a)f(x) = (x² - 16) / (x - 4). Grenzwert für x gegen 4?x² - 16 = (x - 4)(x + 4), kürzen ergibt x + 4, also Grenzwert 8
b)f(x) = (x² - 9) / (x - 3). Grenzwert für x gegen 3?
c)f(x) = (x² - 49) / (x - 7). Grenzwert für x gegen 7?
d)f(x) = (x² - 4) / (x - 2). Grenzwert für x gegen 2?
e)f(x) = (x² - 81) / (x - 9). Grenzwert für x gegen 9?
f)f(x) = (x² - 25) / (x - 5). Grenzwert für x gegen 5?
3Stetigkeit prüfen
a)f(x) = 5x für x < 1 und f(x) = 5x + 1 für x >= 1. Ist f an der Stelle 1 stetig?Linker Grenzwert 5, rechter Grenzwert 6. Die Werte stimmen nicht überein, also unstetig (Sprungstelle).
b)f(x) = 3x für x < 1 und f(x) = 3x + 1 für x >= 1. Ist f an der Stelle 1 stetig?
c)f(x) = 6x für x < 2 und f(x) = 6x + 1 für x >= 2. Ist f an der Stelle 2 stetig?
d)f(x) = 2x für x < 2 und f(x) = 2x + 1 für x >= 2. Ist f an der Stelle 2 stetig?
e)f(x) = 7x für x < 2 und f(x) = 7x + 1 für x >= 2. Ist f an der Stelle 2 stetig?
Das brauchst du
Grenzwert: was macht f(x), wenn x gegen x0 oder unendlich läuft?Bei Brüchen: höchste Potenz ausklammern.stetig heißt: kein Sprung, keine Lücke.
Bei Brüchen die höchste Potenz ausklammern. An Definitionslücken erst faktorisieren, dann kürzen.
a)f(x) = (x² - 16) / (x - 4). Grenzwert für x gegen 4?x² - 16 = (x - 4)(x + 4), kürzen ergibt x + 4, also Grenzwert 8
b)f(x) = (x² - 9) / (x - 3). Grenzwert für x gegen 3?x² - 9 = (x - 3)(x + 3), kürzen ergibt x + 3, also Grenzwert 6
c)f(x) = (x² - 49) / (x - 7). Grenzwert für x gegen 7?x² - 49 = (x - 7)(x + 7), kürzen ergibt x + 7, also Grenzwert 14
d)f(x) = (x² - 4) / (x - 2). Grenzwert für x gegen 2?x² - 4 = (x - 2)(x + 2), kürzen ergibt x + 2, also Grenzwert 4
e)f(x) = (x² - 81) / (x - 9). Grenzwert für x gegen 9?x² - 81 = (x - 9)(x + 9), kürzen ergibt x + 9, also Grenzwert 18
f)f(x) = (x² - 25) / (x - 5). Grenzwert für x gegen 5?x² - 25 = (x - 5)(x + 5), kürzen ergibt x + 5, also Grenzwert 10
3Stetigkeit prüfen
a)f(x) = 5x für x < 1 und f(x) = 5x + 1 für x >= 1. Ist f an der Stelle 1 stetig?Linker Grenzwert 5, rechter Grenzwert 6. Die Werte stimmen nicht überein, also unstetig (Sprungstelle).
b)f(x) = 3x für x < 1 und f(x) = 3x + 1 für x >= 1. Ist f an der Stelle 1 stetig?Linker Grenzwert 3, rechter Grenzwert 4. Die Werte stimmen nicht überein, also unstetig (Sprungstelle).
c)f(x) = 6x für x < 2 und f(x) = 6x + 1 für x >= 2. Ist f an der Stelle 2 stetig?Linker Grenzwert 12, rechter Grenzwert 13. Die Werte stimmen nicht überein, also unstetig (Sprungstelle).
d)f(x) = 2x für x < 2 und f(x) = 2x + 1 für x >= 2. Ist f an der Stelle 2 stetig?Linker Grenzwert 4, rechter Grenzwert 5. Die Werte stimmen nicht überein, also unstetig (Sprungstelle).
e)f(x) = 7x für x < 2 und f(x) = 7x + 1 für x >= 2. Ist f an der Stelle 2 stetig?Linker Grenzwert 14, rechter Grenzwert 15. Die Werte stimmen nicht überein, also unstetig (Sprungstelle).
Das brauchst du
Grenzwert: was macht f(x), wenn x gegen x0 oder unendlich läuft?Bei Brüchen: höchste Potenz ausklammern.stetig heißt: kein Sprung, keine Lücke.
Bei Brüchen die höchste Potenz ausklammern. An Definitionslücken erst faktorisieren, dann kürzen.
a)f(x) = (x² - 81) / (x - 9). Grenzwert für x gegen 9?x² - 81 = (x - 9)(x + 9), kürzen ergibt x + 9, also Grenzwert 18
b)f(x) = (x² - 49) / (x - 7). Grenzwert für x gegen 7?
c)f(x) = (x² - 25) / (x - 5). Grenzwert für x gegen 5?
d)f(x) = (x² - 64) / (x - 8). Grenzwert für x gegen 8?
e)f(x) = (x² - 9) / (x - 3). Grenzwert für x gegen 3?
f)f(x) = (x² - 16) / (x - 4). Grenzwert für x gegen 4?
3Stetigkeit prüfen
a)f(x) = 5x für x < 1 und f(x) = 5x + 1 für x >= 1. Ist f an der Stelle 1 stetig?Linker Grenzwert 5, rechter Grenzwert 6. Die Werte stimmen nicht überein, also unstetig (Sprungstelle).
b)f(x) = 4x für x < 2 und f(x) = 4x + 1 für x >= 2. Ist f an der Stelle 2 stetig?
c)f(x) = 2x für x < 1 und f(x) = 2x + 1 für x >= 1. Ist f an der Stelle 1 stetig?
d)f(x) = 3x für x < 3 und f(x) = 3x + 1 für x >= 3. Ist f an der Stelle 3 stetig?
e)f(x) = 8x für x < 2 und f(x) = 8x + 1 für x >= 2. Ist f an der Stelle 2 stetig?
4Verhalten im Unendlichen
a)Wie verhält sich f(x) = -x^3 für x gegen plus und minus unendlich?Vorfaktor negativ, Grad 3 ist ungerade. Für x gegen +unendlich: -unendlich, für x gegen -unendlich: +unendlich
b)Wie verhält sich f(x) = -2x^3 für x gegen plus und minus unendlich?
c)Wie verhält sich f(x) = 2x^4 für x gegen plus und minus unendlich?
d)Wie verhält sich f(x) = -x^4 für x gegen plus und minus unendlich?
e)Wie verhält sich f(x) = -2x^4 für x gegen plus und minus unendlich?
Das brauchst du
Grenzwert: was macht f(x), wenn x gegen x0 oder unendlich läuft?Bei Brüchen: höchste Potenz ausklammern.stetig heißt: kein Sprung, keine Lücke.
Bei Brüchen die höchste Potenz ausklammern. An Definitionslücken erst faktorisieren, dann kürzen.
a)f(x) = (x² - 81) / (x - 9). Grenzwert für x gegen 9?x² - 81 = (x - 9)(x + 9), kürzen ergibt x + 9, also Grenzwert 18
b)f(x) = (x² - 49) / (x - 7). Grenzwert für x gegen 7?x² - 49 = (x - 7)(x + 7), kürzen ergibt x + 7, also Grenzwert 14
c)f(x) = (x² - 25) / (x - 5). Grenzwert für x gegen 5?x² - 25 = (x - 5)(x + 5), kürzen ergibt x + 5, also Grenzwert 10
d)f(x) = (x² - 64) / (x - 8). Grenzwert für x gegen 8?x² - 64 = (x - 8)(x + 8), kürzen ergibt x + 8, also Grenzwert 16
e)f(x) = (x² - 9) / (x - 3). Grenzwert für x gegen 3?x² - 9 = (x - 3)(x + 3), kürzen ergibt x + 3, also Grenzwert 6
f)f(x) = (x² - 16) / (x - 4). Grenzwert für x gegen 4?x² - 16 = (x - 4)(x + 4), kürzen ergibt x + 4, also Grenzwert 8
3Stetigkeit prüfen
a)f(x) = 5x für x < 1 und f(x) = 5x + 1 für x >= 1. Ist f an der Stelle 1 stetig?Linker Grenzwert 5, rechter Grenzwert 6. Die Werte stimmen nicht überein, also unstetig (Sprungstelle).
b)f(x) = 4x für x < 2 und f(x) = 4x + 1 für x >= 2. Ist f an der Stelle 2 stetig?Linker Grenzwert 8, rechter Grenzwert 9. Die Werte stimmen nicht überein, also unstetig (Sprungstelle).
c)f(x) = 2x für x < 1 und f(x) = 2x + 1 für x >= 1. Ist f an der Stelle 1 stetig?Linker Grenzwert 2, rechter Grenzwert 3. Die Werte stimmen nicht überein, also unstetig (Sprungstelle).
d)f(x) = 3x für x < 3 und f(x) = 3x + 1 für x >= 3. Ist f an der Stelle 3 stetig?Linker Grenzwert 9, rechter Grenzwert 10. Die Werte stimmen nicht überein, also unstetig (Sprungstelle).
e)f(x) = 8x für x < 2 und f(x) = 8x + 1 für x >= 2. Ist f an der Stelle 2 stetig?Linker Grenzwert 16, rechter Grenzwert 17. Die Werte stimmen nicht überein, also unstetig (Sprungstelle).
4Verhalten im Unendlichen
a)Wie verhält sich f(x) = -x^3 für x gegen plus und minus unendlich?Vorfaktor negativ, Grad 3 ist ungerade. Für x gegen +unendlich: -unendlich, für x gegen -unendlich: +unendlich
b)Wie verhält sich f(x) = -2x^3 für x gegen plus und minus unendlich?Vorfaktor negativ, Grad 3 ist ungerade. Für x gegen +unendlich: -unendlich, für x gegen -unendlich: +unendlich
c)Wie verhält sich f(x) = 2x^4 für x gegen plus und minus unendlich?Vorfaktor positiv, Grad 4 ist gerade. Für x gegen +unendlich: +unendlich, für x gegen -unendlich: +unendlich
d)Wie verhält sich f(x) = -x^4 für x gegen plus und minus unendlich?Vorfaktor negativ, Grad 4 ist gerade. Für x gegen +unendlich: -unendlich, für x gegen -unendlich: -unendlich
e)Wie verhält sich f(x) = -2x^4 für x gegen plus und minus unendlich?Vorfaktor negativ, Grad 4 ist gerade. Für x gegen +unendlich: -unendlich, für x gegen -unendlich: -unendlich
Was ein Grenzwert ist
Der Grenzwert beschreibt, welchem Wert sich f(x) nähert, wenn x immer näher an eine Stelle rückt oder immer größer wird. Die Funktion muss den Wert dabei nicht erreichen.
f(x) = 1/xfür x gegen unendlich geht f(x) gegen 0
Brüche im Unendlichen
Klammere im Zähler und im Nenner die höchste Potenz aus. Was übrig bleibt, zeigt dir den Grenzwert: gleicher Grad ergibt den Quotienten der Leitkoeffizienten, höherer Grad im Nenner ergibt 0.
Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn linker Grenzwert, rechter Grenzwert und Funktionswert übereinstimmen. Anschaulich: du kannst den Graphen dort ohne Absetzen zeichnen.