Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck

Mathematik · Klasse 9 · mittel

Klasse 9MSA-Vorbereitung
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sin α = Gegenkathete : Hypotenuse · cos α = Ankathete : Hypotenuse · tan α = Gegenkathete : Ankathete

1Seitenverhältnisse

  1. a)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 7 cm, Ankathete 24 cm, Hypotenuse 25 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 7/25 = 0,280, cos α = 24/25 = 0,960, tan α = 7/24 = 0,292
  2. b)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 3 cm, Ankathete 4 cm, Hypotenuse 5 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =
  3. c)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 9 cm, Ankathete 12 cm, Hypotenuse 15 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =
  4. d)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 12 cm, Ankathete 16 cm, Hypotenuse 20 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =
  5. e)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 8 cm, Ankathete 15 cm, Hypotenuse 17 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =
  6. f)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 6 cm, Ankathete 8 cm, Hypotenuse 10 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =

2Seite berechnen

  1. a)α = 50°, Hypotenuse c = 7 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 7 · sin 50° = 5,36 cm
  2. b)α = 20°, Hypotenuse c = 11 cm. Gegenkathete
  3. c)α = 55°, Hypotenuse c = 6 cm. Gegenkathete
  4. d)α = 60°, Hypotenuse c = 9 cm. Gegenkathete
  5. e)α = 45°, Hypotenuse c = 11 cm. Gegenkathete
  6. f)α = 20°, Hypotenuse c = 9 cm. Gegenkathete

sin α = Gegenkathete : Hypotenuse · cos α = Ankathete : Hypotenuse · tan α = Gegenkathete : Ankathete

1Seitenverhältnisse

  1. a)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 7 cm, Ankathete 24 cm, Hypotenuse 25 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 7/25 = 0,280, cos α = 24/25 = 0,960, tan α = 7/24 = 0,292
  2. b)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 3 cm, Ankathete 4 cm, Hypotenuse 5 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 3/5 = 0,600, cos α = 4/5 = 0,800, tan α = 3/4 = 0,750
  3. c)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 9 cm, Ankathete 12 cm, Hypotenuse 15 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 9/15 = 0,600, cos α = 12/15 = 0,800, tan α = 9/12 = 0,750
  4. d)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 12 cm, Ankathete 16 cm, Hypotenuse 20 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 12/20 = 0,600, cos α = 16/20 = 0,800, tan α = 12/16 = 0,750
  5. e)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 8 cm, Ankathete 15 cm, Hypotenuse 17 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 8/17 = 0,471, cos α = 15/17 = 0,882, tan α = 8/15 = 0,533
  6. f)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 6 cm, Ankathete 8 cm, Hypotenuse 10 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 6/10 = 0,600, cos α = 8/10 = 0,800, tan α = 6/8 = 0,750

2Seite berechnen

  1. a)α = 50°, Hypotenuse c = 7 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 7 · sin 50° = 5,36 cm
  2. b)α = 20°, Hypotenuse c = 11 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 11 · sin 20° = 3,76 cm
  3. c)α = 55°, Hypotenuse c = 6 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 6 · sin 55° = 4,91 cm
  4. d)α = 60°, Hypotenuse c = 9 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 9 · sin 60° = 7,79 cm
  5. e)α = 45°, Hypotenuse c = 11 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 11 · sin 45° = 7,78 cm
  6. f)α = 20°, Hypotenuse c = 9 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 9 · sin 20° = 3,08 cm

sin α = Gegenkathete : Hypotenuse · cos α = Ankathete : Hypotenuse · tan α = Gegenkathete : Ankathete

1Seitenverhältnisse

  1. a)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 8 cm, Ankathete 15 cm, Hypotenuse 17 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 8/17 = 0,471, cos α = 15/17 = 0,882, tan α = 8/15 = 0,533
  2. b)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 7 cm, Ankathete 24 cm, Hypotenuse 25 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =
  3. c)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 12 cm, Ankathete 16 cm, Hypotenuse 20 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =
  4. d)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 5 cm, Ankathete 12 cm, Hypotenuse 13 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =
  5. e)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 20 cm, Ankathete 21 cm, Hypotenuse 29 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =
  6. f)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 6 cm, Ankathete 8 cm, Hypotenuse 10 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =

2Seite berechnen

  1. a)α = 20°, Hypotenuse c = 28 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 28 · sin 20° = 9,58 cm
  2. b)α = 35°, Hypotenuse c = 19 cm. Gegenkathete
  3. c)α = 65°, Hypotenuse c = 28 cm. Gegenkathete
  4. d)α = 35°, Hypotenuse c = 28 cm. Gegenkathete
  5. e)α = 45°, Hypotenuse c = 29 cm. Gegenkathete
  6. f)α = 40°, Hypotenuse c = 21 cm. Gegenkathete

3Winkel berechnen

  1. a)Gegenkathete 10 cm, Ankathete 11 cm. α =tan α = 10/11 = 0,909 → α = 42,3°
  2. b)Gegenkathete 10 cm, Ankathete 2 cm. α =
  3. c)Gegenkathete 11 cm, Ankathete 2 cm. α =
  4. d)Gegenkathete 5 cm, Ankathete 10 cm. α =
  5. e)Gegenkathete 5 cm, Ankathete 8 cm. α =
  6. f)Gegenkathete 10 cm, Ankathete 10 cm. α =

sin α = Gegenkathete : Hypotenuse · cos α = Ankathete : Hypotenuse · tan α = Gegenkathete : Ankathete

1Seitenverhältnisse

  1. a)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 8 cm, Ankathete 15 cm, Hypotenuse 17 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 8/17 = 0,471, cos α = 15/17 = 0,882, tan α = 8/15 = 0,533
  2. b)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 7 cm, Ankathete 24 cm, Hypotenuse 25 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 7/25 = 0,280, cos α = 24/25 = 0,960, tan α = 7/24 = 0,292
  3. c)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 12 cm, Ankathete 16 cm, Hypotenuse 20 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 12/20 = 0,600, cos α = 16/20 = 0,800, tan α = 12/16 = 0,750
  4. d)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 5 cm, Ankathete 12 cm, Hypotenuse 13 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 5/13 = 0,385, cos α = 12/13 = 0,923, tan α = 5/12 = 0,417
  5. e)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 20 cm, Ankathete 21 cm, Hypotenuse 29 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 20/29 = 0,690, cos α = 21/29 = 0,724, tan α = 20/21 = 0,952
  6. f)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 6 cm, Ankathete 8 cm, Hypotenuse 10 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 6/10 = 0,600, cos α = 8/10 = 0,800, tan α = 6/8 = 0,750

2Seite berechnen

  1. a)α = 20°, Hypotenuse c = 28 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 28 · sin 20° = 9,58 cm
  2. b)α = 35°, Hypotenuse c = 19 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 19 · sin 35° = 10,90 cm
  3. c)α = 65°, Hypotenuse c = 28 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 28 · sin 65° = 25,38 cm
  4. d)α = 35°, Hypotenuse c = 28 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 28 · sin 35° = 16,06 cm
  5. e)α = 45°, Hypotenuse c = 29 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 29 · sin 45° = 20,51 cm
  6. f)α = 40°, Hypotenuse c = 21 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 21 · sin 40° = 13,50 cm

3Winkel berechnen

  1. a)Gegenkathete 10 cm, Ankathete 11 cm. α =tan α = 10/11 = 0,909 → α = 42,3°
  2. b)Gegenkathete 10 cm, Ankathete 2 cm. α =tan α = 10/2 = 5,000 → α = 78,7°
  3. c)Gegenkathete 11 cm, Ankathete 2 cm. α =tan α = 11/2 = 5,500 → α = 79,7°
  4. d)Gegenkathete 5 cm, Ankathete 10 cm. α =tan α = 5/10 = 0,500 → α = 26,6°
  5. e)Gegenkathete 5 cm, Ankathete 8 cm. α =tan α = 5/8 = 0,625 → α = 32,0°
  6. f)Gegenkathete 10 cm, Ankathete 10 cm. α =tan α = 10/10 = 1,000 → α = 45,0°

sin α = Gegenkathete : Hypotenuse · cos α = Ankathete : Hypotenuse · tan α = Gegenkathete : Ankathete

1Seitenverhältnisse

  1. a)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 6 cm, Ankathete 8 cm, Hypotenuse 10 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 6/10 = 0,600, cos α = 8/10 = 0,800, tan α = 6/8 = 0,750
  2. b)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 5 cm, Ankathete 12 cm, Hypotenuse 13 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =
  3. c)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 3 cm, Ankathete 4 cm, Hypotenuse 5 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =
  4. d)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 20 cm, Ankathete 21 cm, Hypotenuse 29 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =
  5. e)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 12 cm, Ankathete 16 cm, Hypotenuse 20 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =
  6. f)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 9 cm, Ankathete 12 cm, Hypotenuse 15 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =

2Seite berechnen

  1. a)α = 35°, Hypotenuse c = 35 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 35 · sin 35° = 20,08 cm
  2. b)α = 40°, Hypotenuse c = 63 cm. Gegenkathete
  3. c)α = 65°, Hypotenuse c = 39 cm. Gegenkathete
  4. d)α = 40°, Hypotenuse c = 36 cm. Gegenkathete
  5. e)α = 65°, Hypotenuse c = 62 cm. Gegenkathete
  6. f)α = 30°, Hypotenuse c = 27 cm. Gegenkathete

3Winkel berechnen

  1. a)Gegenkathete 4 cm, Ankathete 4 cm. α =tan α = 4/4 = 1,000 → α = 45,0°
  2. b)Gegenkathete 5 cm, Ankathete 5 cm. α =
  3. c)Gegenkathete 7 cm, Ankathete 4 cm. α =
  4. d)Gegenkathete 7 cm, Ankathete 8 cm. α =
  5. e)Gegenkathete 5 cm, Ankathete 2 cm. α =
  6. f)Gegenkathete 10 cm, Ankathete 8 cm. α =

4Anwendung

  1. a)Ein Turm wirft unter dem Winkel 25° einen Schatten von 26 m. Wie hoch ist der Turm?h = 26 · tan 25° = 12,12 m
  2. b)Ein Turm wirft unter dem Winkel 35° einen Schatten von 19 m. Wie hoch ist der Turm?
  3. c)Ein Turm wirft unter dem Winkel 60° einen Schatten von 11 m. Wie hoch ist der Turm?
  4. d)Ein Turm wirft unter dem Winkel 55° einen Schatten von 14 m. Wie hoch ist der Turm?

5Knobelaufgabe

Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.

  1. a)Eine Straße hat 12 % Steigung. Wie groß ist der Steigungswinkel? Wie viele Höhenmeter überwindest du auf 2 km Strecke?

sin α = Gegenkathete : Hypotenuse · cos α = Ankathete : Hypotenuse · tan α = Gegenkathete : Ankathete

1Seitenverhältnisse

  1. a)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 6 cm, Ankathete 8 cm, Hypotenuse 10 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 6/10 = 0,600, cos α = 8/10 = 0,800, tan α = 6/8 = 0,750
  2. b)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 5 cm, Ankathete 12 cm, Hypotenuse 13 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 5/13 = 0,385, cos α = 12/13 = 0,923, tan α = 5/12 = 0,417
  3. c)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 3 cm, Ankathete 4 cm, Hypotenuse 5 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 3/5 = 0,600, cos α = 4/5 = 0,800, tan α = 3/4 = 0,750
  4. d)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 20 cm, Ankathete 21 cm, Hypotenuse 29 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 20/29 = 0,690, cos α = 21/29 = 0,724, tan α = 20/21 = 0,952
  5. e)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 12 cm, Ankathete 16 cm, Hypotenuse 20 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 12/20 = 0,600, cos α = 16/20 = 0,800, tan α = 12/16 = 0,750
  6. f)Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 9 cm, Ankathete 12 cm, Hypotenuse 15 cm. sin α = ____ cos α = ____ tan α =sin α = 9/15 = 0,600, cos α = 12/15 = 0,800, tan α = 9/12 = 0,750

2Seite berechnen

  1. a)α = 35°, Hypotenuse c = 35 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 35 · sin 35° = 20,08 cm
  2. b)α = 40°, Hypotenuse c = 63 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 63 · sin 40° = 40,50 cm
  3. c)α = 65°, Hypotenuse c = 39 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 39 · sin 65° = 35,35 cm
  4. d)α = 40°, Hypotenuse c = 36 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 36 · sin 40° = 23,14 cm
  5. e)α = 65°, Hypotenuse c = 62 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 62 · sin 65° = 56,19 cm
  6. f)α = 30°, Hypotenuse c = 27 cm. Gegenkathetea = c · sin α = 27 · sin 30° = 13,50 cm

3Winkel berechnen

  1. a)Gegenkathete 4 cm, Ankathete 4 cm. α =tan α = 4/4 = 1,000 → α = 45,0°
  2. b)Gegenkathete 5 cm, Ankathete 5 cm. α =tan α = 5/5 = 1,000 → α = 45,0°
  3. c)Gegenkathete 7 cm, Ankathete 4 cm. α =tan α = 7/4 = 1,750 → α = 60,3°
  4. d)Gegenkathete 7 cm, Ankathete 8 cm. α =tan α = 7/8 = 0,875 → α = 41,2°
  5. e)Gegenkathete 5 cm, Ankathete 2 cm. α =tan α = 5/2 = 2,500 → α = 68,2°
  6. f)Gegenkathete 10 cm, Ankathete 8 cm. α =tan α = 10/8 = 1,250 → α = 51,3°

4Anwendung

  1. a)Ein Turm wirft unter dem Winkel 25° einen Schatten von 26 m. Wie hoch ist der Turm?h = 26 · tan 25° = 12,12 m
  2. b)Ein Turm wirft unter dem Winkel 35° einen Schatten von 19 m. Wie hoch ist der Turm?h = 19 · tan 35° = 13,30 m
  3. c)Ein Turm wirft unter dem Winkel 60° einen Schatten von 11 m. Wie hoch ist der Turm?h = 11 · tan 60° = 19,05 m
  4. d)Ein Turm wirft unter dem Winkel 55° einen Schatten von 14 m. Wie hoch ist der Turm?h = 14 · tan 55° = 19,99 m

5Knobelaufgabe

Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.

  1. a)Eine Straße hat 12 % Steigung. Wie groß ist der Steigungswinkel? Wie viele Höhenmeter überwindest du auf 2 km Strecke?tan(w) = 0,12 ergibt w = 6,8°. Auf 2000 m Horizontalstrecke sind das 240 Höhenmeter.
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