Pyramide, Kegel und Kugel

Mathematik · Klasse 9 · mittel

MSA-Vorbereitung
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Das brauchst du

Pyramide: V = 1/3 · G · hKegel: V = 1/3 · π · r² · h, Mantel M = π · r · sKugel: V = 4/3 · π · r³, O = 4 · π · r²

Pyramide und Kegel: V = 1/3 · Grundfläche · Höhe. Kugel: V = 4/3 · π · r³, O = 4 · π · r²

1Pyramide

  1. a)Quadratische Pyramide, Grundkante 8 cm, Höhe 4 cm.V = 1/3 · 8² · 4 = 85,33 cm³
  2. b)Quadratische Pyramide, Grundkante 3 cm, Höhe 7 cm.
  3. c)Quadratische Pyramide, Grundkante 3 cm, Höhe 3 cm.
  4. d)Quadratische Pyramide, Grundkante 8 cm, Höhe 9 cm.
  5. e)Quadratische Pyramide, Grundkante 9 cm, Höhe 6 cm.
  6. f)Quadratische Pyramide, Grundkante 6 cm, Höhe 8 cm.
  7. g)Quadratische Pyramide, Grundkante 5 cm, Höhe 4 cm.
  8. h)Quadratische Pyramide, Grundkante 2 cm, Höhe 9 cm.

2Kegel

  1. a)Kegel, r = 5 cm, h = 9 cm.V = 1/3 · π · 5² · 9 = 235,62 cm³
  2. b)Kegel, r = 6 cm, h = 9 cm.
  3. c)Kegel, r = 6 cm, h = 5 cm.
  4. d)Kegel, r = 3 cm, h = 5 cm.
  5. e)Kegel, r = 4 cm, h = 9 cm.
  6. f)Kegel, r = 4 cm, h = 8 cm.
  7. g)Kegel, r = 6 cm, h = 6 cm.
  8. h)Kegel, r = 6 cm, h = 3 cm.

Das brauchst du

Pyramide: V = 1/3 · G · hKegel: V = 1/3 · π · r² · h, Mantel M = π · r · sKugel: V = 4/3 · π · r³, O = 4 · π · r²

Pyramide und Kegel: V = 1/3 · Grundfläche · Höhe. Kugel: V = 4/3 · π · r³, O = 4 · π · r²

1Pyramide

  1. a)Quadratische Pyramide, Grundkante 8 cm, Höhe 4 cm.V = 1/3 · 8² · 4 = 85,33 cm³
  2. b)Quadratische Pyramide, Grundkante 3 cm, Höhe 7 cm.V = 1/3 · 3² · 7 = 21,00 cm³
  3. c)Quadratische Pyramide, Grundkante 3 cm, Höhe 3 cm.V = 1/3 · 3² · 3 = 9,00 cm³
  4. d)Quadratische Pyramide, Grundkante 8 cm, Höhe 9 cm.V = 1/3 · 8² · 9 = 192,00 cm³
  5. e)Quadratische Pyramide, Grundkante 9 cm, Höhe 6 cm.V = 1/3 · 9² · 6 = 162,00 cm³
  6. f)Quadratische Pyramide, Grundkante 6 cm, Höhe 8 cm.V = 1/3 · 6² · 8 = 96,00 cm³
  7. g)Quadratische Pyramide, Grundkante 5 cm, Höhe 4 cm.V = 1/3 · 5² · 4 = 33,33 cm³
  8. h)Quadratische Pyramide, Grundkante 2 cm, Höhe 9 cm.V = 1/3 · 2² · 9 = 12,00 cm³

2Kegel

  1. a)Kegel, r = 5 cm, h = 9 cm.V = 1/3 · π · 5² · 9 = 235,62 cm³
  2. b)Kegel, r = 6 cm, h = 9 cm.V = 1/3 · π · 6² · 9 = 339,29 cm³
  3. c)Kegel, r = 6 cm, h = 5 cm.V = 1/3 · π · 6² · 5 = 188,50 cm³
  4. d)Kegel, r = 3 cm, h = 5 cm.V = 1/3 · π · 3² · 5 = 47,12 cm³
  5. e)Kegel, r = 4 cm, h = 9 cm.V = 1/3 · π · 4² · 9 = 150,80 cm³
  6. f)Kegel, r = 4 cm, h = 8 cm.V = 1/3 · π · 4² · 8 = 134,04 cm³
  7. g)Kegel, r = 6 cm, h = 6 cm.V = 1/3 · π · 6² · 6 = 226,19 cm³
  8. h)Kegel, r = 6 cm, h = 3 cm.V = 1/3 · π · 6² · 3 = 113,10 cm³

Das brauchst du

Pyramide: V = 1/3 · G · hKegel: V = 1/3 · π · r² · h, Mantel M = π · r · sKugel: V = 4/3 · π · r³, O = 4 · π · r²

Pyramide und Kegel: V = 1/3 · Grundfläche · Höhe. Kugel: V = 4/3 · π · r³, O = 4 · π · r²

1Pyramide

  1. a)Quadratische Pyramide, Grundkante 13 cm, Höhe 14 cm.V = 1/3 · 13² · 14 = 788,67 cm³
  2. b)Quadratische Pyramide, Grundkante 10 cm, Höhe 13 cm.
  3. c)Quadratische Pyramide, Grundkante 8 cm, Höhe 9 cm.
  4. d)Quadratische Pyramide, Grundkante 15 cm, Höhe 5 cm.
  5. e)Quadratische Pyramide, Grundkante 6 cm, Höhe 9 cm.
  6. f)Quadratische Pyramide, Grundkante 12 cm, Höhe 14 cm.

2Kegel

  1. a)Kegel, r = 8 cm, h = 9 cm.V = 1/3 · π · 8² · 9 = 603,19 cm³
  2. b)Kegel, r = 12 cm, h = 14 cm.
  3. c)Kegel, r = 6 cm, h = 18 cm.
  4. d)Kegel, r = 6 cm, h = 9 cm.
  5. e)Kegel, r = 3 cm, h = 5 cm.
  6. f)Kegel, r = 11 cm, h = 15 cm.

3Kugel

  1. a)Kugel mit r = 6 cm. V = ____ O =V = 4/3 · π · 6³ = 904,78 cm³, O = 4 · π · 6² = 452,39 cm²
  2. b)Kugel mit r = 9 cm. V = ____ O =
  3. c)Kugel mit r = 12 cm. V = ____ O =
  4. d)Kugel mit r = 4 cm. V = ____ O =
  5. e)Kugel mit r = 11 cm. V = ____ O =
  6. f)Kugel mit r = 3 cm. V = ____ O =

Das brauchst du

Pyramide: V = 1/3 · G · hKegel: V = 1/3 · π · r² · h, Mantel M = π · r · sKugel: V = 4/3 · π · r³, O = 4 · π · r²

Pyramide und Kegel: V = 1/3 · Grundfläche · Höhe. Kugel: V = 4/3 · π · r³, O = 4 · π · r²

1Pyramide

  1. a)Quadratische Pyramide, Grundkante 13 cm, Höhe 14 cm.V = 1/3 · 13² · 14 = 788,67 cm³
  2. b)Quadratische Pyramide, Grundkante 10 cm, Höhe 13 cm.V = 1/3 · 10² · 13 = 433,33 cm³
  3. c)Quadratische Pyramide, Grundkante 8 cm, Höhe 9 cm.V = 1/3 · 8² · 9 = 192,00 cm³
  4. d)Quadratische Pyramide, Grundkante 15 cm, Höhe 5 cm.V = 1/3 · 15² · 5 = 375,00 cm³
  5. e)Quadratische Pyramide, Grundkante 6 cm, Höhe 9 cm.V = 1/3 · 6² · 9 = 108,00 cm³
  6. f)Quadratische Pyramide, Grundkante 12 cm, Höhe 14 cm.V = 1/3 · 12² · 14 = 672,00 cm³

2Kegel

  1. a)Kegel, r = 8 cm, h = 9 cm.V = 1/3 · π · 8² · 9 = 603,19 cm³
  2. b)Kegel, r = 12 cm, h = 14 cm.V = 1/3 · π · 12² · 14 = 2111,15 cm³
  3. c)Kegel, r = 6 cm, h = 18 cm.V = 1/3 · π · 6² · 18 = 678,58 cm³
  4. d)Kegel, r = 6 cm, h = 9 cm.V = 1/3 · π · 6² · 9 = 339,29 cm³
  5. e)Kegel, r = 3 cm, h = 5 cm.V = 1/3 · π · 3² · 5 = 47,12 cm³
  6. f)Kegel, r = 11 cm, h = 15 cm.V = 1/3 · π · 11² · 15 = 1900,66 cm³

3Kugel

  1. a)Kugel mit r = 6 cm. V = ____ O =V = 4/3 · π · 6³ = 904,78 cm³, O = 4 · π · 6² = 452,39 cm²
  2. b)Kugel mit r = 9 cm. V = ____ O =V = 4/3 · π · 9³ = 3053,63 cm³, O = 4 · π · 9² = 1017,88 cm²
  3. c)Kugel mit r = 12 cm. V = ____ O =V = 4/3 · π · 12³ = 7238,23 cm³, O = 4 · π · 12² = 1809,56 cm²
  4. d)Kugel mit r = 4 cm. V = ____ O =V = 4/3 · π · 4³ = 268,08 cm³, O = 4 · π · 4² = 201,06 cm²
  5. e)Kugel mit r = 11 cm. V = ____ O =V = 4/3 · π · 11³ = 5575,28 cm³, O = 4 · π · 11² = 1520,53 cm²
  6. f)Kugel mit r = 3 cm. V = ____ O =V = 4/3 · π · 3³ = 113,10 cm³, O = 4 · π · 3² = 113,10 cm²

Das brauchst du

Pyramide: V = 1/3 · G · hKegel: V = 1/3 · π · r² · h, Mantel M = π · r · sKugel: V = 4/3 · π · r³, O = 4 · π · r²

Pyramide und Kegel: V = 1/3 · Grundfläche · Höhe. Kugel: V = 4/3 · π · r³, O = 4 · π · r²

1Pyramide

  1. a)Quadratische Pyramide, Grundkante 19 cm, Höhe 21 cm.V = 1/3 · 19² · 21 = 2527,00 cm³
  2. b)Quadratische Pyramide, Grundkante 9 cm, Höhe 18 cm.
  3. c)Quadratische Pyramide, Grundkante 30 cm, Höhe 37 cm.
  4. d)Quadratische Pyramide, Grundkante 4 cm, Höhe 11 cm.
  5. e)Quadratische Pyramide, Grundkante 8 cm, Höhe 38 cm.
  6. f)Quadratische Pyramide, Grundkante 20 cm, Höhe 17 cm.

2Kegel

  1. a)Kegel, r = 5 cm, h = 23 cm.V = 1/3 · π · 5² · 23 = 602,14 cm³
  2. b)Kegel, r = 13 cm, h = 29 cm.
  3. c)Kegel, r = 18 cm, h = 24 cm.
  4. d)Kegel, r = 18 cm, h = 28 cm.
  5. e)Kegel, r = 8 cm, h = 16 cm.
  6. f)Kegel, r = 25 cm, h = 22 cm.

3Kugel

  1. a)Kugel mit r = 9 cm. V = ____ O =V = 4/3 · π · 9³ = 3053,63 cm³, O = 4 · π · 9² = 1017,88 cm²
  2. b)Kugel mit r = 20 cm. V = ____ O =
  3. c)Kugel mit r = 13 cm. V = ____ O =
  4. d)Kugel mit r = 4 cm. V = ____ O =
  5. e)Kugel mit r = 25 cm. V = ____ O =
  6. f)Kugel mit r = 22 cm. V = ____ O =

4Mantellinie s und Oberfläche O?

  1. a)Kegel mit r = 7 cm und h = 7 cm.s = √(7² + 7²) = 9,90 cm, O = π · r² + π · r · s = 371,64 cm²
  2. b)Kegel mit r = 4 cm und h = 12 cm.
  3. c)Kegel mit r = 3 cm und h = 6 cm.
  4. d)Kegel mit r = 4 cm und h = 8 cm.

5Knobelaufgabe

Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.

  1. a)Eine Eiskugel mit 5 cm Durchmesser schmilzt in einen zylindrischen Becher mit 4 cm Durchmesser. Wie hoch steht die Flüssigkeit?

Das brauchst du

Pyramide: V = 1/3 · G · hKegel: V = 1/3 · π · r² · h, Mantel M = π · r · sKugel: V = 4/3 · π · r³, O = 4 · π · r²

Pyramide und Kegel: V = 1/3 · Grundfläche · Höhe. Kugel: V = 4/3 · π · r³, O = 4 · π · r²

1Pyramide

  1. a)Quadratische Pyramide, Grundkante 19 cm, Höhe 21 cm.V = 1/3 · 19² · 21 = 2527,00 cm³
  2. b)Quadratische Pyramide, Grundkante 9 cm, Höhe 18 cm.V = 1/3 · 9² · 18 = 486,00 cm³
  3. c)Quadratische Pyramide, Grundkante 30 cm, Höhe 37 cm.V = 1/3 · 30² · 37 = 11100,00 cm³
  4. d)Quadratische Pyramide, Grundkante 4 cm, Höhe 11 cm.V = 1/3 · 4² · 11 = 58,67 cm³
  5. e)Quadratische Pyramide, Grundkante 8 cm, Höhe 38 cm.V = 1/3 · 8² · 38 = 810,67 cm³
  6. f)Quadratische Pyramide, Grundkante 20 cm, Höhe 17 cm.V = 1/3 · 20² · 17 = 2266,67 cm³

2Kegel

  1. a)Kegel, r = 5 cm, h = 23 cm.V = 1/3 · π · 5² · 23 = 602,14 cm³
  2. b)Kegel, r = 13 cm, h = 29 cm.V = 1/3 · π · 13² · 29 = 5132,32 cm³
  3. c)Kegel, r = 18 cm, h = 24 cm.V = 1/3 · π · 18² · 24 = 8143,01 cm³
  4. d)Kegel, r = 18 cm, h = 28 cm.V = 1/3 · π · 18² · 28 = 9500,18 cm³
  5. e)Kegel, r = 8 cm, h = 16 cm.V = 1/3 · π · 8² · 16 = 1072,33 cm³
  6. f)Kegel, r = 25 cm, h = 22 cm.V = 1/3 · π · 25² · 22 = 14398,97 cm³

3Kugel

  1. a)Kugel mit r = 9 cm. V = ____ O =V = 4/3 · π · 9³ = 3053,63 cm³, O = 4 · π · 9² = 1017,88 cm²
  2. b)Kugel mit r = 20 cm. V = ____ O =V = 4/3 · π · 20³ = 33510,32 cm³, O = 4 · π · 20² = 5026,55 cm²
  3. c)Kugel mit r = 13 cm. V = ____ O =V = 4/3 · π · 13³ = 9202,77 cm³, O = 4 · π · 13² = 2123,72 cm²
  4. d)Kugel mit r = 4 cm. V = ____ O =V = 4/3 · π · 4³ = 268,08 cm³, O = 4 · π · 4² = 201,06 cm²
  5. e)Kugel mit r = 25 cm. V = ____ O =V = 4/3 · π · 25³ = 65449,85 cm³, O = 4 · π · 25² = 7853,98 cm²
  6. f)Kugel mit r = 22 cm. V = ____ O =V = 4/3 · π · 22³ = 44602,24 cm³, O = 4 · π · 22² = 6082,12 cm²

4Mantellinie s und Oberfläche O?

  1. a)Kegel mit r = 7 cm und h = 7 cm.s = √(7² + 7²) = 9,90 cm, O = π · r² + π · r · s = 371,64 cm²
  2. b)Kegel mit r = 4 cm und h = 12 cm.s = √(4² + 12²) = 12,65 cm, O = π · r² + π · r · s = 209,22 cm²
  3. c)Kegel mit r = 3 cm und h = 6 cm.s = √(3² + 6²) = 6,71 cm, O = π · r² + π · r · s = 91,50 cm²
  4. d)Kegel mit r = 4 cm und h = 8 cm.s = √(4² + 8²) = 8,94 cm, O = π · r² + π · r · s = 162,66 cm²

5Knobelaufgabe

Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.

  1. a)Eine Eiskugel mit 5 cm Durchmesser schmilzt in einen zylindrischen Becher mit 4 cm Durchmesser. Wie hoch steht die Flüssigkeit?V = 4/3 · pi · 2,5³ = 65,4 cm³. Grundfläche pi · 2² = 12,6 cm². Höhe = 65,4 : 12,6 = 5,2 cm.

Der Faktor ein Drittel

Pyramide und Kegel haben eine Spitze. Beide fassen genau ein Drittel dessen, was ein Prisma oder Zylinder mit derselben Grundfläche und Höhe fassen würde.

Pyramide: V = 1/3 · G · hKegel: V = 1/3 · pi · r² · h

Körperhöhe und Seitenkante

Die Höhe h steht senkrecht auf der Grundfläche, die Mantellinie s läuft schräg zur Spitze. Zwischen beiden liegt ein rechtwinkliges Dreieck — mit Pythagoras rechnest du eine aus der anderen.

Kegel: s² = r² + h²

Die Kugel

Bei der Kugel gibt es nur den Radius. Beide Formeln enthalten ihn in der dritten bzw. zweiten Potenz — deshalb wächst das Volumen so schnell.

V = 4/3 · pi · r³O = 4 · pi · r²

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