Satz des Pythagoras

Mathematik · Klasse 9 · mittel

MSA-Vorbereitung
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Das brauchst du

a² + b² = c², c ist die Hypotenusec = √(a² + b²), a = √(c² - b²)

Im rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c². c ist die Hypotenuse, die Seite gegenüber vom rechten Winkel.

1Hypotenuse berechnen

  1. a)Katheten a = 8,0 cm, b = 15,0 cm. c =c² = 8,0² + 15,0² = 289,00 → c = 17,0 cm
  2. b)Katheten a = 7,0 cm, b = 24,0 cm. c =
  3. c)Katheten a = 3,0 cm, b = 4,0 cm. c =
  4. d)Katheten a = 12,0 cm, b = 16,0 cm. c =
  5. e)Katheten a = 5,0 cm, b = 12,0 cm. c =
  6. f)Katheten a = 6,0 cm, b = 8,0 cm. c =

2Kathete berechnen

  1. a)Hypotenuse c = 20,0 cm, Kathete a = 12,0 cm. b =b² = 20,0² - 12,0² = 256,00 → b = 16,0 cm
  2. b)Hypotenuse c = 25,0 cm, Kathete a = 7,0 cm. b =
  3. c)Hypotenuse c = 15,0 cm, Kathete a = 9,0 cm. b =
  4. d)Hypotenuse c = 29,0 cm, Kathete a = 20,0 cm. b =
  5. e)Hypotenuse c = 5,0 cm, Kathete a = 3,0 cm. b =
  6. f)Hypotenuse c = 17,0 cm, Kathete a = 8,0 cm. b =

Das brauchst du

a² + b² = c², c ist die Hypotenusec = √(a² + b²), a = √(c² - b²)

Im rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c². c ist die Hypotenuse, die Seite gegenüber vom rechten Winkel.

1Hypotenuse berechnen

  1. a)Katheten a = 8,0 cm, b = 15,0 cm. c =c² = 8,0² + 15,0² = 289,00 → c = 17,0 cm
  2. b)Katheten a = 7,0 cm, b = 24,0 cm. c =c² = 7,0² + 24,0² = 625,00 → c = 25,0 cm
  3. c)Katheten a = 3,0 cm, b = 4,0 cm. c =c² = 3,0² + 4,0² = 25,00 → c = 5,0 cm
  4. d)Katheten a = 12,0 cm, b = 16,0 cm. c =c² = 12,0² + 16,0² = 400,00 → c = 20,0 cm
  5. e)Katheten a = 5,0 cm, b = 12,0 cm. c =c² = 5,0² + 12,0² = 169,00 → c = 13,0 cm
  6. f)Katheten a = 6,0 cm, b = 8,0 cm. c =c² = 6,0² + 8,0² = 100,00 → c = 10,0 cm

2Kathete berechnen

  1. a)Hypotenuse c = 20,0 cm, Kathete a = 12,0 cm. b =b² = 20,0² - 12,0² = 256,00 → b = 16,0 cm
  2. b)Hypotenuse c = 25,0 cm, Kathete a = 7,0 cm. b =b² = 25,0² - 7,0² = 576,00 → b = 24,0 cm
  3. c)Hypotenuse c = 15,0 cm, Kathete a = 9,0 cm. b =b² = 15,0² - 9,0² = 144,00 → b = 12,0 cm
  4. d)Hypotenuse c = 29,0 cm, Kathete a = 20,0 cm. b =b² = 29,0² - 20,0² = 441,00 → b = 21,0 cm
  5. e)Hypotenuse c = 5,0 cm, Kathete a = 3,0 cm. b =b² = 5,0² - 3,0² = 16,00 → b = 4,0 cm
  6. f)Hypotenuse c = 17,0 cm, Kathete a = 8,0 cm. b =b² = 17,0² - 8,0² = 225,00 → b = 15,0 cm

Das brauchst du

a² + b² = c², c ist die Hypotenusec = √(a² + b²), a = √(c² - b²)

Im rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c². c ist die Hypotenuse, die Seite gegenüber vom rechten Winkel.

1Hypotenuse berechnen

  1. a)Katheten a = 9,0 cm, b = 12,0 cm. c =c² = 9,0² + 12,0² = 225,00 → c = 15,0 cm
  2. b)Katheten a = 5,0 cm, b = 12,0 cm. c =
  3. c)Katheten a = 120,0 cm, b = 160,0 cm. c =
  4. d)Katheten a = 18,0 cm, b = 24,0 cm. c =
  5. e)Katheten a = 40,0 cm, b = 42,0 cm. c =
  6. f)Katheten a = 16,0 cm, b = 30,0 cm. c =

2Kathete berechnen

  1. a)Hypotenuse c = 29,0 cm, Kathete a = 20,0 cm. b =b² = 29,0² - 20,0² = 441,00 → b = 21,0 cm
  2. b)Hypotenuse c = 25,0 cm, Kathete a = 7,0 cm. b =
  3. c)Hypotenuse c = 5,0 cm, Kathete a = 3,0 cm. b =
  4. d)Hypotenuse c = 17,0 cm, Kathete a = 8,0 cm. b =
  5. e)Hypotenuse c = 10,0 cm, Kathete a = 6,0 cm. b =
  6. f)Hypotenuse c = 30,0 cm, Kathete a = 18,0 cm. b =

3Wie lang ist die Diagonale?

  1. a)Ein Rechteck ist 8 cm breit und 4 cm hoch.d² = 8² + 4² = 80 → d = 8,94 cm
  2. b)Ein Rechteck ist 2 cm breit und 9 cm hoch.
  3. c)Ein Rechteck ist 5 cm breit und 3 cm hoch.
  4. d)Ein Rechteck ist 9 cm breit und 4 cm hoch.
  5. e)Ein Rechteck ist 6 cm breit und 6 cm hoch.

Das brauchst du

a² + b² = c², c ist die Hypotenusec = √(a² + b²), a = √(c² - b²)

Im rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c². c ist die Hypotenuse, die Seite gegenüber vom rechten Winkel.

1Hypotenuse berechnen

  1. a)Katheten a = 9,0 cm, b = 12,0 cm. c =c² = 9,0² + 12,0² = 225,00 → c = 15,0 cm
  2. b)Katheten a = 5,0 cm, b = 12,0 cm. c =c² = 5,0² + 12,0² = 169,00 → c = 13,0 cm
  3. c)Katheten a = 120,0 cm, b = 160,0 cm. c =c² = 120,0² + 160,0² = 40000,00 → c = 200,0 cm
  4. d)Katheten a = 18,0 cm, b = 24,0 cm. c =c² = 18,0² + 24,0² = 900,00 → c = 30,0 cm
  5. e)Katheten a = 40,0 cm, b = 42,0 cm. c =c² = 40,0² + 42,0² = 3364,00 → c = 58,0 cm
  6. f)Katheten a = 16,0 cm, b = 30,0 cm. c =c² = 16,0² + 30,0² = 1156,00 → c = 34,0 cm

2Kathete berechnen

  1. a)Hypotenuse c = 29,0 cm, Kathete a = 20,0 cm. b =b² = 29,0² - 20,0² = 441,00 → b = 21,0 cm
  2. b)Hypotenuse c = 25,0 cm, Kathete a = 7,0 cm. b =b² = 25,0² - 7,0² = 576,00 → b = 24,0 cm
  3. c)Hypotenuse c = 5,0 cm, Kathete a = 3,0 cm. b =b² = 5,0² - 3,0² = 16,00 → b = 4,0 cm
  4. d)Hypotenuse c = 17,0 cm, Kathete a = 8,0 cm. b =b² = 17,0² - 8,0² = 225,00 → b = 15,0 cm
  5. e)Hypotenuse c = 10,0 cm, Kathete a = 6,0 cm. b =b² = 10,0² - 6,0² = 64,00 → b = 8,0 cm
  6. f)Hypotenuse c = 30,0 cm, Kathete a = 18,0 cm. b =b² = 30,0² - 18,0² = 576,00 → b = 24,0 cm

3Wie lang ist die Diagonale?

  1. a)Ein Rechteck ist 8 cm breit und 4 cm hoch.d² = 8² + 4² = 80 → d = 8,94 cm
  2. b)Ein Rechteck ist 2 cm breit und 9 cm hoch.d² = 2² + 9² = 85 → d = 9,22 cm
  3. c)Ein Rechteck ist 5 cm breit und 3 cm hoch.d² = 5² + 3² = 34 → d = 5,83 cm
  4. d)Ein Rechteck ist 9 cm breit und 4 cm hoch.d² = 9² + 4² = 97 → d = 9,85 cm
  5. e)Ein Rechteck ist 6 cm breit und 6 cm hoch.d² = 6² + 6² = 72 → d = 8,49 cm

Das brauchst du

a² + b² = c², c ist die Hypotenusec = √(a² + b²), a = √(c² - b²)

Im rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c². c ist die Hypotenuse, die Seite gegenüber vom rechten Winkel.

1Hypotenuse berechnen

  1. a)Katheten a = 4,0 cm, b = 7,5 cm. c =c² = 4,0² + 7,5² = 72,25 → c = 8,5 cm
  2. b)Katheten a = 9,0 cm, b = 12,0 cm. c =
  3. c)Katheten a = 24,0 cm, b = 45,0 cm. c =
  4. d)Katheten a = 6,0 cm, b = 8,0 cm. c =
  5. e)Katheten a = 3,5 cm, b = 12,0 cm. c =
  6. f)Katheten a = 27,0 cm, b = 36,0 cm. c =

2Kathete berechnen

  1. a)Hypotenuse c = 5,0 cm, Kathete a = 3,0 cm. b =b² = 5,0² - 3,0² = 16,00 → b = 4,0 cm
  2. b)Hypotenuse c = 87,0 cm, Kathete a = 60,0 cm. b =
  3. c)Hypotenuse c = 25,0 cm, Kathete a = 7,0 cm. b =
  4. d)Hypotenuse c = 30,0 cm, Kathete a = 18,0 cm. b =
  5. e)Hypotenuse c = 14,5 cm, Kathete a = 10,0 cm. b =
  6. f)Hypotenuse c = 51,0 cm, Kathete a = 24,0 cm. b =

3Wie lang ist die Diagonale?

  1. a)Ein Rechteck ist 9 cm breit und 6 cm hoch.d² = 9² + 6² = 117 → d = 10,82 cm
  2. b)Ein Rechteck ist 7 cm breit und 9 cm hoch.
  3. c)Ein Rechteck ist 2 cm breit und 2 cm hoch.
  4. d)Ein Rechteck ist 6 cm breit und 9 cm hoch.
  5. e)Ein Rechteck ist 2 cm breit und 4 cm hoch.

4Umkehrung prüfen

  1. a)Ist das Dreieck mit 5 cm, 12 cm und 13 cm rechtwinklig?5² + 12² = 169, 13² = 169 → ja, rechtwinklig
  2. b)Ist das Dreieck mit 3 cm, 4 cm und 6 cm rechtwinklig?
  3. c)Ist das Dreieck mit 7 cm, 24 cm und 25 cm rechtwinklig?
  4. d)Ist das Dreieck mit 7 cm, 24 cm und 26 cm rechtwinklig?
  5. e)Ist das Dreieck mit 12 cm, 16 cm und 21 cm rechtwinklig?

5Knobelaufgabe

Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.

  1. a)Eine 5 m lange Leiter steht 1,5 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht sie? Wie ändert sich das, wenn der Abstand 2 m beträgt?

Das brauchst du

a² + b² = c², c ist die Hypotenusec = √(a² + b²), a = √(c² - b²)

Im rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c². c ist die Hypotenuse, die Seite gegenüber vom rechten Winkel.

1Hypotenuse berechnen

  1. a)Katheten a = 4,0 cm, b = 7,5 cm. c =c² = 4,0² + 7,5² = 72,25 → c = 8,5 cm
  2. b)Katheten a = 9,0 cm, b = 12,0 cm. c =c² = 9,0² + 12,0² = 225,00 → c = 15,0 cm
  3. c)Katheten a = 24,0 cm, b = 45,0 cm. c =c² = 24,0² + 45,0² = 2601,00 → c = 51,0 cm
  4. d)Katheten a = 6,0 cm, b = 8,0 cm. c =c² = 6,0² + 8,0² = 100,00 → c = 10,0 cm
  5. e)Katheten a = 3,5 cm, b = 12,0 cm. c =c² = 3,5² + 12,0² = 156,25 → c = 12,5 cm
  6. f)Katheten a = 27,0 cm, b = 36,0 cm. c =c² = 27,0² + 36,0² = 2025,00 → c = 45,0 cm

2Kathete berechnen

  1. a)Hypotenuse c = 5,0 cm, Kathete a = 3,0 cm. b =b² = 5,0² - 3,0² = 16,00 → b = 4,0 cm
  2. b)Hypotenuse c = 87,0 cm, Kathete a = 60,0 cm. b =b² = 87,0² - 60,0² = 3969,00 → b = 63,0 cm
  3. c)Hypotenuse c = 25,0 cm, Kathete a = 7,0 cm. b =b² = 25,0² - 7,0² = 576,00 → b = 24,0 cm
  4. d)Hypotenuse c = 30,0 cm, Kathete a = 18,0 cm. b =b² = 30,0² - 18,0² = 576,00 → b = 24,0 cm
  5. e)Hypotenuse c = 14,5 cm, Kathete a = 10,0 cm. b =b² = 14,5² - 10,0² = 110,25 → b = 10,5 cm
  6. f)Hypotenuse c = 51,0 cm, Kathete a = 24,0 cm. b =b² = 51,0² - 24,0² = 2025,00 → b = 45,0 cm

3Wie lang ist die Diagonale?

  1. a)Ein Rechteck ist 9 cm breit und 6 cm hoch.d² = 9² + 6² = 117 → d = 10,82 cm
  2. b)Ein Rechteck ist 7 cm breit und 9 cm hoch.d² = 7² + 9² = 130 → d = 11,40 cm
  3. c)Ein Rechteck ist 2 cm breit und 2 cm hoch.d² = 2² + 2² = 8 → d = 2,83 cm
  4. d)Ein Rechteck ist 6 cm breit und 9 cm hoch.d² = 6² + 9² = 117 → d = 10,82 cm
  5. e)Ein Rechteck ist 2 cm breit und 4 cm hoch.d² = 2² + 4² = 20 → d = 4,47 cm

4Umkehrung prüfen

  1. a)Ist das Dreieck mit 5 cm, 12 cm und 13 cm rechtwinklig?5² + 12² = 169, 13² = 169 → ja, rechtwinklig
  2. b)Ist das Dreieck mit 3 cm, 4 cm und 6 cm rechtwinklig?3² + 4² = 25, 6² = 36 → nein, nicht rechtwinklig
  3. c)Ist das Dreieck mit 7 cm, 24 cm und 25 cm rechtwinklig?7² + 24² = 625, 25² = 625 → ja, rechtwinklig
  4. d)Ist das Dreieck mit 7 cm, 24 cm und 26 cm rechtwinklig?7² + 24² = 625, 26² = 676 → nein, nicht rechtwinklig
  5. e)Ist das Dreieck mit 12 cm, 16 cm und 21 cm rechtwinklig?12² + 16² = 400, 21² = 441 → nein, nicht rechtwinklig

5Knobelaufgabe

Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.

  1. a)Eine 5 m lange Leiter steht 1,5 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht sie? Wie ändert sich das, wenn der Abstand 2 m beträgt?h = √(25 - 2,25) = 4,77 m. Bei 2 m Abstand: √(25 - 4) = 4,58 m, also 19 cm weniger.

Was der Satz sagt

Im rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c². Dabei ist c immer die Hypotenuse — die Seite gegenüber dem rechten Winkel. a und b heißen Katheten.

Der Satz gilt nur im rechtwinkligen Dreieck. Suche also zuerst den rechten Winkel, bevor du rechnest.

Beide Richtungen

Fehlt die Hypotenuse, addierst du die Kathetenquadrate und ziehst die Wurzel. Fehlt eine Kathete, subtrahierst du.

a = 9, b = 12: c = √(81 + 144) = √225 = 15c = 13, a = 5: b = √(169 - 25) = √144 = 12

Wo er im Alltag steckt

Leiter an der Wand, Diagonale eines Rechtecks, Abstand zweier Punkte, Höhe im gleichseitigen Dreieck. Meist musst du das rechtwinklige Dreieck erst in die Figur hineinzeichnen.

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