Sinussatz und Kosinussatz

Mathematik · Klasse 10 · mittel

MSA-Vorbereitung
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Das brauchst du

Sinussatz: a/sin α = b/sin β = c/sin γKosinussatz: a² = b² + c² - 2bc · cos αFläche: A = 1/2 · a · b · sin γ

Sinussatz: a : sin α = b : sin β = c : sin γ. Kosinussatz: c² = a² + b² - 2ab · cos γ.

1Sinussatz

  1. a)α = 70°, β = 65°, a = 20 cm.b = a · sin β : sin α = 20 · sin 65° : sin 70° = 19,29 cm
  2. b)α = 40°, β = 75°, a = 14 cm.
  3. c)α = 40°, β = 75°, a = 8 cm.
  4. d)α = 30°, β = 45°, a = 9 cm.
  5. e)α = 60°, β = 35°, a = 7 cm.

2Kosinussatz: Seite

  1. a)a = 7 cm, b = 4 cm, γ = 120°. c =c² = 7² + 4² - 2 · 7 · 4 · cos 120° = 93,00 → c = 9,64 cm
  2. b)a = 8 cm, b = 13 cm, γ = 70°. c =
  3. c)a = 4 cm, b = 5 cm, γ = 70°. c =
  4. d)a = 11 cm, b = 10 cm, γ = 80°. c =
  5. e)a = 8 cm, b = 4 cm, γ = 120°. c =

Das brauchst du

Sinussatz: a/sin α = b/sin β = c/sin γKosinussatz: a² = b² + c² - 2bc · cos αFläche: A = 1/2 · a · b · sin γ

Sinussatz: a : sin α = b : sin β = c : sin γ. Kosinussatz: c² = a² + b² - 2ab · cos γ.

1Sinussatz

  1. a)α = 70°, β = 65°, a = 20 cm.b = a · sin β : sin α = 20 · sin 65° : sin 70° = 19,29 cm
  2. b)α = 40°, β = 75°, a = 14 cm.b = a · sin β : sin α = 14 · sin 75° : sin 40° = 21,04 cm
  3. c)α = 40°, β = 75°, a = 8 cm.b = a · sin β : sin α = 8 · sin 75° : sin 40° = 12,02 cm
  4. d)α = 30°, β = 45°, a = 9 cm.b = a · sin β : sin α = 9 · sin 45° : sin 30° = 12,73 cm
  5. e)α = 60°, β = 35°, a = 7 cm.b = a · sin β : sin α = 7 · sin 35° : sin 60° = 4,64 cm

2Kosinussatz: Seite

  1. a)a = 7 cm, b = 4 cm, γ = 120°. c =c² = 7² + 4² - 2 · 7 · 4 · cos 120° = 93,00 → c = 9,64 cm
  2. b)a = 8 cm, b = 13 cm, γ = 70°. c =c² = 8² + 13² - 2 · 8 · 13 · cos 70° = 161,86 → c = 12,72 cm
  3. c)a = 4 cm, b = 5 cm, γ = 70°. c =c² = 4² + 5² - 2 · 4 · 5 · cos 70° = 27,32 → c = 5,23 cm
  4. d)a = 11 cm, b = 10 cm, γ = 80°. c =c² = 11² + 10² - 2 · 11 · 10 · cos 80° = 182,80 → c = 13,52 cm
  5. e)a = 8 cm, b = 4 cm, γ = 120°. c =c² = 8² + 4² - 2 · 8 · 4 · cos 120° = 112,00 → c = 10,58 cm

Das brauchst du

Sinussatz: a/sin α = b/sin β = c/sin γKosinussatz: a² = b² + c² - 2bc · cos αFläche: A = 1/2 · a · b · sin γ

Sinussatz: a : sin α = b : sin β = c : sin γ. Kosinussatz: c² = a² + b² - 2ab · cos γ.

1Sinussatz

  1. a)α = 50°, β = 65°, a = 17 cm.b = a · sin β : sin α = 17 · sin 65° : sin 50° = 20,11 cm
  2. b)α = 70°, β = 65°, a = 7 cm.
  3. c)α = 40°, β = 55°, a = 17 cm.
  4. d)α = 70°, β = 55°, a = 15 cm.
  5. e)α = 30°, β = 45°, a = 15 cm.

2Kosinussatz: Seite

  1. a)a = 4 cm, b = 4 cm, γ = 60°. c =c² = 4² + 4² - 2 · 4 · 4 · cos 60° = 16,00 → c = 4,00 cm
  2. b)a = 6 cm, b = 9 cm, γ = 100°. c =
  3. c)a = 11 cm, b = 10 cm, γ = 60°. c =
  4. d)a = 7 cm, b = 4 cm, γ = 70°. c =
  5. e)a = 15 cm, b = 15 cm, γ = 60°. c =

3Kosinussatz: Winkel

  1. a)a = 7 cm, b = 4 cm, c = 7 cm. γ =cos γ = (a² + b² - c²) : (2ab) = 0,286 → γ = 73,4°
  2. b)a = 7 cm, b = 10 cm, c = 8 cm. γ =
  3. c)a = 8 cm, b = 9 cm, c = 8 cm. γ =
  4. d)a = 8 cm, b = 8 cm, c = 2 cm. γ =
  5. e)a = 6 cm, b = 12 cm, c = 8 cm. γ =

Das brauchst du

Sinussatz: a/sin α = b/sin β = c/sin γKosinussatz: a² = b² + c² - 2bc · cos αFläche: A = 1/2 · a · b · sin γ

Sinussatz: a : sin α = b : sin β = c : sin γ. Kosinussatz: c² = a² + b² - 2ab · cos γ.

1Sinussatz

  1. a)α = 50°, β = 65°, a = 17 cm.b = a · sin β : sin α = 17 · sin 65° : sin 50° = 20,11 cm
  2. b)α = 70°, β = 65°, a = 7 cm.b = a · sin β : sin α = 7 · sin 65° : sin 70° = 6,75 cm
  3. c)α = 40°, β = 55°, a = 17 cm.b = a · sin β : sin α = 17 · sin 55° : sin 40° = 21,66 cm
  4. d)α = 70°, β = 55°, a = 15 cm.b = a · sin β : sin α = 15 · sin 55° : sin 70° = 13,08 cm
  5. e)α = 30°, β = 45°, a = 15 cm.b = a · sin β : sin α = 15 · sin 45° : sin 30° = 21,21 cm

2Kosinussatz: Seite

  1. a)a = 4 cm, b = 4 cm, γ = 60°. c =c² = 4² + 4² - 2 · 4 · 4 · cos 60° = 16,00 → c = 4,00 cm
  2. b)a = 6 cm, b = 9 cm, γ = 100°. c =c² = 6² + 9² - 2 · 6 · 9 · cos 100° = 135,75 → c = 11,65 cm
  3. c)a = 11 cm, b = 10 cm, γ = 60°. c =c² = 11² + 10² - 2 · 11 · 10 · cos 60° = 111,00 → c = 10,54 cm
  4. d)a = 7 cm, b = 4 cm, γ = 70°. c =c² = 7² + 4² - 2 · 7 · 4 · cos 70° = 45,85 → c = 6,77 cm
  5. e)a = 15 cm, b = 15 cm, γ = 60°. c =c² = 15² + 15² - 2 · 15 · 15 · cos 60° = 225,00 → c = 15,00 cm

3Kosinussatz: Winkel

  1. a)a = 7 cm, b = 4 cm, c = 7 cm. γ =cos γ = (a² + b² - c²) : (2ab) = 0,286 → γ = 73,4°
  2. b)a = 7 cm, b = 10 cm, c = 8 cm. γ =cos γ = (a² + b² - c²) : (2ab) = 0,607 → γ = 52,6°
  3. c)a = 8 cm, b = 9 cm, c = 8 cm. γ =cos γ = (a² + b² - c²) : (2ab) = 0,563 → γ = 55,8°
  4. d)a = 8 cm, b = 8 cm, c = 2 cm. γ =cos γ = (a² + b² - c²) : (2ab) = 0,969 → γ = 14,4°
  5. e)a = 6 cm, b = 12 cm, c = 8 cm. γ =cos γ = (a² + b² - c²) : (2ab) = 0,806 → γ = 36,3°

Das brauchst du

Sinussatz: a/sin α = b/sin β = c/sin γKosinussatz: a² = b² + c² - 2bc · cos αFläche: A = 1/2 · a · b · sin γ

Sinussatz: a : sin α = b : sin β = c : sin γ. Kosinussatz: c² = a² + b² - 2ab · cos γ.

1Sinussatz

  1. a)α = 60°, β = 55°, a = 6 cm.b = a · sin β : sin α = 6 · sin 55° : sin 60° = 5,68 cm
  2. b)α = 40°, β = 75°, a = 5 cm.
  3. c)α = 60°, β = 65°, a = 15 cm.
  4. d)α = 50°, β = 45°, a = 9 cm.
  5. e)α = 60°, β = 45°, a = 7 cm.

2Kosinussatz: Seite

  1. a)a = 15 cm, b = 11 cm, γ = 60°. c =c² = 15² + 11² - 2 · 15 · 11 · cos 60° = 181,00 → c = 13,45 cm
  2. b)a = 11 cm, b = 14 cm, γ = 100°. c =
  3. c)a = 15 cm, b = 10 cm, γ = 80°. c =
  4. d)a = 13 cm, b = 5 cm, γ = 50°. c =
  5. e)a = 15 cm, b = 12 cm, γ = 80°. c =

3Kosinussatz: Winkel

  1. a)a = 8 cm, b = 8 cm, c = 2 cm. γ =cos γ = (a² + b² - c²) : (2ab) = 0,969 → γ = 14,4°
  2. b)a = 9 cm, b = 6 cm, c = 8 cm. γ =
  3. c)a = 7 cm, b = 6 cm, c = 2 cm. γ =
  4. d)a = 4 cm, b = 12 cm, c = 11 cm. γ =
  5. e)a = 9 cm, b = 7 cm, c = 4 cm. γ =

4Dreieck vollständig berechnen

  1. a)α = 45°, β = 60°, c = 11 cm. Berechne γ, a und b.γ = 180° - 45° - 60° = 75°, a = c · sin α : sin γ = 8,05 cm, b = c · sin β : sin γ = 9,86 cm
  2. b)α = 55°, β = 70°, c = 18 cm. Berechne γ, a und b.
  3. c)α = 55°, β = 70°, c = 20 cm. Berechne γ, a und b.

5Knobelaufgabe

Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.

  1. a)Zwei Wanderwege gehen von einem Punkt im Winkel von 65° auseinander, einer 4 km lang, der andere 6 km. Wie weit sind die Endpunkte voneinander entfernt?

Das brauchst du

Sinussatz: a/sin α = b/sin β = c/sin γKosinussatz: a² = b² + c² - 2bc · cos αFläche: A = 1/2 · a · b · sin γ

Sinussatz: a : sin α = b : sin β = c : sin γ. Kosinussatz: c² = a² + b² - 2ab · cos γ.

1Sinussatz

  1. a)α = 60°, β = 55°, a = 6 cm.b = a · sin β : sin α = 6 · sin 55° : sin 60° = 5,68 cm
  2. b)α = 40°, β = 75°, a = 5 cm.b = a · sin β : sin α = 5 · sin 75° : sin 40° = 7,51 cm
  3. c)α = 60°, β = 65°, a = 15 cm.b = a · sin β : sin α = 15 · sin 65° : sin 60° = 15,70 cm
  4. d)α = 50°, β = 45°, a = 9 cm.b = a · sin β : sin α = 9 · sin 45° : sin 50° = 8,31 cm
  5. e)α = 60°, β = 45°, a = 7 cm.b = a · sin β : sin α = 7 · sin 45° : sin 60° = 5,72 cm

2Kosinussatz: Seite

  1. a)a = 15 cm, b = 11 cm, γ = 60°. c =c² = 15² + 11² - 2 · 15 · 11 · cos 60° = 181,00 → c = 13,45 cm
  2. b)a = 11 cm, b = 14 cm, γ = 100°. c =c² = 11² + 14² - 2 · 11 · 14 · cos 100° = 370,48 → c = 19,25 cm
  3. c)a = 15 cm, b = 10 cm, γ = 80°. c =c² = 15² + 10² - 2 · 15 · 10 · cos 80° = 272,91 → c = 16,52 cm
  4. d)a = 13 cm, b = 5 cm, γ = 50°. c =c² = 13² + 5² - 2 · 13 · 5 · cos 50° = 110,44 → c = 10,51 cm
  5. e)a = 15 cm, b = 12 cm, γ = 80°. c =c² = 15² + 12² - 2 · 15 · 12 · cos 80° = 306,49 → c = 17,51 cm

3Kosinussatz: Winkel

  1. a)a = 8 cm, b = 8 cm, c = 2 cm. γ =cos γ = (a² + b² - c²) : (2ab) = 0,969 → γ = 14,4°
  2. b)a = 9 cm, b = 6 cm, c = 8 cm. γ =cos γ = (a² + b² - c²) : (2ab) = 0,491 → γ = 60,6°
  3. c)a = 7 cm, b = 6 cm, c = 2 cm. γ =cos γ = (a² + b² - c²) : (2ab) = 0,964 → γ = 15,4°
  4. d)a = 4 cm, b = 12 cm, c = 11 cm. γ =cos γ = (a² + b² - c²) : (2ab) = 0,406 → γ = 66,0°
  5. e)a = 9 cm, b = 7 cm, c = 4 cm. γ =cos γ = (a² + b² - c²) : (2ab) = 0,905 → γ = 25,2°

4Dreieck vollständig berechnen

  1. a)α = 45°, β = 60°, c = 11 cm. Berechne γ, a und b.γ = 180° - 45° - 60° = 75°, a = c · sin α : sin γ = 8,05 cm, b = c · sin β : sin γ = 9,86 cm
  2. b)α = 55°, β = 70°, c = 18 cm. Berechne γ, a und b.γ = 180° - 55° - 70° = 55°, a = c · sin α : sin γ = 18,00 cm, b = c · sin β : sin γ = 20,65 cm
  3. c)α = 55°, β = 70°, c = 20 cm. Berechne γ, a und b.γ = 180° - 55° - 70° = 55°, a = c · sin α : sin γ = 20,00 cm, b = c · sin β : sin γ = 22,94 cm

5Knobelaufgabe

Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.

  1. a)Zwei Wanderwege gehen von einem Punkt im Winkel von 65° auseinander, einer 4 km lang, der andere 6 km. Wie weit sind die Endpunkte voneinander entfernt?Kosinussatz: c² = 16 + 36 - 2 · 4 · 6 · cos(65°) = 31,7, also c = 5,63 km.

Wenn kein rechter Winkel da ist

Sinus- und Kosinussatz gelten in jedem Dreieck. Damit kommst du an Seiten und Winkel, für die Pythagoras nicht reicht.

Sinussatz: a/sin α = b/sin β = c/sin γKosinussatz: a² = b² + c² - 2bc · cos α

Welchen Satz wann

Sinussatz, wenn eine Seite und ihr gegenüberliegender Winkel bekannt sind. Kosinussatz, wenn drei Seiten gegeben sind oder zwei Seiten und der Winkel dazwischen.

Fläche ohne Höhe

Sind zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt, brauchst du keine Höhe: A = 1/2 · a · b · sin γ.

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