sin α = Gegenkathete : Hypotenuse · cos α = Ankathete : Hypotenuse · tan α = Gegenkathete : Ankathete
1Seitenverhältnisse
Rechtwinkliges Dreieck:
a)Gegenkathete 7 cm, Ankathete 24 cm, Hypotenuse 25 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 7/25 = 0,280, cos α = 24/25 = 0,960, tan α = 7/24 = 0,292
b)Gegenkathete 3 cm, Ankathete 4 cm, Hypotenuse 5 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =
c)Gegenkathete 9 cm, Ankathete 12 cm, Hypotenuse 15 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =
d)Gegenkathete 12 cm, Ankathete 16 cm, Hypotenuse 20 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =
e)Gegenkathete 8 cm, Ankathete 15 cm, Hypotenuse 17 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =
f)Gegenkathete 6 cm, Ankathete 8 cm, Hypotenuse 10 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =
2Seite berechnen
a)α = 50°, Hypotenuse c = 7 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 7 · sin 50° = 5,36 cm
sin α = Gegenkathete : Hypotenuse · cos α = Ankathete : Hypotenuse · tan α = Gegenkathete : Ankathete
1Seitenverhältnisse
Rechtwinkliges Dreieck:
a)Gegenkathete 7 cm, Ankathete 24 cm, Hypotenuse 25 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 7/25 = 0,280, cos α = 24/25 = 0,960, tan α = 7/24 = 0,292
b)Gegenkathete 3 cm, Ankathete 4 cm, Hypotenuse 5 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 3/5 = 0,600, cos α = 4/5 = 0,800, tan α = 3/4 = 0,750
c)Gegenkathete 9 cm, Ankathete 12 cm, Hypotenuse 15 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 9/15 = 0,600, cos α = 12/15 = 0,800, tan α = 9/12 = 0,750
d)Gegenkathete 12 cm, Ankathete 16 cm, Hypotenuse 20 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 12/20 = 0,600, cos α = 16/20 = 0,800, tan α = 12/16 = 0,750
e)Gegenkathete 8 cm, Ankathete 15 cm, Hypotenuse 17 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 8/17 = 0,471, cos α = 15/17 = 0,882, tan α = 8/15 = 0,533
f)Gegenkathete 6 cm, Ankathete 8 cm, Hypotenuse 10 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 6/10 = 0,600, cos α = 8/10 = 0,800, tan α = 6/8 = 0,750
2Seite berechnen
a)α = 50°, Hypotenuse c = 7 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 7 · sin 50° = 5,36 cm
b)α = 20°, Hypotenuse c = 11 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 11 · sin 20° = 3,76 cm
c)α = 55°, Hypotenuse c = 6 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 6 · sin 55° = 4,91 cm
d)α = 60°, Hypotenuse c = 9 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 9 · sin 60° = 7,79 cm
e)α = 45°, Hypotenuse c = 11 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 11 · sin 45° = 7,78 cm
f)α = 20°, Hypotenuse c = 9 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 9 · sin 20° = 3,08 cm
sin α = Gegenkathete : Hypotenuse · cos α = Ankathete : Hypotenuse · tan α = Gegenkathete : Ankathete
1Seitenverhältnisse
Rechtwinkliges Dreieck:
a)Gegenkathete 8 cm, Ankathete 15 cm, Hypotenuse 17 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 8/17 = 0,471, cos α = 15/17 = 0,882, tan α = 8/15 = 0,533
b)Gegenkathete 7 cm, Ankathete 24 cm, Hypotenuse 25 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =
c)Gegenkathete 12 cm, Ankathete 16 cm, Hypotenuse 20 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =
d)Gegenkathete 5 cm, Ankathete 12 cm, Hypotenuse 13 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =
e)Gegenkathete 20 cm, Ankathete 21 cm, Hypotenuse 29 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =
f)Gegenkathete 6 cm, Ankathete 8 cm, Hypotenuse 10 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =
2Seite berechnen
a)α = 20°, Hypotenuse c = 28 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 28 · sin 20° = 9,58 cm
b)α = 35°, Hypotenuse c = 19 cm. Gegenkathete
c)α = 65°, Hypotenuse c = 28 cm. Gegenkathete
d)α = 35°, Hypotenuse c = 28 cm. Gegenkathete
e)α = 45°, Hypotenuse c = 29 cm. Gegenkathete
f)α = 40°, Hypotenuse c = 21 cm. Gegenkathete
3Winkel berechnen
a)Gegenkathete 10 cm, Ankathete 11 cm. α =tan α = 10/11 = 0,909 → α = 42,3°
sin α = Gegenkathete : Hypotenuse · cos α = Ankathete : Hypotenuse · tan α = Gegenkathete : Ankathete
1Seitenverhältnisse
Rechtwinkliges Dreieck:
a)Gegenkathete 8 cm, Ankathete 15 cm, Hypotenuse 17 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 8/17 = 0,471, cos α = 15/17 = 0,882, tan α = 8/15 = 0,533
b)Gegenkathete 7 cm, Ankathete 24 cm, Hypotenuse 25 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 7/25 = 0,280, cos α = 24/25 = 0,960, tan α = 7/24 = 0,292
c)Gegenkathete 12 cm, Ankathete 16 cm, Hypotenuse 20 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 12/20 = 0,600, cos α = 16/20 = 0,800, tan α = 12/16 = 0,750
d)Gegenkathete 5 cm, Ankathete 12 cm, Hypotenuse 13 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 5/13 = 0,385, cos α = 12/13 = 0,923, tan α = 5/12 = 0,417
e)Gegenkathete 20 cm, Ankathete 21 cm, Hypotenuse 29 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 20/29 = 0,690, cos α = 21/29 = 0,724, tan α = 20/21 = 0,952
f)Gegenkathete 6 cm, Ankathete 8 cm, Hypotenuse 10 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 6/10 = 0,600, cos α = 8/10 = 0,800, tan α = 6/8 = 0,750
2Seite berechnen
a)α = 20°, Hypotenuse c = 28 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 28 · sin 20° = 9,58 cm
b)α = 35°, Hypotenuse c = 19 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 19 · sin 35° = 10,90 cm
c)α = 65°, Hypotenuse c = 28 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 28 · sin 65° = 25,38 cm
d)α = 35°, Hypotenuse c = 28 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 28 · sin 35° = 16,06 cm
e)α = 45°, Hypotenuse c = 29 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 29 · sin 45° = 20,51 cm
f)α = 40°, Hypotenuse c = 21 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 21 · sin 40° = 13,50 cm
3Winkel berechnen
a)Gegenkathete 10 cm, Ankathete 11 cm. α =tan α = 10/11 = 0,909 → α = 42,3°
b)Gegenkathete 10 cm, Ankathete 2 cm. α =tan α = 10/2 = 5,000 → α = 78,7°
c)Gegenkathete 11 cm, Ankathete 2 cm. α =tan α = 11/2 = 5,500 → α = 79,7°
d)Gegenkathete 5 cm, Ankathete 10 cm. α =tan α = 5/10 = 0,500 → α = 26,6°
e)Gegenkathete 5 cm, Ankathete 8 cm. α =tan α = 5/8 = 0,625 → α = 32,0°
f)Gegenkathete 10 cm, Ankathete 10 cm. α =tan α = 10/10 = 1,000 → α = 45,0°
sin α = Gegenkathete : Hypotenuse · cos α = Ankathete : Hypotenuse · tan α = Gegenkathete : Ankathete
1Seitenverhältnisse
Rechtwinkliges Dreieck:
a)Gegenkathete 6 cm, Ankathete 8 cm, Hypotenuse 10 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 6/10 = 0,600, cos α = 8/10 = 0,800, tan α = 6/8 = 0,750
b)Gegenkathete 5 cm, Ankathete 12 cm, Hypotenuse 13 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =
c)Gegenkathete 3 cm, Ankathete 4 cm, Hypotenuse 5 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =
d)Gegenkathete 20 cm, Ankathete 21 cm, Hypotenuse 29 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =
e)Gegenkathete 12 cm, Ankathete 16 cm, Hypotenuse 20 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =
f)Gegenkathete 9 cm, Ankathete 12 cm, Hypotenuse 15 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =
2Seite berechnen
a)α = 35°, Hypotenuse c = 35 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 35 · sin 35° = 20,08 cm
b)α = 40°, Hypotenuse c = 63 cm. Gegenkathete
c)α = 65°, Hypotenuse c = 39 cm. Gegenkathete
d)α = 40°, Hypotenuse c = 36 cm. Gegenkathete
e)α = 65°, Hypotenuse c = 62 cm. Gegenkathete
f)α = 30°, Hypotenuse c = 27 cm. Gegenkathete
3Winkel berechnen
a)Gegenkathete 4 cm, Ankathete 4 cm. α =tan α = 4/4 = 1,000 → α = 45,0°
b)Gegenkathete 5 cm, Ankathete 5 cm. α =
c)Gegenkathete 7 cm, Ankathete 4 cm. α =
d)Gegenkathete 7 cm, Ankathete 8 cm. α =
e)Gegenkathete 5 cm, Ankathete 2 cm. α =
f)Gegenkathete 10 cm, Ankathete 8 cm. α =
4Wie hoch ist der Turm?
a)Ein Turm wirft unter dem Winkel 25° einen Schatten von 26 m.h = 26 · tan 25° = 12,12 m
b)Ein Turm wirft unter dem Winkel 35° einen Schatten von 19 m.
c)Ein Turm wirft unter dem Winkel 60° einen Schatten von 11 m.
d)Ein Turm wirft unter dem Winkel 55° einen Schatten von 14 m.
5Knobelaufgabe
Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.
a)Eine Straße hat 12 % Steigung. Wie groß ist der Steigungswinkel? Wie viele Höhenmeter überwindest du auf 2 km Strecke?
sin α = Gegenkathete : Hypotenuse · cos α = Ankathete : Hypotenuse · tan α = Gegenkathete : Ankathete
1Seitenverhältnisse
Rechtwinkliges Dreieck:
a)Gegenkathete 6 cm, Ankathete 8 cm, Hypotenuse 10 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 6/10 = 0,600, cos α = 8/10 = 0,800, tan α = 6/8 = 0,750
b)Gegenkathete 5 cm, Ankathete 12 cm, Hypotenuse 13 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 5/13 = 0,385, cos α = 12/13 = 0,923, tan α = 5/12 = 0,417
c)Gegenkathete 3 cm, Ankathete 4 cm, Hypotenuse 5 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 3/5 = 0,600, cos α = 4/5 = 0,800, tan α = 3/4 = 0,750
d)Gegenkathete 20 cm, Ankathete 21 cm, Hypotenuse 29 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 20/29 = 0,690, cos α = 21/29 = 0,724, tan α = 20/21 = 0,952
e)Gegenkathete 12 cm, Ankathete 16 cm, Hypotenuse 20 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 12/20 = 0,600, cos α = 16/20 = 0,800, tan α = 12/16 = 0,750
f)Gegenkathete 9 cm, Ankathete 12 cm, Hypotenuse 15 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 9/15 = 0,600, cos α = 12/15 = 0,800, tan α = 9/12 = 0,750
2Seite berechnen
a)α = 35°, Hypotenuse c = 35 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 35 · sin 35° = 20,08 cm
b)α = 40°, Hypotenuse c = 63 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 63 · sin 40° = 40,50 cm
c)α = 65°, Hypotenuse c = 39 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 39 · sin 65° = 35,35 cm
d)α = 40°, Hypotenuse c = 36 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 36 · sin 40° = 23,14 cm
e)α = 65°, Hypotenuse c = 62 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 62 · sin 65° = 56,19 cm
f)α = 30°, Hypotenuse c = 27 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 27 · sin 30° = 13,50 cm
3Winkel berechnen
a)Gegenkathete 4 cm, Ankathete 4 cm. α =tan α = 4/4 = 1,000 → α = 45,0°
b)Gegenkathete 5 cm, Ankathete 5 cm. α =tan α = 5/5 = 1,000 → α = 45,0°
c)Gegenkathete 7 cm, Ankathete 4 cm. α =tan α = 7/4 = 1,750 → α = 60,3°
d)Gegenkathete 7 cm, Ankathete 8 cm. α =tan α = 7/8 = 0,875 → α = 41,2°
e)Gegenkathete 5 cm, Ankathete 2 cm. α =tan α = 5/2 = 2,500 → α = 68,2°
f)Gegenkathete 10 cm, Ankathete 8 cm. α =tan α = 10/8 = 1,250 → α = 51,3°
4Wie hoch ist der Turm?
a)Ein Turm wirft unter dem Winkel 25° einen Schatten von 26 m.h = 26 · tan 25° = 12,12 m
b)Ein Turm wirft unter dem Winkel 35° einen Schatten von 19 m.h = 19 · tan 35° = 13,30 m
c)Ein Turm wirft unter dem Winkel 60° einen Schatten von 11 m.h = 11 · tan 60° = 19,05 m
d)Ein Turm wirft unter dem Winkel 55° einen Schatten von 14 m.h = 14 · tan 55° = 19,99 m
5Knobelaufgabe
Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.
a)Eine Straße hat 12 % Steigung. Wie groß ist der Steigungswinkel? Wie viele Höhenmeter überwindest du auf 2 km Strecke?tan(w) = 0,12 ergibt w = 6,8°. Auf 2000 m Horizontalstrecke sind das 240 Höhenmeter.
Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse
Welche Seite welche ist, hängt vom betrachteten Winkel ab. Die Hypotenuse liegt immer gegenüber dem rechten Winkel, die Gegenkathete gegenüber deinem Winkel, die Ankathete daneben.
Die drei Verhältnisse
Sie sind nur Seitenverhältnisse — deshalb brauchst du zwei Angaben, um die dritte zu bekommen.
Kennst du das Verhältnis und suchst den Winkel, nimm die Umkehrfunktion auf dem Rechner (sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹). Achte darauf, dass der Rechner auf DEG steht, nicht auf RAD.