Extremwertaufgaben

Mathematik · Klasse 11 · mittel

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Das brauchst du

Zielgröße aufstellen, Nebenbedingung einsetzen, ableiten, f'(x) = 0 setzen.Am Ende prüfen, ob der Wert im Definitionsbereich liegt.

Erst die Zielgröße als Funktion einer Variablen aufschreiben, dann ableiten und null setzen. Zum Schluss prüfen, ob das Ergebnis im Sachzusammenhang passt.

1Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?

  1. a)Ein Rechteck hat den Umfang 68 m.a + b = 34, A(a) = a(34 - a). A'(a) = 34 - 2a = 0 ergibt a = 17 m. Also ein Quadrat mit 17 m Seitenlänge, A = 289 m².
  2. b)Ein Rechteck hat den Umfang 96 m.
  3. c)Ein Rechteck hat den Umfang 84 m.
  4. d)Ein Rechteck hat den Umfang 80 m.
  5. e)Ein Rechteck hat den Umfang 56 m.

2Wann ist ihr Produkt am größten?

  1. a)Die Summe zweier Zahlen ist 10.x + y = 10, P(x) = x(10 - x). P'(x) = 10 - 2x = 0 ergibt x = 5. Beide Zahlen 5, Produkt 25.
  2. b)Die Summe zweier Zahlen ist 8.
  3. c)Die Summe zweier Zahlen ist 20.
  4. d)Die Summe zweier Zahlen ist 12.
  5. e)Die Summe zweier Zahlen ist 18.

Das brauchst du

Zielgröße aufstellen, Nebenbedingung einsetzen, ableiten, f'(x) = 0 setzen.Am Ende prüfen, ob der Wert im Definitionsbereich liegt.

Erst die Zielgröße als Funktion einer Variablen aufschreiben, dann ableiten und null setzen. Zum Schluss prüfen, ob das Ergebnis im Sachzusammenhang passt.

1Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?

  1. a)Ein Rechteck hat den Umfang 68 m.a + b = 34, A(a) = a(34 - a). A'(a) = 34 - 2a = 0 ergibt a = 17 m. Also ein Quadrat mit 17 m Seitenlänge, A = 289 m².
  2. b)Ein Rechteck hat den Umfang 96 m.a + b = 48, A(a) = a(48 - a). A'(a) = 48 - 2a = 0 ergibt a = 24 m. Also ein Quadrat mit 24 m Seitenlänge, A = 576 m².
  3. c)Ein Rechteck hat den Umfang 84 m.a + b = 42, A(a) = a(42 - a). A'(a) = 42 - 2a = 0 ergibt a = 21 m. Also ein Quadrat mit 21 m Seitenlänge, A = 441 m².
  4. d)Ein Rechteck hat den Umfang 80 m.a + b = 40, A(a) = a(40 - a). A'(a) = 40 - 2a = 0 ergibt a = 20 m. Also ein Quadrat mit 20 m Seitenlänge, A = 400 m².
  5. e)Ein Rechteck hat den Umfang 56 m.a + b = 28, A(a) = a(28 - a). A'(a) = 28 - 2a = 0 ergibt a = 14 m. Also ein Quadrat mit 14 m Seitenlänge, A = 196 m².

2Wann ist ihr Produkt am größten?

  1. a)Die Summe zweier Zahlen ist 10.x + y = 10, P(x) = x(10 - x). P'(x) = 10 - 2x = 0 ergibt x = 5. Beide Zahlen 5, Produkt 25.
  2. b)Die Summe zweier Zahlen ist 8.x + y = 8, P(x) = x(8 - x). P'(x) = 8 - 2x = 0 ergibt x = 4. Beide Zahlen 4, Produkt 16.
  3. c)Die Summe zweier Zahlen ist 20.x + y = 20, P(x) = x(20 - x). P'(x) = 20 - 2x = 0 ergibt x = 10. Beide Zahlen 10, Produkt 100.
  4. d)Die Summe zweier Zahlen ist 12.x + y = 12, P(x) = x(12 - x). P'(x) = 12 - 2x = 0 ergibt x = 6. Beide Zahlen 6, Produkt 36.
  5. e)Die Summe zweier Zahlen ist 18.x + y = 18, P(x) = x(18 - x). P'(x) = 18 - 2x = 0 ergibt x = 9. Beide Zahlen 9, Produkt 81.

Das brauchst du

Zielgröße aufstellen, Nebenbedingung einsetzen, ableiten, f'(x) = 0 setzen.Am Ende prüfen, ob der Wert im Definitionsbereich liegt.

Erst die Zielgröße als Funktion einer Variablen aufschreiben, dann ableiten und null setzen. Zum Schluss prüfen, ob das Ergebnis im Sachzusammenhang passt.

1Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?

  1. a)Ein Rechteck hat den Umfang 44 m.a + b = 22, A(a) = a(22 - a). A'(a) = 22 - 2a = 0 ergibt a = 11 m. Also ein Quadrat mit 11 m Seitenlänge, A = 121 m².
  2. b)Ein Rechteck hat den Umfang 60 m.
  3. c)Ein Rechteck hat den Umfang 80 m.
  4. d)Ein Rechteck hat den Umfang 20 m.
  5. e)Ein Rechteck hat den Umfang 72 m.

2Wann ist ihr Produkt am größten?

  1. a)Die Summe zweier Zahlen ist 16.x + y = 16, P(x) = x(16 - x). P'(x) = 16 - 2x = 0 ergibt x = 8. Beide Zahlen 8, Produkt 64.
  2. b)Die Summe zweier Zahlen ist 22.
  3. c)Die Summe zweier Zahlen ist 8.
  4. d)Die Summe zweier Zahlen ist 14.
  5. e)Die Summe zweier Zahlen ist 24.

3Schachtel falten

  1. a)Aus einem quadratischen Blech mit 16 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.V(x) = x(16 - 2x)², sinnvoll für 0 < x < 8. V'(x) = (16 - 2x)(16 - 6x), also x = 2,67 cm.
  2. b)Aus einem quadratischen Blech mit 22 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.
  3. c)Aus einem quadratischen Blech mit 28 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.
  4. d)Aus einem quadratischen Blech mit 14 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.

Das brauchst du

Zielgröße aufstellen, Nebenbedingung einsetzen, ableiten, f'(x) = 0 setzen.Am Ende prüfen, ob der Wert im Definitionsbereich liegt.

Erst die Zielgröße als Funktion einer Variablen aufschreiben, dann ableiten und null setzen. Zum Schluss prüfen, ob das Ergebnis im Sachzusammenhang passt.

1Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?

  1. a)Ein Rechteck hat den Umfang 44 m.a + b = 22, A(a) = a(22 - a). A'(a) = 22 - 2a = 0 ergibt a = 11 m. Also ein Quadrat mit 11 m Seitenlänge, A = 121 m².
  2. b)Ein Rechteck hat den Umfang 60 m.a + b = 30, A(a) = a(30 - a). A'(a) = 30 - 2a = 0 ergibt a = 15 m. Also ein Quadrat mit 15 m Seitenlänge, A = 225 m².
  3. c)Ein Rechteck hat den Umfang 80 m.a + b = 40, A(a) = a(40 - a). A'(a) = 40 - 2a = 0 ergibt a = 20 m. Also ein Quadrat mit 20 m Seitenlänge, A = 400 m².
  4. d)Ein Rechteck hat den Umfang 20 m.a + b = 10, A(a) = a(10 - a). A'(a) = 10 - 2a = 0 ergibt a = 5 m. Also ein Quadrat mit 5 m Seitenlänge, A = 25 m².
  5. e)Ein Rechteck hat den Umfang 72 m.a + b = 36, A(a) = a(36 - a). A'(a) = 36 - 2a = 0 ergibt a = 18 m. Also ein Quadrat mit 18 m Seitenlänge, A = 324 m².

2Wann ist ihr Produkt am größten?

  1. a)Die Summe zweier Zahlen ist 16.x + y = 16, P(x) = x(16 - x). P'(x) = 16 - 2x = 0 ergibt x = 8. Beide Zahlen 8, Produkt 64.
  2. b)Die Summe zweier Zahlen ist 22.x + y = 22, P(x) = x(22 - x). P'(x) = 22 - 2x = 0 ergibt x = 11. Beide Zahlen 11, Produkt 121.
  3. c)Die Summe zweier Zahlen ist 8.x + y = 8, P(x) = x(8 - x). P'(x) = 8 - 2x = 0 ergibt x = 4. Beide Zahlen 4, Produkt 16.
  4. d)Die Summe zweier Zahlen ist 14.x + y = 14, P(x) = x(14 - x). P'(x) = 14 - 2x = 0 ergibt x = 7. Beide Zahlen 7, Produkt 49.
  5. e)Die Summe zweier Zahlen ist 24.x + y = 24, P(x) = x(24 - x). P'(x) = 24 - 2x = 0 ergibt x = 12. Beide Zahlen 12, Produkt 144.

3Schachtel falten

  1. a)Aus einem quadratischen Blech mit 16 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.V(x) = x(16 - 2x)², sinnvoll für 0 < x < 8. V'(x) = (16 - 2x)(16 - 6x), also x = 2,67 cm.
  2. b)Aus einem quadratischen Blech mit 22 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.V(x) = x(22 - 2x)², sinnvoll für 0 < x < 11. V'(x) = (22 - 2x)(22 - 6x), also x = 3,67 cm.
  3. c)Aus einem quadratischen Blech mit 28 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.V(x) = x(28 - 2x)², sinnvoll für 0 < x < 14. V'(x) = (28 - 2x)(28 - 6x), also x = 4,67 cm.
  4. d)Aus einem quadratischen Blech mit 14 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.V(x) = x(14 - 2x)², sinnvoll für 0 < x < 7. V'(x) = (14 - 2x)(14 - 6x), also x = 2,33 cm.

Das brauchst du

Zielgröße aufstellen, Nebenbedingung einsetzen, ableiten, f'(x) = 0 setzen.Am Ende prüfen, ob der Wert im Definitionsbereich liegt.

Erst die Zielgröße als Funktion einer Variablen aufschreiben, dann ableiten und null setzen. Zum Schluss prüfen, ob das Ergebnis im Sachzusammenhang passt.

1Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?

  1. a)Ein Rechteck hat den Umfang 56 m.a + b = 28, A(a) = a(28 - a). A'(a) = 28 - 2a = 0 ergibt a = 14 m. Also ein Quadrat mit 14 m Seitenlänge, A = 196 m².
  2. b)Ein Rechteck hat den Umfang 104 m.
  3. c)Ein Rechteck hat den Umfang 92 m.
  4. d)Ein Rechteck hat den Umfang 112 m.
  5. e)Ein Rechteck hat den Umfang 116 m.

2Wann ist ihr Produkt am größten?

  1. a)Die Summe zweier Zahlen ist 10.x + y = 10, P(x) = x(10 - x). P'(x) = 10 - 2x = 0 ergibt x = 5. Beide Zahlen 5, Produkt 25.
  2. b)Die Summe zweier Zahlen ist 12.
  3. c)Die Summe zweier Zahlen ist 14.
  4. d)Die Summe zweier Zahlen ist 24.
  5. e)Die Summe zweier Zahlen ist 22.

3Schachtel falten

  1. a)Aus einem quadratischen Blech mit 14 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.V(x) = x(14 - 2x)², sinnvoll für 0 < x < 7. V'(x) = (14 - 2x)(14 - 6x), also x = 2,33 cm.
  2. b)Aus einem quadratischen Blech mit 28 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.
  3. c)Aus einem quadratischen Blech mit 20 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.
  4. d)Aus einem quadratischen Blech mit 16 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.

4Größter Flächeninhalt?

  1. a)Ein Rechteck liegt mit der Grundseite auf der x-Achse, die oberen Ecken auf f(x) = 25 - x².A(x) = 2x(25 - x²) = 50x - 2x³. A'(x) = 50 - 6x² = 0 ergibt x = 2,887. A = 96,23.
  2. b)Ein Rechteck liegt mit der Grundseite auf der x-Achse, die oberen Ecken auf f(x) = 9 - x².
  3. c)Ein Rechteck liegt mit der Grundseite auf der x-Achse, die oberen Ecken auf f(x) = 4 - x².
  4. d)Ein Rechteck liegt mit der Grundseite auf der x-Achse, die oberen Ecken auf f(x) = 36 - x².

5Knobelaufgabe

Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.

  1. a)Eine Dose soll 1 Liter fassen und möglichst wenig Blech verbrauchen. Stelle die Zielfunktion auf und erkläre, warum Hersteller trotzdem oft andere Formen wählen.

Das brauchst du

Zielgröße aufstellen, Nebenbedingung einsetzen, ableiten, f'(x) = 0 setzen.Am Ende prüfen, ob der Wert im Definitionsbereich liegt.

Erst die Zielgröße als Funktion einer Variablen aufschreiben, dann ableiten und null setzen. Zum Schluss prüfen, ob das Ergebnis im Sachzusammenhang passt.

1Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?

  1. a)Ein Rechteck hat den Umfang 56 m.a + b = 28, A(a) = a(28 - a). A'(a) = 28 - 2a = 0 ergibt a = 14 m. Also ein Quadrat mit 14 m Seitenlänge, A = 196 m².
  2. b)Ein Rechteck hat den Umfang 104 m.a + b = 52, A(a) = a(52 - a). A'(a) = 52 - 2a = 0 ergibt a = 26 m. Also ein Quadrat mit 26 m Seitenlänge, A = 676 m².
  3. c)Ein Rechteck hat den Umfang 92 m.a + b = 46, A(a) = a(46 - a). A'(a) = 46 - 2a = 0 ergibt a = 23 m. Also ein Quadrat mit 23 m Seitenlänge, A = 529 m².
  4. d)Ein Rechteck hat den Umfang 112 m.a + b = 56, A(a) = a(56 - a). A'(a) = 56 - 2a = 0 ergibt a = 28 m. Also ein Quadrat mit 28 m Seitenlänge, A = 784 m².
  5. e)Ein Rechteck hat den Umfang 116 m.a + b = 58, A(a) = a(58 - a). A'(a) = 58 - 2a = 0 ergibt a = 29 m. Also ein Quadrat mit 29 m Seitenlänge, A = 841 m².

2Wann ist ihr Produkt am größten?

  1. a)Die Summe zweier Zahlen ist 10.x + y = 10, P(x) = x(10 - x). P'(x) = 10 - 2x = 0 ergibt x = 5. Beide Zahlen 5, Produkt 25.
  2. b)Die Summe zweier Zahlen ist 12.x + y = 12, P(x) = x(12 - x). P'(x) = 12 - 2x = 0 ergibt x = 6. Beide Zahlen 6, Produkt 36.
  3. c)Die Summe zweier Zahlen ist 14.x + y = 14, P(x) = x(14 - x). P'(x) = 14 - 2x = 0 ergibt x = 7. Beide Zahlen 7, Produkt 49.
  4. d)Die Summe zweier Zahlen ist 24.x + y = 24, P(x) = x(24 - x). P'(x) = 24 - 2x = 0 ergibt x = 12. Beide Zahlen 12, Produkt 144.
  5. e)Die Summe zweier Zahlen ist 22.x + y = 22, P(x) = x(22 - x). P'(x) = 22 - 2x = 0 ergibt x = 11. Beide Zahlen 11, Produkt 121.

3Schachtel falten

  1. a)Aus einem quadratischen Blech mit 14 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.V(x) = x(14 - 2x)², sinnvoll für 0 < x < 7. V'(x) = (14 - 2x)(14 - 6x), also x = 2,33 cm.
  2. b)Aus einem quadratischen Blech mit 28 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.V(x) = x(28 - 2x)², sinnvoll für 0 < x < 14. V'(x) = (28 - 2x)(28 - 6x), also x = 4,67 cm.
  3. c)Aus einem quadratischen Blech mit 20 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.V(x) = x(20 - 2x)², sinnvoll für 0 < x < 10. V'(x) = (20 - 2x)(20 - 6x), also x = 3,33 cm.
  4. d)Aus einem quadratischen Blech mit 16 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.V(x) = x(16 - 2x)², sinnvoll für 0 < x < 8. V'(x) = (16 - 2x)(16 - 6x), also x = 2,67 cm.

4Größter Flächeninhalt?

  1. a)Ein Rechteck liegt mit der Grundseite auf der x-Achse, die oberen Ecken auf f(x) = 25 - x².A(x) = 2x(25 - x²) = 50x - 2x³. A'(x) = 50 - 6x² = 0 ergibt x = 2,887. A = 96,23.
  2. b)Ein Rechteck liegt mit der Grundseite auf der x-Achse, die oberen Ecken auf f(x) = 9 - x².A(x) = 2x(9 - x²) = 18x - 2x³. A'(x) = 18 - 6x² = 0 ergibt x = 1,732. A = 20,78.
  3. c)Ein Rechteck liegt mit der Grundseite auf der x-Achse, die oberen Ecken auf f(x) = 4 - x².A(x) = 2x(4 - x²) = 8x - 2x³. A'(x) = 8 - 6x² = 0 ergibt x = 1,155. A = 6,16.
  4. d)Ein Rechteck liegt mit der Grundseite auf der x-Achse, die oberen Ecken auf f(x) = 36 - x².A(x) = 2x(36 - x²) = 72x - 2x³. A'(x) = 72 - 6x² = 0 ergibt x = 3,464. A = 166,28.

5Knobelaufgabe

Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.

  1. a)Eine Dose soll 1 Liter fassen und möglichst wenig Blech verbrauchen. Stelle die Zielfunktion auf und erkläre, warum Hersteller trotzdem oft andere Formen wählen.O(r) = 2pi r² + 2000/r, Minimum bei r = 5,42 cm und h = 10,84 cm, also h = 2r. In der Praxis zählen auch Regalhöhe, Griffigkeit und Bedruckung.

Das Muster

Erstens: Was soll maximal oder minimal werden? Das ist die Zielfunktion. Zweitens: Welche Bedingung verknüpft die Größen? Das ist die Nebenbedingung. Mit ihr bringst du die Zielfunktion auf eine einzige Variable.

Ein Beispiel

Ein Rechteck mit Umfang 40 cm soll möglichst viel Fläche haben.

Ziel: A = a · bNeben: 2a + 2b = 40 → b = 20 - aA(a) = a · (20 - a) = 20a - a²A'(a) = 20 - 2a = 0 → a = 10Quadrat mit 10 cm, A = 100 cm²

Randwerte prüfen

Das Maximum kann auch am Rand des erlaubten Bereichs liegen. Prüfe deshalb, welche Werte die Variable überhaupt annehmen darf, und vergleiche die Ränder mit deinem Extremwert.

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