Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen

Mathematik · Klasse 11 · mittel

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Das brauchst du

Nullstellen: f(x) = 0Extremstellen: f'(x) = 0, Art über f''(x) (f'' < 0 Hochpunkt, f'' > 0 Tiefpunkt)Wendestellen: f''(x) = 0 und f''' ungleich 0

Nullstellen: f(x) = 0. Extremstellen: f'(x) = 0 und Vorzeichenwechsel. Wendestellen: f''(x) = 0.

1Nullstellen?

  1. a)f(x) = (x - 5)(x + 4).Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = 5, x2 = -4
  2. b)f(x) = (x - 1)(x - 1).
  3. c)f(x) = (x - 2)(x - 5).
  4. d)f(x) = (x - 2)(x + 3).
  5. e)f(x) = (x - 5)(x + 2).
  6. f)f(x) = (x - 3)(x + 1).
  7. g)f(x) = (x - 5)(x + 1).
  8. h)f(x) = (x - 1)(x - 2).
  9. i)f(x) = (x - 3)(x - 2).

2Extremstellen?

  1. a)f(x) = x³ - 3x.f'(x) = 3x² - 3 = 0 ergibt x = 1 und x = -1. f''(x) = 6x, also Minimum bei 1, Maximum bei -1
  2. b)f(x) = x³ - 12x.
  3. c)f(x) = x³ - 27x.
  4. d)f(x) = x³ - 48x.

Das brauchst du

Nullstellen: f(x) = 0Extremstellen: f'(x) = 0, Art über f''(x) (f'' < 0 Hochpunkt, f'' > 0 Tiefpunkt)Wendestellen: f''(x) = 0 und f''' ungleich 0

Nullstellen: f(x) = 0. Extremstellen: f'(x) = 0 und Vorzeichenwechsel. Wendestellen: f''(x) = 0.

1Nullstellen?

  1. a)f(x) = (x - 5)(x + 4).Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = 5, x2 = -4
  2. b)f(x) = (x - 1)(x - 1).Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = 1, x2 = 1
  3. c)f(x) = (x - 2)(x - 5).Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = 2, x2 = 5
  4. d)f(x) = (x - 2)(x + 3).Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = 2, x2 = -3
  5. e)f(x) = (x - 5)(x + 2).Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = 5, x2 = -2
  6. f)f(x) = (x - 3)(x + 1).Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = 3, x2 = -1
  7. g)f(x) = (x - 5)(x + 1).Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = 5, x2 = -1
  8. h)f(x) = (x - 1)(x - 2).Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = 1, x2 = 2
  9. i)f(x) = (x - 3)(x - 2).Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = 3, x2 = 2

2Extremstellen?

  1. a)f(x) = x³ - 3x.f'(x) = 3x² - 3 = 0 ergibt x = 1 und x = -1. f''(x) = 6x, also Minimum bei 1, Maximum bei -1
  2. b)f(x) = x³ - 12x.f'(x) = 3x² - 12 = 0 ergibt x = 2 und x = -2. f''(x) = 6x, also Minimum bei 2, Maximum bei -2
  3. c)f(x) = x³ - 27x.f'(x) = 3x² - 27 = 0 ergibt x = 3 und x = -3. f''(x) = 6x, also Minimum bei 3, Maximum bei -3
  4. d)f(x) = x³ - 48x.f'(x) = 3x² - 48 = 0 ergibt x = 4 und x = -4. f''(x) = 6x, also Minimum bei 4, Maximum bei -4

Das brauchst du

Nullstellen: f(x) = 0Extremstellen: f'(x) = 0, Art über f''(x) (f'' < 0 Hochpunkt, f'' > 0 Tiefpunkt)Wendestellen: f''(x) = 0 und f''' ungleich 0

Nullstellen: f(x) = 0. Extremstellen: f'(x) = 0 und Vorzeichenwechsel. Wendestellen: f''(x) = 0.

1Nullstellen?

  1. a)f(x) = (x + 5)(x + 1).Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = -5, x2 = -1
  2. b)f(x) = (x - 1)(x + 3).
  3. c)f(x) = (x - 2)(x + 4).
  4. d)f(x) = (x + 4)(x - 2).
  5. e)f(x) = (x + 1)(x + 3).
  6. f)f(x) = (x + 3)(x + 3).

2Extremstellen?

  1. a)f(x) = x³ - 27x.f'(x) = 3x² - 27 = 0 ergibt x = 3 und x = -3. f''(x) = 6x, also Minimum bei 3, Maximum bei -3
  2. b)f(x) = x³ - 3x.
  3. c)f(x) = x³ - 48x.
  4. d)f(x) = x³ - 12x.

3Wendestelle?

  1. a)f(x) = x³ - 9x² + 8.f''(x) = 6x - 18 = 0 ergibt x = 3. Vorzeichenwechsel, also Wendepunkt.
  2. b)f(x) = x³ - 6x² + 7.
  3. c)f(x) = x³ - 3x² - 1.
  4. d)f(x) = x³ - 6x² - 1.
  5. e)f(x) = x³ - 12x² - 7.

Das brauchst du

Nullstellen: f(x) = 0Extremstellen: f'(x) = 0, Art über f''(x) (f'' < 0 Hochpunkt, f'' > 0 Tiefpunkt)Wendestellen: f''(x) = 0 und f''' ungleich 0

Nullstellen: f(x) = 0. Extremstellen: f'(x) = 0 und Vorzeichenwechsel. Wendestellen: f''(x) = 0.

1Nullstellen?

  1. a)f(x) = (x + 5)(x + 1).Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = -5, x2 = -1
  2. b)f(x) = (x - 1)(x + 3).Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = 1, x2 = -3
  3. c)f(x) = (x - 2)(x + 4).Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = 2, x2 = -4
  4. d)f(x) = (x + 4)(x - 2).Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = -4, x2 = 2
  5. e)f(x) = (x + 1)(x + 3).Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = -1, x2 = -3
  6. f)f(x) = (x + 3)(x + 3).Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = -3, x2 = -3

2Extremstellen?

  1. a)f(x) = x³ - 27x.f'(x) = 3x² - 27 = 0 ergibt x = 3 und x = -3. f''(x) = 6x, also Minimum bei 3, Maximum bei -3
  2. b)f(x) = x³ - 3x.f'(x) = 3x² - 3 = 0 ergibt x = 1 und x = -1. f''(x) = 6x, also Minimum bei 1, Maximum bei -1
  3. c)f(x) = x³ - 48x.f'(x) = 3x² - 48 = 0 ergibt x = 4 und x = -4. f''(x) = 6x, also Minimum bei 4, Maximum bei -4
  4. d)f(x) = x³ - 12x.f'(x) = 3x² - 12 = 0 ergibt x = 2 und x = -2. f''(x) = 6x, also Minimum bei 2, Maximum bei -2

3Wendestelle?

  1. a)f(x) = x³ - 9x² + 8.f''(x) = 6x - 18 = 0 ergibt x = 3. Vorzeichenwechsel, also Wendepunkt.
  2. b)f(x) = x³ - 6x² + 7.f''(x) = 6x - 12 = 0 ergibt x = 2. Vorzeichenwechsel, also Wendepunkt.
  3. c)f(x) = x³ - 3x² - 1.f''(x) = 6x - 6 = 0 ergibt x = 1. Vorzeichenwechsel, also Wendepunkt.
  4. d)f(x) = x³ - 6x² - 1.f''(x) = 6x - 12 = 0 ergibt x = 2. Vorzeichenwechsel, also Wendepunkt.
  5. e)f(x) = x³ - 12x² - 7.f''(x) = 6x - 24 = 0 ergibt x = 4. Vorzeichenwechsel, also Wendepunkt.

Das brauchst du

Nullstellen: f(x) = 0Extremstellen: f'(x) = 0, Art über f''(x) (f'' < 0 Hochpunkt, f'' > 0 Tiefpunkt)Wendestellen: f''(x) = 0 und f''' ungleich 0

Nullstellen: f(x) = 0. Extremstellen: f'(x) = 0 und Vorzeichenwechsel. Wendestellen: f''(x) = 0.

1Nullstellen?

  1. a)f(x) = (x - 1)(x - 5).Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = 1, x2 = 5
  2. b)f(x) = (x + 4)(x - 2).
  3. c)f(x) = (x - 2)(x + 5).
  4. d)f(x) = (x + 1)(x - 2).
  5. e)f(x) = (x + 5)(x + 3).
  6. f)f(x) = (x - 2)(x - 5).

2Extremstellen?

  1. a)f(x) = x³ - 12x.f'(x) = 3x² - 12 = 0 ergibt x = 2 und x = -2. f''(x) = 6x, also Minimum bei 2, Maximum bei -2
  2. b)f(x) = x³ - 27x.
  3. c)f(x) = x³ - 3x.
  4. d)f(x) = x³ - 48x.

3Wendestelle?

  1. a)f(x) = x³ - 18x² + 8.f''(x) = 6x - 36 = 0 ergibt x = 6. Vorzeichenwechsel, also Wendepunkt.
  2. b)f(x) = x³ - 18x² - 2.
  3. c)f(x) = x³ - 12x² - 3.
  4. d)f(x) = x³ - 3x² + 2.
  5. e)f(x) = x³ - 6x² + 1.

4Welche Symmetrie hat der Graph?

  1. a)f(x) = 5x³ - 9x.Nur ungerade Exponenten, also punktsymmetrisch zum Ursprung: f(-x) = -f(x)
  2. b)f(x) = x³ - 4x.
  3. c)f(x) = 2x³ - 8x.
  4. d)f(x) = 5x⁴ - 3x².
  5. e)f(x) = 5x³ - 2x.

5Zeichne

  1. a)Skizziere den Graphen einer Funktion dritten Grades mit zwei Extrempunkten und einer Nullstelle. Begründe, warum das möglich ist.

Das brauchst du

Nullstellen: f(x) = 0Extremstellen: f'(x) = 0, Art über f''(x) (f'' < 0 Hochpunkt, f'' > 0 Tiefpunkt)Wendestellen: f''(x) = 0 und f''' ungleich 0

Nullstellen: f(x) = 0. Extremstellen: f'(x) = 0 und Vorzeichenwechsel. Wendestellen: f''(x) = 0.

1Nullstellen?

  1. a)f(x) = (x - 1)(x - 5).Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = 1, x2 = 5
  2. b)f(x) = (x + 4)(x - 2).Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = -4, x2 = 2
  3. c)f(x) = (x - 2)(x + 5).Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = 2, x2 = -5
  4. d)f(x) = (x + 1)(x - 2).Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = -1, x2 = 2
  5. e)f(x) = (x + 5)(x + 3).Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = -5, x2 = -3
  6. f)f(x) = (x - 2)(x - 5).Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = 2, x2 = 5

2Extremstellen?

  1. a)f(x) = x³ - 12x.f'(x) = 3x² - 12 = 0 ergibt x = 2 und x = -2. f''(x) = 6x, also Minimum bei 2, Maximum bei -2
  2. b)f(x) = x³ - 27x.f'(x) = 3x² - 27 = 0 ergibt x = 3 und x = -3. f''(x) = 6x, also Minimum bei 3, Maximum bei -3
  3. c)f(x) = x³ - 3x.f'(x) = 3x² - 3 = 0 ergibt x = 1 und x = -1. f''(x) = 6x, also Minimum bei 1, Maximum bei -1
  4. d)f(x) = x³ - 48x.f'(x) = 3x² - 48 = 0 ergibt x = 4 und x = -4. f''(x) = 6x, also Minimum bei 4, Maximum bei -4

3Wendestelle?

  1. a)f(x) = x³ - 18x² + 8.f''(x) = 6x - 36 = 0 ergibt x = 6. Vorzeichenwechsel, also Wendepunkt.
  2. b)f(x) = x³ - 18x² - 2.f''(x) = 6x - 36 = 0 ergibt x = 6. Vorzeichenwechsel, also Wendepunkt.
  3. c)f(x) = x³ - 12x² - 3.f''(x) = 6x - 24 = 0 ergibt x = 4. Vorzeichenwechsel, also Wendepunkt.
  4. d)f(x) = x³ - 3x² + 2.f''(x) = 6x - 6 = 0 ergibt x = 1. Vorzeichenwechsel, also Wendepunkt.
  5. e)f(x) = x³ - 6x² + 1.f''(x) = 6x - 12 = 0 ergibt x = 2. Vorzeichenwechsel, also Wendepunkt.

4Welche Symmetrie hat der Graph?

  1. a)f(x) = 5x³ - 9x.Nur ungerade Exponenten, also punktsymmetrisch zum Ursprung: f(-x) = -f(x)
  2. b)f(x) = x³ - 4x.Nur ungerade Exponenten, also punktsymmetrisch zum Ursprung: f(-x) = -f(x)
  3. c)f(x) = 2x³ - 8x.Nur ungerade Exponenten, also punktsymmetrisch zum Ursprung: f(-x) = -f(x)
  4. d)f(x) = 5x⁴ - 3x².Nur gerade Exponenten, also achsensymmetrisch zur y-Achse: f(-x) = f(x)
  5. e)f(x) = 5x³ - 2x.Nur ungerade Exponenten, also punktsymmetrisch zum Ursprung: f(-x) = -f(x)

5Zeichne

  1. a)Skizziere den Graphen einer Funktion dritten Grades mit zwei Extrempunkten und einer Nullstelle. Begründe, warum das möglich ist.
Eine kubische Funktion kann eine, zwei oder drei Nullstellen haben. Liegen beide Extrempunkte auf derselben Seite der x-Achse, gibt es nur eine Nullstelle.

Der Ablauf

Nullstellen, Extremstellen, Wendestellen — in dieser Reihenfolge. Leite am Anfang dreimal ab, dann hast du alles, was du brauchst.

Extremstellen

Notwendig ist f'(x) = 0. Ob Hoch- oder Tiefpunkt, entscheidet f''(x): negativ heißt Hochpunkt, positiv heißt Tiefpunkt. Ist f''(x) = 0, hilft der Vorzeichenwechsel von f'.

f(x) = x³ - 3xf'(x) = 3x² - 3 = 0 → x = ±1f''(1) = 6 > 0: Tiefpunkt (1 | -2)f''(-1) = -6 < 0: Hochpunkt (-1 | 2)

Wendestellen

Dort ändert der Graph seine Krümmung. Bedingung: f''(x) = 0 und f'''(x) ungleich 0. Die y-Koordinate holst du immer aus f, nicht aus einer Ableitung.

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