · 0,87^t, N(8) = 262,6
  2. b)Bestand 500, Abnahme 8 % pro Jahr. Bestand nach 6 Jahren?
  3. c)Bestand 300, Abnahme 11 % pro Jahr. Bestand nach 4 Jahren?
  4. d)Bestand 900, Abnahme 6 % pro Jahr. Bestand nach 9 Jahren?
  5. e)Bestand 700, Abnahme 3 % pro Jahr. Bestand nach 5 Jahren?

4Wie unterscheidet es sich von exponentiellem Wachstum?

  1. a)Ein logistisches Wachstum hat die Schranke 1684 und startet bei 38.Am Anfang fast exponentiell, dann wird die Zunahme kleiner und der Bestand nähert sich 1684 an. Die Wachstumsrate hängt von (1684 - N) ab.
  2. b)Ein logistisches Wachstum hat die Schranke 1685 und startet bei 58.
  3. c)Ein logistisches Wachstum hat die Schranke 1074 und startet bei 57.
  4. d)Ein logistisches Wachstum hat die Schranke 617 und startet bei 100.

Das brauchst du

exponentiell: N(t) = N0 · e^(k·t)beschränkt: N(t) = S - (S - N0) · e^(-k·t)Änderungsrate ist die Ableitung N'(t).

Exponentielles Wachstum: N(t) = N0 · q^t. Verdopplungszeit über ln(2) / ln(q).

1Bestand berechnen

  1. a)Bestand 200, Wachstum 8 % pro Jahr. Bestand nach 5 Jahren?N(t) = 200 · 1,08^t, N(5) = 293,9
  2. b)Bestand 700, Wachstum 3 % pro Jahr. Bestand nach 4 Jahren?N(t) = 700 · 1,03^t, N(4) = 787,9
  3. c)Bestand 700, Wachstum 9 % pro Jahr. Bestand nach 8 Jahren?N(t) = 700 · 1,09^t, N(8) = 1394,8
  4. d)Bestand 400, Wachstum 4 % pro Jahr. Bestand nach 6 Jahren?N(t) = 400 · 1,04^t, N(6) = 506,1
  5. e)Bestand 200, Wachstum 11 % pro Jahr. Bestand nach 6 Jahren?N(t) = 200 · 1,11^t, N(6) = 374,1
  6. f)Bestand 200, Wachstum 9 % pro Jahr. Bestand nach 5 Jahren?N(t) = 200 · 1,09^t, N(5) = 307,7

2Nach wie vielen Jahren hat sich der Bestand verdoppelt?

  1. a)Wachstum 11 % pro Jahr.t = ln(2) / ln(1,11) = 6,64 Jahre
  2. b)Wachstum 5 % pro Jahr.t = ln(2) / ln(1,05) = 14,21 Jahre
  3. c)Wachstum 6 % pro Jahr.t = ln(2) / ln(1,06) = 11,90 Jahre
  4. d)Wachstum 9 % pro Jahr.t = ln(2) / ln(1,09) = 8,04 Jahre
  5. e)Wachstum 8 % pro Jahr.t = ln(2) / ln(1,08) = 9,01 Jahre
  6. f)Wachstum 3 % pro Jahr.t = ln(2) / ln(1,03) = 23,45 Jahre

3Abnahme

  1. a)Bestand 800, Abnahme 13 % pro Jahr. Bestand nach 8 Jahren?N(t) = 800 · 0,87^t, N(8) = 262,6
  2. b)Bestand 500, Abnahme 8 % pro Jahr. Bestand nach 6 Jahren?N(t) = 500 · 0,92^t, N(6) = 303,2
  3. c)Bestand 300, Abnahme 11 % pro Jahr. Bestand nach 4 Jahren?N(t) = 300 · 0,89^t, N(4) = 188,2
  4. d)Bestand 900, Abnahme 6 % pro Jahr. Bestand nach 9 Jahren?N(t) = 900 · 0,94^t, N(9) = 515,7
  5. e)Bestand 700, Abnahme 3 % pro Jahr. Bestand nach 5 Jahren?N(t) = 700 · 0,97^t, N(5) = 601,1

4Wie unterscheidet es sich von exponentiellem Wachstum?

  1. a)Ein logistisches Wachstum hat die Schranke 1684 und startet bei 38.Am Anfang fast exponentiell, dann wird die Zunahme kleiner und der Bestand nähert sich 1684 an. Die Wachstumsrate hängt von (1684 - N) ab.
  2. b)Ein logistisches Wachstum hat die Schranke 1685 und startet bei 58.Am Anfang fast exponentiell, dann wird die Zunahme kleiner und der Bestand nähert sich 1685 an. Die Wachstumsrate hängt von (1685 - N) ab.
  3. c)Ein logistisches Wachstum hat die Schranke 1074 und startet bei 57.Am Anfang fast exponentiell, dann wird die Zunahme kleiner und der Bestand nähert sich 1074 an. Die Wachstumsrate hängt von (1074 - N) ab.
  4. d)Ein logistisches Wachstum hat die Schranke 617 und startet bei 100.Am Anfang fast exponentiell, dann wird die Zunahme kleiner und der Bestand nähert sich 617 an. Die Wachstumsrate hängt von (617 - N) ab.

Drei Modelle

Linear: gleicher Zuwachs pro Zeit. Exponentiell: gleicher Faktor pro Zeit. Beschränkt: Wachstum bremst sich, je näher der Bestand an eine Grenze S kommt.

exponentiell: N(t) = N0 · e^(k·t)beschränkt: N(t) = S - (S - N0) · e^(-k·t)

Welches Modell passt?

Bilde Differenzen aufeinanderfolgender Werte: sind sie gleich, ist es linear. Bilde Quotienten: sind sie gleich, ist es exponentiell. Werden die Differenzen zur Grenze hin immer kleiner, ist es beschränkt.

Die Änderungsrate

N'(t) sagt, wie schnell sich der Bestand gerade ändert. Beim beschränkten Wachstum ist sie proportional zum Abstand zur Grenze: N'(t) = k · (S - N(t)).

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