Quadratische Gleichungen

Mathematik · Klasse 9 · mittel

MSA-Vorbereitung
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Das brauchst du

x² + px + q = 0x = -p/2 ± √((p/2)² - q)Diskriminante D = (p/2)² - q: D > 0 zwei Lösungen, D = 0 eine, D < 0 keine

x² + px + q = 0 löst die pq-Formel: x = -p/2 ± √((p/2)² - q). Die Lösungen heißen auch Nullstellen.

1Reinquadratisch

  1. a)x² = 49x = 7 oder x = -7
  2. b)x² = 25
  3. c)x² = 81
  4. d)x² = 64
  5. e)x² = 100
  6. f)x² = 4
  7. g)x² = 36
  8. h)x² = 9
  9. i)x² = 16

2B pq-Formel

  1. a)x² + 5x + 6 = 0p = 5, q = 6 → x = -2,5 ± √(6,25 - 6) → x1 = -2, x2 = -3
  2. b)x² + 4x - 12 = 0
  3. c)x² + 10x + 24 = 0
  4. d)x² - 9 = 0
  5. e)x² - 8x + 12 = 0
  6. f)x² - 2x - 15 = 0
  7. g)x² + 5x - 14 = 0
  8. h)x² + 12x + 35 = 0
  9. i)x² + 9x + 14 = 0
  10. j)x² - 9x + 14 = 0
  11. k)x² + 11x + 28 = 0

Das brauchst du

x² + px + q = 0x = -p/2 ± √((p/2)² - q)Diskriminante D = (p/2)² - q: D > 0 zwei Lösungen, D = 0 eine, D < 0 keine

x² + px + q = 0 löst die pq-Formel: x = -p/2 ± √((p/2)² - q). Die Lösungen heißen auch Nullstellen.

1Reinquadratisch

  1. a)x² = 49x = 7 oder x = -7
  2. b)x² = 25x = 5 oder x = -5
  3. c)x² = 81x = 9 oder x = -9
  4. d)x² = 64x = 8 oder x = -8
  5. e)x² = 100x = 10 oder x = -10
  6. f)x² = 4x = 2 oder x = -2
  7. g)x² = 36x = 6 oder x = -6
  8. h)x² = 9x = 3 oder x = -3
  9. i)x² = 16x = 4 oder x = -4

2B pq-Formel

  1. a)x² + 5x + 6 = 0p = 5, q = 6 → x = -2,5 ± √(6,25 - 6) → x1 = -2, x2 = -3
  2. b)x² + 4x - 12 = 0p = 4, q = -12 → x = -2,0 ± √(4,00 + 12) → x1 = 2, x2 = -6
  3. c)x² + 10x + 24 = 0p = 10, q = 24 → x = -5,0 ± √(25,00 - 24) → x1 = -4, x2 = -6
  4. d)x² - 9 = 0p = 0, q = -9 → x = 0,0 ± √(0,00 + 9) → x1 = 3, x2 = -3
  5. e)x² - 8x + 12 = 0p = -8, q = 12 → x = 4,0 ± √(16,00 - 12) → x1 = 6, x2 = 2
  6. f)x² - 2x - 15 = 0p = -2, q = -15 → x = 1,0 ± √(1,00 + 15) → x1 = 5, x2 = -3
  7. g)x² + 5x - 14 = 0p = 5, q = -14 → x = -2,5 ± √(6,25 + 14) → x1 = 2, x2 = -7
  8. h)x² + 12x + 35 = 0p = 12, q = 35 → x = -6,0 ± √(36,00 - 35) → x1 = -5, x2 = -7
  9. i)x² + 9x + 14 = 0p = 9, q = 14 → x = -4,5 ± √(20,25 - 14) → x1 = -2, x2 = -7
  10. j)x² - 9x + 14 = 0p = -9, q = 14 → x = 4,5 ± √(20,25 - 14) → x1 = 7, x2 = 2
  11. k)x² + 11x + 28 = 0p = 11, q = 28 → x = -5,5 ± √(30,25 - 28) → x1 = -4, x2 = -7

Das brauchst du

x² + px + q = 0x = -p/2 ± √((p/2)² - q)Diskriminante D = (p/2)² - q: D > 0 zwei Lösungen, D = 0 eine, D < 0 keine

x² + px + q = 0 löst die pq-Formel: x = -p/2 ± √((p/2)² - q). Die Lösungen heißen auch Nullstellen.

1Reinquadratisch

  1. a)x² = 144x = 12 oder x = -12
  2. b)x² = 121
  3. c)x² = 64
  4. d)x² = 81
  5. e)x² = 4
  6. f)x² = 196
  7. g)x² = 36
  8. h)x² = 16

2B pq-Formel

  1. a)x² - x - 6 = 0p = -1, q = -6 → x = 0,5 ± √(0,25 + 6) → x1 = 3, x2 = -2
  2. b)x² - 6x + 5 = 0
  3. c)x² + 6x - 7 = 0
  4. d)x² + 5x + 4 = 0
  5. e)x² + 3x - 10 = 0
  6. f)x² + 7x + 12 = 0

3Faktorisieren

  1. a)x² - x - 56= (x - 8)(x + 7) → Nullstellen 8 und -7
  2. b)x² - 2x - 3
  3. c)x² + x - 2
  4. d)x² + 5x - 24
  5. e)x² + 3x - 28
  6. f)x² - x - 72

Das brauchst du

x² + px + q = 0x = -p/2 ± √((p/2)² - q)Diskriminante D = (p/2)² - q: D > 0 zwei Lösungen, D = 0 eine, D < 0 keine

x² + px + q = 0 löst die pq-Formel: x = -p/2 ± √((p/2)² - q). Die Lösungen heißen auch Nullstellen.

1Reinquadratisch

  1. a)x² = 144x = 12 oder x = -12
  2. b)x² = 121x = 11 oder x = -11
  3. c)x² = 64x = 8 oder x = -8
  4. d)x² = 81x = 9 oder x = -9
  5. e)x² = 4x = 2 oder x = -2
  6. f)x² = 196x = 14 oder x = -14
  7. g)x² = 36x = 6 oder x = -6
  8. h)x² = 16x = 4 oder x = -4

2B pq-Formel

  1. a)x² - x - 6 = 0p = -1, q = -6 → x = 0,5 ± √(0,25 + 6) → x1 = 3, x2 = -2
  2. b)x² - 6x + 5 = 0p = -6, q = 5 → x = 3,0 ± √(9,00 - 5) → x1 = 5, x2 = 1
  3. c)x² + 6x - 7 = 0p = 6, q = -7 → x = -3,0 ± √(9,00 + 7) → x1 = 1, x2 = -7
  4. d)x² + 5x + 4 = 0p = 5, q = 4 → x = -2,5 ± √(6,25 - 4) → x1 = -1, x2 = -4
  5. e)x² + 3x - 10 = 0p = 3, q = -10 → x = -1,5 ± √(2,25 + 10) → x1 = 2, x2 = -5
  6. f)x² + 7x + 12 = 0p = 7, q = 12 → x = -3,5 ± √(12,25 - 12) → x1 = -3, x2 = -4

3Faktorisieren

  1. a)x² - x - 56= (x - 8)(x + 7) → Nullstellen 8 und -7
  2. b)x² - 2x - 3= (x - 3)(x + 1) → Nullstellen 3 und -1
  3. c)x² + x - 2= (x - 1)(x + 2) → Nullstellen 1 und -2
  4. d)x² + 5x - 24= (x - 3)(x + 8) → Nullstellen 3 und -8
  5. e)x² + 3x - 28= (x - 4)(x + 7) → Nullstellen 4 und -7
  6. f)x² - x - 72= (x - 9)(x + 8) → Nullstellen 9 und -8

Das brauchst du

x² + px + q = 0x = -p/2 ± √((p/2)² - q)Diskriminante D = (p/2)² - q: D > 0 zwei Lösungen, D = 0 eine, D < 0 keine

x² + px + q = 0 löst die pq-Formel: x = -p/2 ± √((p/2)² - q). Die Lösungen heißen auch Nullstellen.

1Reinquadratisch

  1. a)x² = 256x = 16 oder x = -16
  2. b)x² = 361
  3. c)x² = 64
  4. d)x² = 400
  5. e)x² = 289
  6. f)x² = 169
  7. g)x² = 324
  8. h)x² = 625

2B pq-Formel

  1. a)x² + 4x + 4 = 0p = 4, q = 4 → x = -2,0 ± √(4,00 - 4) → x1 = -2, x2 = -2
  2. b)x² + 7x + 12 = 0
  3. c)x² - 2x - 24 = 0
  4. d)x² + 5x - 14 = 0
  5. e)x² - 4 = 0
  6. f)x² - 5x + 4 = 0

3Faktorisieren

  1. a)x² - 9= (x - 3)(x + 3) → Nullstellen 3 und -3
  2. b)x² + 3x - 28
  3. c)x² + 2x - 24
  4. d)x² + 3x - 10
  5. e)x² - x - 72
  6. f)x² + x - 56

4Sachaufgabe

  1. a)Ein Rechteck ist 6 cm länger als breit und hat 135 cm² Fläche. Wie breit ist es?x(x + 6) = 135 → x² + 6x - 135 = 0 → x = 9 cm (die negative Lösung passt nicht)
  2. b)Ein Rechteck ist 4 cm länger als breit und hat 117 cm² Fläche. Wie breit ist es?
  3. c)Ein Rechteck ist 6 cm länger als breit und hat 40 cm² Fläche. Wie breit ist es?
  4. d)Ein Rechteck ist 2 cm länger als breit und hat 99 cm² Fläche. Wie breit ist es?

5Knobelaufgabe

Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.

  1. a)Ein rechteckiges Beet ist 3 m länger als breit und hat 40 m² Fläche. Wie breit ist es? Prüfe, ob beide Lösungen im Sachzusammenhang Sinn ergeben.

Das brauchst du

x² + px + q = 0x = -p/2 ± √((p/2)² - q)Diskriminante D = (p/2)² - q: D > 0 zwei Lösungen, D = 0 eine, D < 0 keine

x² + px + q = 0 löst die pq-Formel: x = -p/2 ± √((p/2)² - q). Die Lösungen heißen auch Nullstellen.

1Reinquadratisch

  1. a)x² = 256x = 16 oder x = -16
  2. b)x² = 361x = 19 oder x = -19
  3. c)x² = 64x = 8 oder x = -8
  4. d)x² = 400x = 20 oder x = -20
  5. e)x² = 289x = 17 oder x = -17
  6. f)x² = 169x = 13 oder x = -13
  7. g)x² = 324x = 18 oder x = -18
  8. h)x² = 625x = 25 oder x = -25

2B pq-Formel

  1. a)x² + 4x + 4 = 0p = 4, q = 4 → x = -2,0 ± √(4,00 - 4) → x1 = -2, x2 = -2
  2. b)x² + 7x + 12 = 0p = 7, q = 12 → x = -3,5 ± √(12,25 - 12) → x1 = -3, x2 = -4
  3. c)x² - 2x - 24 = 0p = -2, q = -24 → x = 1,0 ± √(1,00 + 24) → x1 = 6, x2 = -4
  4. d)x² + 5x - 14 = 0p = 5, q = -14 → x = -2,5 ± √(6,25 + 14) → x1 = 2, x2 = -7
  5. e)x² - 4 = 0p = 0, q = -4 → x = 0,0 ± √(0,00 + 4) → x1 = 2, x2 = -2
  6. f)x² - 5x + 4 = 0p = -5, q = 4 → x = 2,5 ± √(6,25 - 4) → x1 = 4, x2 = 1

3Faktorisieren

  1. a)x² - 9= (x - 3)(x + 3) → Nullstellen 3 und -3
  2. b)x² + 3x - 28= (x - 4)(x + 7) → Nullstellen 4 und -7
  3. c)x² + 2x - 24= (x - 4)(x + 6) → Nullstellen 4 und -6
  4. d)x² + 3x - 10= (x - 2)(x + 5) → Nullstellen 2 und -5
  5. e)x² - x - 72= (x - 9)(x + 8) → Nullstellen 9 und -8
  6. f)x² + x - 56= (x - 7)(x + 8) → Nullstellen 7 und -8

4Sachaufgabe

  1. a)Ein Rechteck ist 6 cm länger als breit und hat 135 cm² Fläche. Wie breit ist es?x(x + 6) = 135 → x² + 6x - 135 = 0 → x = 9 cm (die negative Lösung passt nicht)
  2. b)Ein Rechteck ist 4 cm länger als breit und hat 117 cm² Fläche. Wie breit ist es?x(x + 4) = 117 → x² + 4x - 117 = 0 → x = 9 cm (die negative Lösung passt nicht)
  3. c)Ein Rechteck ist 6 cm länger als breit und hat 40 cm² Fläche. Wie breit ist es?x(x + 6) = 40 → x² + 6x - 40 = 0 → x = 4 cm (die negative Lösung passt nicht)
  4. d)Ein Rechteck ist 2 cm länger als breit und hat 99 cm² Fläche. Wie breit ist es?x(x + 2) = 99 → x² + 2x - 99 = 0 → x = 9 cm (die negative Lösung passt nicht)

5Knobelaufgabe

Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.

  1. a)Ein rechteckiges Beet ist 3 m länger als breit und hat 40 m² Fläche. Wie breit ist es? Prüfe, ob beide Lösungen im Sachzusammenhang Sinn ergeben.x(x + 3) = 40 führt auf x² + 3x - 40 = 0, also x = 5 oder x = -8. Nur 5 m ergibt Sinn, eine negative Breite gibt es nicht.

Erst in Normalform bringen

Die p-q-Formel gilt für x² + px + q = 0. Steht vor x² ein Faktor, teile zuerst die ganze Gleichung durch ihn.

2x² + 8x - 10 = 0 | :2x² + 4x - 5 = 0

Die p-q-Formel

x = -p/2 ± √((p/2)² - q). Die Zahl unter der Wurzel heißt Diskriminante. Ist sie positiv, gibt es zwei Lösungen, ist sie null, eine, ist sie negativ, keine.

x² + 4x - 5 = 0x = -2 ± √(4 + 5) = -2 ± 3x₁ = 1, x₂ = -5

Wann es ohne Formel geht

Fehlt das lineare Glied, löst du direkt durch Wurzelziehen. Fehlt das konstante Glied, klammerst du x aus — dann ist eine Lösung immer 0.

x² - 49 = 0 → x = ±7x² - 6x = 0 → x(x - 6) = 0 → x = 0 oder x = 6

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