Abi-Training: Analysis

Mathematik · Klasse 12 · mittel

Klasse 12Abiturvorbereitung
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Prüfungsteil Analysis. Rechenweg aufschreiben, nicht nur das Ergebnis — im Abitur zählen die Schritte.

1Ganzrationale Funktion untersuchen

f'(x) = 0 gibt Extremstellen, f''(x) = 0 die Wendestelle. Vorzeichenwechsel von f' sagt, ob Hoch- oder Tiefpunkt.

  1. a)f(x) = x³ - 27x. Bestimme Nullstellen, Extremstellen und Wendestelle.x(x² - 27) = 0 → x = 0 und x = ±3√3f'(x) = 3x² - 27 = 0 → x² = 9, also x = -3 (Hochpunkt) und x = 3 (Tiefpunkt)f''(x) = 6x = 0 → Wendestelle x = 0
  2. b)f(x) = x³ - 12x. Bestimme Nullstellen, Extremstellen und Wendestelle.
  3. c)f(x) = x³ - 3x. Bestimme Nullstellen, Extremstellen und Wendestelle.

2Fläche berechnen

A = F(b) - F(a) zwischen den Nullstellen a und b. ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C

  1. a)Berechne den Inhalt der Fläche, die f(x) = 36 - x² mit der x-Achse einschließt.Nullstellen: 36 - x² = 0 → x = ±6F(x) = 36x - x³/3A = F(6) - F(-6) = 144 - (-144) = 288
  2. b)Berechne den Inhalt der Fläche, die f(x) = 9 - x² mit der x-Achse einschließt.

Prüfungsteil Analysis. Rechenweg aufschreiben, nicht nur das Ergebnis — im Abitur zählen die Schritte.

1Ganzrationale Funktion untersuchen

f'(x) = 0 gibt Extremstellen, f''(x) = 0 die Wendestelle. Vorzeichenwechsel von f' sagt, ob Hoch- oder Tiefpunkt.

  1. a)f(x) = x³ - 27x. Bestimme Nullstellen, Extremstellen und Wendestelle.x(x² - 27) = 0 → x = 0 und x = ±3√3f'(x) = 3x² - 27 = 0 → x² = 9, also x = -3 (Hochpunkt) und x = 3 (Tiefpunkt)f''(x) = 6x = 0 → Wendestelle x = 0
  2. b)f(x) = x³ - 12x. Bestimme Nullstellen, Extremstellen und Wendestelle.x(x² - 12) = 0 → x = 0 und x = ±2√3f'(x) = 3x² - 12 = 0 → x² = 4, also x = -2 (Hochpunkt) und x = 2 (Tiefpunkt)f''(x) = 6x = 0 → Wendestelle x = 0
  3. c)f(x) = x³ - 3x. Bestimme Nullstellen, Extremstellen und Wendestelle.x(x² - 3) = 0 → x = 0 und x = ±1√3f'(x) = 3x² - 3 = 0 → x² = 1, also x = -1 (Hochpunkt) und x = 1 (Tiefpunkt)f''(x) = 6x = 0 → Wendestelle x = 0

2Fläche berechnen

A = F(b) - F(a) zwischen den Nullstellen a und b. ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C

  1. a)Berechne den Inhalt der Fläche, die f(x) = 36 - x² mit der x-Achse einschließt.Nullstellen: 36 - x² = 0 → x = ±6F(x) = 36x - x³/3A = F(6) - F(-6) = 144 - (-144) = 288
  2. b)Berechne den Inhalt der Fläche, die f(x) = 9 - x² mit der x-Achse einschließt.Nullstellen: 9 - x² = 0 → x = ±3F(x) = 9x - x³/3A = F(3) - F(-3) = 18 - (-18) = 36

Prüfungsteil Analysis. Rechenweg aufschreiben, nicht nur das Ergebnis — im Abitur zählen die Schritte.

1Ganzrationale Funktion untersuchen

f'(x) = 0 gibt Extremstellen, f''(x) = 0 die Wendestelle. Vorzeichenwechsel von f' sagt, ob Hoch- oder Tiefpunkt.

  1. a)f(x) = x³ - 12x. Bestimme Nullstellen, Extremstellen und Wendestelle.x(x² - 12) = 0 → x = 0 und x = ±2√3f'(x) = 3x² - 12 = 0 → x² = 4, also x = -2 (Hochpunkt) und x = 2 (Tiefpunkt)f''(x) = 6x = 0 → Wendestelle x = 0
  2. b)f(x) = x³ - 27x. Bestimme Nullstellen, Extremstellen und Wendestelle.
  3. c)f(x) = x³ - 3x. Bestimme Nullstellen, Extremstellen und Wendestelle.

2Fläche berechnen

A = F(b) - F(a) zwischen den Nullstellen a und b. ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C

  1. a)Berechne den Inhalt der Fläche, die f(x) = 9 - x² mit der x-Achse einschließt.Nullstellen: 9 - x² = 0 → x = ±3F(x) = 9x - x³/3A = F(3) - F(-3) = 18 - (-18) = 36
  2. b)Berechne den Inhalt der Fläche, die f(x) = 36 - x² mit der x-Achse einschließt.

3Funktion mit e-Term

Produktregel: (u · v)' = u'v + uv'. (e^(kx))' = k · e^(kx)

  1. a)f(x) = x · e^(-5x). Bestimme die Extremstelle und begründe die Art.Produktregel: f'(x) = e^(-5x) - 5x · e^(-5x) = e^(-5x)(1 - 5x)e^(-5x) ist nie 0, also 1 - 5x = 0 → x = 1/5Davor f' > 0, danach f' < 0 → Hochpunkt bei x = 1/5
  2. b)f(x) = x · e^(-3x). Bestimme die Extremstelle und begründe die Art.
  3. c)f(x) = x · e^(-4x). Bestimme die Extremstelle und begründe die Art.

Prüfungsteil Analysis. Rechenweg aufschreiben, nicht nur das Ergebnis — im Abitur zählen die Schritte.

1Ganzrationale Funktion untersuchen

f'(x) = 0 gibt Extremstellen, f''(x) = 0 die Wendestelle. Vorzeichenwechsel von f' sagt, ob Hoch- oder Tiefpunkt.

  1. a)f(x) = x³ - 12x. Bestimme Nullstellen, Extremstellen und Wendestelle.x(x² - 12) = 0 → x = 0 und x = ±2√3f'(x) = 3x² - 12 = 0 → x² = 4, also x = -2 (Hochpunkt) und x = 2 (Tiefpunkt)f''(x) = 6x = 0 → Wendestelle x = 0
  2. b)f(x) = x³ - 27x. Bestimme Nullstellen, Extremstellen und Wendestelle.x(x² - 27) = 0 → x = 0 und x = ±3√3f'(x) = 3x² - 27 = 0 → x² = 9, also x = -3 (Hochpunkt) und x = 3 (Tiefpunkt)f''(x) = 6x = 0 → Wendestelle x = 0
  3. c)f(x) = x³ - 3x. Bestimme Nullstellen, Extremstellen und Wendestelle.x(x² - 3) = 0 → x = 0 und x = ±1√3f'(x) = 3x² - 3 = 0 → x² = 1, also x = -1 (Hochpunkt) und x = 1 (Tiefpunkt)f''(x) = 6x = 0 → Wendestelle x = 0

2Fläche berechnen

A = F(b) - F(a) zwischen den Nullstellen a und b. ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C

  1. a)Berechne den Inhalt der Fläche, die f(x) = 9 - x² mit der x-Achse einschließt.Nullstellen: 9 - x² = 0 → x = ±3F(x) = 9x - x³/3A = F(3) - F(-3) = 18 - (-18) = 36
  2. b)Berechne den Inhalt der Fläche, die f(x) = 36 - x² mit der x-Achse einschließt.Nullstellen: 36 - x² = 0 → x = ±6F(x) = 36x - x³/3A = F(6) - F(-6) = 144 - (-144) = 288

3Funktion mit e-Term

Produktregel: (u · v)' = u'v + uv'. (e^(kx))' = k · e^(kx)

  1. a)f(x) = x · e^(-5x). Bestimme die Extremstelle und begründe die Art.Produktregel: f'(x) = e^(-5x) - 5x · e^(-5x) = e^(-5x)(1 - 5x)e^(-5x) ist nie 0, also 1 - 5x = 0 → x = 1/5Davor f' > 0, danach f' < 0 → Hochpunkt bei x = 1/5
  2. b)f(x) = x · e^(-3x). Bestimme die Extremstelle und begründe die Art.Produktregel: f'(x) = e^(-3x) - 3x · e^(-3x) = e^(-3x)(1 - 3x)e^(-3x) ist nie 0, also 1 - 3x = 0 → x = 1/3Davor f' > 0, danach f' < 0 → Hochpunkt bei x = 1/3
  3. c)f(x) = x · e^(-4x). Bestimme die Extremstelle und begründe die Art.Produktregel: f'(x) = e^(-4x) - 4x · e^(-4x) = e^(-4x)(1 - 4x)e^(-4x) ist nie 0, also 1 - 4x = 0 → x = 1/4Davor f' > 0, danach f' < 0 → Hochpunkt bei x = 1/4

Prüfungsteil Analysis. Rechenweg aufschreiben, nicht nur das Ergebnis — im Abitur zählen die Schritte.

1Ganzrationale Funktion untersuchen

f'(x) = 0 gibt Extremstellen, f''(x) = 0 die Wendestelle. Vorzeichenwechsel von f' sagt, ob Hoch- oder Tiefpunkt.

  1. a)f(x) = x³ - 12x. Bestimme Nullstellen, Extremstellen und Wendestelle.x(x² - 12) = 0 → x = 0 und x = ±2√3f'(x) = 3x² - 12 = 0 → x² = 4, also x = -2 (Hochpunkt) und x = 2 (Tiefpunkt)f''(x) = 6x = 0 → Wendestelle x = 0
  2. b)f(x) = x³ - 48x. Bestimme Nullstellen, Extremstellen und Wendestelle.
  3. c)f(x) = x³ - 3x. Bestimme Nullstellen, Extremstellen und Wendestelle.

2Fläche berechnen

A = F(b) - F(a) zwischen den Nullstellen a und b. ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C

  1. a)Berechne den Inhalt der Fläche, die f(x) = 36 - x² mit der x-Achse einschließt.Nullstellen: 36 - x² = 0 → x = ±6F(x) = 36x - x³/3A = F(6) - F(-6) = 144 - (-144) = 288
  2. b)Berechne den Inhalt der Fläche, die f(x) = 9 - x² mit der x-Achse einschließt.

3Funktion mit e-Term

Produktregel: (u · v)' = u'v + uv'. (e^(kx))' = k · e^(kx)

  1. a)f(x) = x · e^(-2x). Bestimme die Extremstelle und begründe die Art.Produktregel: f'(x) = e^(-2x) - 2x · e^(-2x) = e^(-2x)(1 - 2x)e^(-2x) ist nie 0, also 1 - 2x = 0 → x = 1/2Davor f' > 0, danach f' < 0 → Hochpunkt bei x = 1/2
  2. b)f(x) = x · e^(-5x). Bestimme die Extremstelle und begründe die Art.
  3. c)f(x) = x · e^(-4x). Bestimme die Extremstelle und begründe die Art.

4Steckbriefaufgabe

Je eine Bedingung pro Angabe, dann das Gleichungssystem lösen.

  1. a)Eine Funktion dritten Grades hat bei x = 0 einen Wendepunkt mit der Steigung 9 und bei x = 1 eine waagerechte Tangente. Bestimme sie.Ansatz f(x) = ax³ + bx² + cx + d, f'(x) = 3ax² + 2bx + c, f''(x) = 6ax + 2bf''(0) = 0 → b = 0. f'(0) = 9 → c = 9f'(1) = 3a · 1 + 9 = 0 → a = -3f(x) = -3x³ + 9x + d (d bleibt frei)
  2. b)Eine Funktion dritten Grades hat bei x = 0 einen Wendepunkt mit der Steigung 24 und bei x = 2 eine waagerechte Tangente. Bestimme sie.

5Knobelaufgabe

Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.

  1. a)Der Wasserstand eines Beckens wird durch f(t) = -0,5t³ + 3t² beschrieben, t in Stunden. Wann steigt er am schnellsten, wann ist er am höchsten, und wann ist das Becken wieder leer?

Prüfungsteil Analysis. Rechenweg aufschreiben, nicht nur das Ergebnis — im Abitur zählen die Schritte.

1Ganzrationale Funktion untersuchen

f'(x) = 0 gibt Extremstellen, f''(x) = 0 die Wendestelle. Vorzeichenwechsel von f' sagt, ob Hoch- oder Tiefpunkt.

  1. a)f(x) = x³ - 12x. Bestimme Nullstellen, Extremstellen und Wendestelle.x(x² - 12) = 0 → x = 0 und x = ±2√3f'(x) = 3x² - 12 = 0 → x² = 4, also x = -2 (Hochpunkt) und x = 2 (Tiefpunkt)f''(x) = 6x = 0 → Wendestelle x = 0
  2. b)f(x) = x³ - 48x. Bestimme Nullstellen, Extremstellen und Wendestelle.x(x² - 48) = 0 → x = 0 und x = ±4√3f'(x) = 3x² - 48 = 0 → x² = 16, also x = -4 (Hochpunkt) und x = 4 (Tiefpunkt)f''(x) = 6x = 0 → Wendestelle x = 0
  3. c)f(x) = x³ - 3x. Bestimme Nullstellen, Extremstellen und Wendestelle.x(x² - 3) = 0 → x = 0 und x = ±1√3f'(x) = 3x² - 3 = 0 → x² = 1, also x = -1 (Hochpunkt) und x = 1 (Tiefpunkt)f''(x) = 6x = 0 → Wendestelle x = 0

2Fläche berechnen

A = F(b) - F(a) zwischen den Nullstellen a und b. ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C

  1. a)Berechne den Inhalt der Fläche, die f(x) = 36 - x² mit der x-Achse einschließt.Nullstellen: 36 - x² = 0 → x = ±6F(x) = 36x - x³/3A = F(6) - F(-6) = 144 - (-144) = 288
  2. b)Berechne den Inhalt der Fläche, die f(x) = 9 - x² mit der x-Achse einschließt.Nullstellen: 9 - x² = 0 → x = ±3F(x) = 9x - x³/3A = F(3) - F(-3) = 18 - (-18) = 36

3Funktion mit e-Term

Produktregel: (u · v)' = u'v + uv'. (e^(kx))' = k · e^(kx)

  1. a)f(x) = x · e^(-2x). Bestimme die Extremstelle und begründe die Art.Produktregel: f'(x) = e^(-2x) - 2x · e^(-2x) = e^(-2x)(1 - 2x)e^(-2x) ist nie 0, also 1 - 2x = 0 → x = 1/2Davor f' > 0, danach f' < 0 → Hochpunkt bei x = 1/2
  2. b)f(x) = x · e^(-5x). Bestimme die Extremstelle und begründe die Art.Produktregel: f'(x) = e^(-5x) - 5x · e^(-5x) = e^(-5x)(1 - 5x)e^(-5x) ist nie 0, also 1 - 5x = 0 → x = 1/5Davor f' > 0, danach f' < 0 → Hochpunkt bei x = 1/5
  3. c)f(x) = x · e^(-4x). Bestimme die Extremstelle und begründe die Art.Produktregel: f'(x) = e^(-4x) - 4x · e^(-4x) = e^(-4x)(1 - 4x)e^(-4x) ist nie 0, also 1 - 4x = 0 → x = 1/4Davor f' > 0, danach f' < 0 → Hochpunkt bei x = 1/4

4Steckbriefaufgabe

Je eine Bedingung pro Angabe, dann das Gleichungssystem lösen.

  1. a)Eine Funktion dritten Grades hat bei x = 0 einen Wendepunkt mit der Steigung 9 und bei x = 1 eine waagerechte Tangente. Bestimme sie.Ansatz f(x) = ax³ + bx² + cx + d, f'(x) = 3ax² + 2bx + c, f''(x) = 6ax + 2bf''(0) = 0 → b = 0. f'(0) = 9 → c = 9f'(1) = 3a · 1 + 9 = 0 → a = -3f(x) = -3x³ + 9x + d (d bleibt frei)
  2. b)Eine Funktion dritten Grades hat bei x = 0 einen Wendepunkt mit der Steigung 24 und bei x = 2 eine waagerechte Tangente. Bestimme sie.Ansatz f(x) = ax³ + bx² + cx + d, f'(x) = 3ax² + 2bx + c, f''(x) = 6ax + 2bf''(0) = 0 → b = 0. f'(0) = 24 → c = 24f'(2) = 3a · 4 + 24 = 0 → a = -2f(x) = -2x³ + 24x + d (d bleibt frei)

5Knobelaufgabe

Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.

  1. a)Der Wasserstand eines Beckens wird durch f(t) = -0,5t³ + 3t² beschrieben, t in Stunden. Wann steigt er am schnellsten, wann ist er am höchsten, und wann ist das Becken wieder leer?f'(t) = -1,5t² + 6t, maximal bei f''(t) = 0, also t = 2 h. Höchster Stand bei f'(t) = 0, also t = 4 h. Leer bei f(t) = 0, also t = 6 h.
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