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Mathematik · Klasse 9 · mittel
MSA-Vorbereitung
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Das brauchst du Baumdiagramm: entlang eines Pfades multiplizieren. Verschiedene Pfade zum selben Ergebnis addieren. P(nicht A) = 1 - P(A)
Pfadregel: entlang eines Pfades multiplizieren, mehrere Pfade addieren. Ohne Zurücklegen ändert sich die Anzahl in der Urne.
1 Zweimal würfelna) P(beide Male eine 5) = P = 1/6 · 1/6 = 1/36 b) P(beide Male eine 6) = c) P(beide Male eine 3) = d) P(beide Male eine 4) = e) P(beide Male eine 2) = 2 Ohne Zurücklegena) Urne mit 6 roten und 4 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = P = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 33,3 % b) Urne mit 4 roten und 5 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = c) Urne mit 2 roten und 4 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = d) Urne mit 6 roten und 2 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = e) Urne mit 4 roten und 3 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = f) Urne mit 4 roten und 4 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) =
Das brauchst du Baumdiagramm: entlang eines Pfades multiplizieren. Verschiedene Pfade zum selben Ergebnis addieren. P(nicht A) = 1 - P(A)
Pfadregel: entlang eines Pfades multiplizieren, mehrere Pfade addieren. Ohne Zurücklegen ändert sich die Anzahl in der Urne.
1 Zweimal würfelna) P(beide Male eine 5) = P = 1/6 · 1/6 = 1/36 b) P(beide Male eine 6) = P = 1/6 · 1/6 = 1/36 c) P(beide Male eine 3) = P = 1/6 · 1/6 = 1/36 d) P(beide Male eine 4) = P = 1/6 · 1/6 = 1/36 e) P(beide Male eine 2) = P = 1/6 · 1/6 = 1/36 2 Ohne Zurücklegena) Urne mit 6 roten und 4 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = P = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 33,3 % b) Urne mit 4 roten und 5 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = P = 4/9 · 3/8 = 12/72 = 16,7 % c) Urne mit 2 roten und 4 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = P = 2/6 · 1/5 = 2/30 = 6,7 % d) Urne mit 6 roten und 2 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = P = 6/8 · 5/7 = 30/56 = 53,6 % e) Urne mit 4 roten und 3 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = P = 4/7 · 3/6 = 12/42 = 28,6 % f) Urne mit 4 roten und 4 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = P = 4/8 · 3/7 = 12/56 = 21,4 %
Das brauchst du Baumdiagramm: entlang eines Pfades multiplizieren. Verschiedene Pfade zum selben Ergebnis addieren. P(nicht A) = 1 - P(A)
Pfadregel: entlang eines Pfades multiplizieren, mehrere Pfade addieren. Ohne Zurücklegen ändert sich die Anzahl in der Urne.
1 Zweimal würfelna) P(beide Male eine 5) = P = 1/6 · 1/6 = 1/36 b) P(beide Male eine 2) = c) P(beide Male eine 6) = d) P(beide Male eine 3) = e) P(beide Male eine 4) = 2 Ohne Zurücklegena) Urne mit 4 roten und 6 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = P = 4/10 · 3/9 = 12/90 = 13,3 % b) Urne mit 4 roten und 5 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = c) Urne mit 3 roten und 2 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = d) Urne mit 3 roten und 5 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = e) Urne mit 5 roten und 5 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = f) Urne mit 6 roten und 5 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = 3 Gegenereignisa) Eine Münze 2-mal werfen. P(mindestens einmal Kopf) = P = 1 - P(nie Kopf) = 1 - (1/2)^2 = 1 - 1/4 = 3/4 b) Eine Münze 4-mal werfen. P(mindestens einmal Kopf) = c) Eine Münze 3-mal werfen. P(mindestens einmal Kopf) =
Das brauchst du Baumdiagramm: entlang eines Pfades multiplizieren. Verschiedene Pfade zum selben Ergebnis addieren. P(nicht A) = 1 - P(A)
Pfadregel: entlang eines Pfades multiplizieren, mehrere Pfade addieren. Ohne Zurücklegen ändert sich die Anzahl in der Urne.
1 Zweimal würfelna) P(beide Male eine 5) = P = 1/6 · 1/6 = 1/36 b) P(beide Male eine 2) = P = 1/6 · 1/6 = 1/36 c) P(beide Male eine 6) = P = 1/6 · 1/6 = 1/36 d) P(beide Male eine 3) = P = 1/6 · 1/6 = 1/36 e) P(beide Male eine 4) = P = 1/6 · 1/6 = 1/36 2 Ohne Zurücklegena) Urne mit 4 roten und 6 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = P = 4/10 · 3/9 = 12/90 = 13,3 % b) Urne mit 4 roten und 5 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = P = 4/9 · 3/8 = 12/72 = 16,7 % c) Urne mit 3 roten und 2 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = P = 3/5 · 2/4 = 6/20 = 30,0 % d) Urne mit 3 roten und 5 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = P = 3/8 · 2/7 = 6/56 = 10,7 % e) Urne mit 5 roten und 5 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = P = 5/10 · 4/9 = 20/90 = 22,2 % f) Urne mit 6 roten und 5 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = P = 6/11 · 5/10 = 30/110 = 27,3 % 3 Gegenereignisa) Eine Münze 2-mal werfen. P(mindestens einmal Kopf) = P = 1 - P(nie Kopf) = 1 - (1/2)^2 = 1 - 1/4 = 3/4 b) Eine Münze 4-mal werfen. P(mindestens einmal Kopf) = P = 1 - P(nie Kopf) = 1 - (1/2)^4 = 1 - 1/16 = 15/16 c) Eine Münze 3-mal werfen. P(mindestens einmal Kopf) = P = 1 - P(nie Kopf) = 1 - (1/2)^3 = 1 - 1/8 = 7/8
Das brauchst du Baumdiagramm: entlang eines Pfades multiplizieren. Verschiedene Pfade zum selben Ergebnis addieren. P(nicht A) = 1 - P(A)
Pfadregel: entlang eines Pfades multiplizieren, mehrere Pfade addieren. Ohne Zurücklegen ändert sich die Anzahl in der Urne.
1 Zweimal würfelna) P(beide Male eine 6) = P = 1/6 · 1/6 = 1/36 b) P(beide Male eine 4) = c) P(beide Male eine 2) = d) P(beide Male eine 3) = e) P(beide Male eine 5) = 2 Ohne Zurücklegena) Urne mit 2 roten und 2 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = P = 2/4 · 1/3 = 2/12 = 16,7 % b) Urne mit 5 roten und 5 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = c) Urne mit 3 roten und 5 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = d) Urne mit 5 roten und 4 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = e) Urne mit 2 roten und 6 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = f) Urne mit 3 roten und 6 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = 3 Gegenereignisa) Eine Münze 3-mal werfen. P(mindestens einmal Kopf) = P = 1 - P(nie Kopf) = 1 - (1/2)^3 = 1 - 1/8 = 7/8 b) Eine Münze 2-mal werfen. P(mindestens einmal Kopf) = c) Eine Münze 4-mal werfen. P(mindestens einmal Kopf) = 4 Mehrere Pfadea) Urne mit 4 roten und 3 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(genau eine rote) = P(rot, blau) + P(blau, rot) = 4/7 · 3/6 + 3/7 · 4/6 = 24/42 = 57,1 % b) Urne mit 2 roten und 4 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(genau eine rote) = c) Urne mit 2 roten und 3 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(genau eine rote) = d) Urne mit 4 roten und 2 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(genau eine rote) = 5 Zeichnea) Zeichne ein Baumdiagramm für dreimaliges Münzwerfen. Markiere alle Pfade mit genau zwei Mal Kopf und berechne die Wahrscheinlichkeit.
Das brauchst du Baumdiagramm: entlang eines Pfades multiplizieren. Verschiedene Pfade zum selben Ergebnis addieren. P(nicht A) = 1 - P(A)
Pfadregel: entlang eines Pfades multiplizieren, mehrere Pfade addieren. Ohne Zurücklegen ändert sich die Anzahl in der Urne.
1 Zweimal würfelna) P(beide Male eine 6) = P = 1/6 · 1/6 = 1/36 b) P(beide Male eine 4) = P = 1/6 · 1/6 = 1/36 c) P(beide Male eine 2) = P = 1/6 · 1/6 = 1/36 d) P(beide Male eine 3) = P = 1/6 · 1/6 = 1/36 e) P(beide Male eine 5) = P = 1/6 · 1/6 = 1/36 2 Ohne Zurücklegena) Urne mit 2 roten und 2 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = P = 2/4 · 1/3 = 2/12 = 16,7 % b) Urne mit 5 roten und 5 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = P = 5/10 · 4/9 = 20/90 = 22,2 % c) Urne mit 3 roten und 5 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = P = 3/8 · 2/7 = 6/56 = 10,7 % d) Urne mit 5 roten und 4 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = P = 5/9 · 4/8 = 20/72 = 27,8 % e) Urne mit 2 roten und 6 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = P = 2/8 · 1/7 = 2/56 = 3,6 % f) Urne mit 3 roten und 6 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(rot, rot) = P = 3/9 · 2/8 = 6/72 = 8,3 % 3 Gegenereignisa) Eine Münze 3-mal werfen. P(mindestens einmal Kopf) = P = 1 - P(nie Kopf) = 1 - (1/2)^3 = 1 - 1/8 = 7/8 b) Eine Münze 2-mal werfen. P(mindestens einmal Kopf) = P = 1 - P(nie Kopf) = 1 - (1/2)^2 = 1 - 1/4 = 3/4 c) Eine Münze 4-mal werfen. P(mindestens einmal Kopf) = P = 1 - P(nie Kopf) = 1 - (1/2)^4 = 1 - 1/16 = 15/16 4 Mehrere Pfadea) Urne mit 4 roten und 3 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(genau eine rote) = P(rot, blau) + P(blau, rot) = 4/7 · 3/6 + 3/7 · 4/6 = 24/42 = 57,1 % b) Urne mit 2 roten und 4 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(genau eine rote) = P(rot, blau) + P(blau, rot) = 2/6 · 4/5 + 4/6 · 2/5 = 16/30 = 53,3 % c) Urne mit 2 roten und 3 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(genau eine rote) = P(rot, blau) + P(blau, rot) = 2/5 · 3/4 + 3/5 · 2/4 = 12/20 = 60,0 % d) Urne mit 4 roten und 2 blauen Kugeln, zweimal ziehen ohne Zurücklegen. P(genau eine rote) = P(rot, blau) + P(blau, rot) = 4/6 · 2/5 + 2/6 · 4/5 = 16/30 = 53,3 % 5 Zeichnea) Zeichne ein Baumdiagramm für dreimaliges Münzwerfen. Markiere alle Pfade mit genau zwei Mal Kopf und berechne die Wahrscheinlichkeit. Acht Pfade zu je 1/8. Genau zweimal Kopf kommt auf drei Pfaden vor, also 3/8.
Das Baumdiagramm Jede Stufe ist eine Verzweigung, an jedem Ast steht seine Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen einer Verzweigung ergeben zusammen immer 1.
Zwei Regeln Entlang eines Pfades multiplizierst du. Führen mehrere Pfade zum gesuchten Ergebnis, addierst du deren Wahrscheinlichkeiten.
Zweimal Würfeln, zwei Sechsen 1/6 · 1/6 = 1/36 genau eine Sechs: 1/6 · 5/6 + 5/6 · 1/6 = 10/36
Mit und ohne Zurücklegen Beim Zurücklegen bleiben die Wahrscheinlichkeiten in jeder Stufe gleich. Ohne Zurücklegen ändern sie sich, weil eine Kugel fehlt — Zähler und Nenner werden kleiner.