Geraden und Ebenen im Raum

Mathematik · Klasse 12 · mittel

Klasse 12Abiturvorbereitung
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Eine Gerade braucht einen Aufpunkt und einen Richtungsvektor, eine Ebene einen Aufpunkt und zwei Spannvektoren.

1Gerade durch zwei Punkte

  1. a)Geradengleichung durch A(-2|5|-1) und B(4|-3|5)?g: x = (-2|5|-1) + t · (6|-8|6)
  2. b)Geradengleichung durch A(2|-6|-1) und B(2|-6|-6)?
  3. c)Geradengleichung durch A(-5|-5|-6) und B(-5|-6|-3)?
  4. d)Geradengleichung durch A(-2|-6|3) und B(3|-2|-6)?
  5. e)Geradengleichung durch A(-1|6|5) und B(1|-1|1)?
  6. f)Geradengleichung durch A(0|4|1) und B(-5|1|-2)?

2Punktprobe

  1. a)Liegt P(0|9|1) auf g: x = (-4|5|-3) + t · (4|4|4)?Ja, für t = 1 stimmen alle drei Zeilen.
  2. b)Liegt P(22|6|7) auf g: x = (6|-6|-5) + t · (4|3|3)?
  3. c)Liegt P(-1|0|11) auf g: x = (-4|-3|5) + t · (1|1|2)?
  4. d)Liegt P(8|7|1) auf g: x = (6|3|-1) + t · (2|4|2)?
  5. e)Liegt P(2|3|6) auf g: x = (-4|-5|2) + t · (3|4|2)?
  6. f)Liegt P(6|-2|7) auf g: x = (5|-3|3) + t · (1|1|4)?

Eine Gerade braucht einen Aufpunkt und einen Richtungsvektor, eine Ebene einen Aufpunkt und zwei Spannvektoren.

1Gerade durch zwei Punkte

  1. a)Geradengleichung durch A(-2|5|-1) und B(4|-3|5)?g: x = (-2|5|-1) + t · (6|-8|6)
  2. b)Geradengleichung durch A(2|-6|-1) und B(2|-6|-6)?g: x = (2|-6|-1) + t · (0|0|-5)
  3. c)Geradengleichung durch A(-5|-5|-6) und B(-5|-6|-3)?g: x = (-5|-5|-6) + t · (0|-1|3)
  4. d)Geradengleichung durch A(-2|-6|3) und B(3|-2|-6)?g: x = (-2|-6|3) + t · (5|4|-9)
  5. e)Geradengleichung durch A(-1|6|5) und B(1|-1|1)?g: x = (-1|6|5) + t · (2|-7|-4)
  6. f)Geradengleichung durch A(0|4|1) und B(-5|1|-2)?g: x = (0|4|1) + t · (-5|-3|-3)

2Punktprobe

  1. a)Liegt P(0|9|1) auf g: x = (-4|5|-3) + t · (4|4|4)?Ja, für t = 1 stimmen alle drei Zeilen.
  2. b)Liegt P(22|6|7) auf g: x = (6|-6|-5) + t · (4|3|3)?Ja, für t = 4 stimmen alle drei Zeilen.
  3. c)Liegt P(-1|0|11) auf g: x = (-4|-3|5) + t · (1|1|2)?Ja, für t = 3 stimmen alle drei Zeilen.
  4. d)Liegt P(8|7|1) auf g: x = (6|3|-1) + t · (2|4|2)?Ja, für t = 1 stimmen alle drei Zeilen.
  5. e)Liegt P(2|3|6) auf g: x = (-4|-5|2) + t · (3|4|2)?Ja, für t = 2 stimmen alle drei Zeilen.
  6. f)Liegt P(6|-2|7) auf g: x = (5|-3|3) + t · (1|1|4)?Ja, für t = 1 stimmen alle drei Zeilen.

Eine Gerade braucht einen Aufpunkt und einen Richtungsvektor, eine Ebene einen Aufpunkt und zwei Spannvektoren.

1Gerade durch zwei Punkte

  1. a)Geradengleichung durch A(4|-2|-6) und B(6|6|5)?g: x = (4|-2|-6) + t · (2|8|11)
  2. b)Geradengleichung durch A(3|-4|-6) und B(4|0|-3)?
  3. c)Geradengleichung durch A(-2|-4|-6) und B(-5|3|6)?
  4. d)Geradengleichung durch A(0|-3|3) und B(5|-2|-3)?
  5. e)Geradengleichung durch A(6|1|5) und B(5|5|1)?
  6. f)Geradengleichung durch A(-2|-2|1) und B(3|-4|2)?

2Punktprobe

  1. a)Liegt P(5|12|7) auf g: x = (-4|0|4) + t · (3|4|1)?Ja, für t = 3 stimmen alle drei Zeilen.
  2. b)Liegt P(5|12|0) auf g: x = (-1|0|-6) + t · (2|4|2)?
  3. c)Liegt P(6|2|-2) auf g: x = (0|-4|-5) + t · (2|2|1)?
  4. d)Liegt P(5|1|1) auf g: x = (-1|-5|-1) + t · (3|3|1)?
  5. e)Liegt P(7|8|3) auf g: x = (-1|0|-5) + t · (2|2|2)?
  6. f)Liegt P(5|7|3) auf g: x = (3|-1|-3) + t · (1|4|3)?

3Ebene in Parameterform

  1. a)Ebene in Parameterform durch A(-4|-4|6) mit den Spannvektoren (1|1|1) und (3|-2|3)?E: x = (-4|-4|6) + r · (1|1|1) + s · (3|-2|3)
  2. b)Ebene in Parameterform durch A(4|-4|2) mit den Spannvektoren (1|3|2) und (3|-1|2)?
  3. c)Ebene in Parameterform durch A(3|-3|0) mit den Spannvektoren (2|1|2) und (2|-3|1)?
  4. d)Ebene in Parameterform durch A(-5|2|4) mit den Spannvektoren (2|3|1) und (3|-2|1)?
  5. e)Ebene in Parameterform durch A(4|0|-1) mit den Spannvektoren (1|2|2) und (2|-1|2)?

Eine Gerade braucht einen Aufpunkt und einen Richtungsvektor, eine Ebene einen Aufpunkt und zwei Spannvektoren.

1Gerade durch zwei Punkte

  1. a)Geradengleichung durch A(4|-2|-6) und B(6|6|5)?g: x = (4|-2|-6) + t · (2|8|11)
  2. b)Geradengleichung durch A(3|-4|-6) und B(4|0|-3)?g: x = (3|-4|-6) + t · (1|4|3)
  3. c)Geradengleichung durch A(-2|-4|-6) und B(-5|3|6)?g: x = (-2|-4|-6) + t · (-3|7|12)
  4. d)Geradengleichung durch A(0|-3|3) und B(5|-2|-3)?g: x = (0|-3|3) + t · (5|1|-6)
  5. e)Geradengleichung durch A(6|1|5) und B(5|5|1)?g: x = (6|1|5) + t · (-1|4|-4)
  6. f)Geradengleichung durch A(-2|-2|1) und B(3|-4|2)?g: x = (-2|-2|1) + t · (5|-2|1)

2Punktprobe

  1. a)Liegt P(5|12|7) auf g: x = (-4|0|4) + t · (3|4|1)?Ja, für t = 3 stimmen alle drei Zeilen.
  2. b)Liegt P(5|12|0) auf g: x = (-1|0|-6) + t · (2|4|2)?Ja, für t = 3 stimmen alle drei Zeilen.
  3. c)Liegt P(6|2|-2) auf g: x = (0|-4|-5) + t · (2|2|1)?Ja, für t = 3 stimmen alle drei Zeilen.
  4. d)Liegt P(5|1|1) auf g: x = (-1|-5|-1) + t · (3|3|1)?Ja, für t = 2 stimmen alle drei Zeilen.
  5. e)Liegt P(7|8|3) auf g: x = (-1|0|-5) + t · (2|2|2)?Ja, für t = 4 stimmen alle drei Zeilen.
  6. f)Liegt P(5|7|3) auf g: x = (3|-1|-3) + t · (1|4|3)?Ja, für t = 2 stimmen alle drei Zeilen.

3Ebene in Parameterform

  1. a)Ebene in Parameterform durch A(-4|-4|6) mit den Spannvektoren (1|1|1) und (3|-2|3)?E: x = (-4|-4|6) + r · (1|1|1) + s · (3|-2|3)
  2. b)Ebene in Parameterform durch A(4|-4|2) mit den Spannvektoren (1|3|2) und (3|-1|2)?E: x = (4|-4|2) + r · (1|3|2) + s · (3|-1|2)
  3. c)Ebene in Parameterform durch A(3|-3|0) mit den Spannvektoren (2|1|2) und (2|-3|1)?E: x = (3|-3|0) + r · (2|1|2) + s · (2|-3|1)
  4. d)Ebene in Parameterform durch A(-5|2|4) mit den Spannvektoren (2|3|1) und (3|-2|1)?E: x = (-5|2|4) + r · (2|3|1) + s · (3|-2|1)
  5. e)Ebene in Parameterform durch A(4|0|-1) mit den Spannvektoren (1|2|2) und (2|-1|2)?E: x = (4|0|-1) + r · (1|2|2) + s · (2|-1|2)

Eine Gerade braucht einen Aufpunkt und einen Richtungsvektor, eine Ebene einen Aufpunkt und zwei Spannvektoren.

1Gerade durch zwei Punkte

  1. a)Geradengleichung durch A(-5|5|4) und B(-4|-1|-6)?g: x = (-5|5|4) + t · (1|-6|-10)
  2. b)Geradengleichung durch A(2|5|0) und B(-5|-5|-4)?
  3. c)Geradengleichung durch A(-1|1|3) und B(-5|-4|-5)?
  4. d)Geradengleichung durch A(2|3|-5) und B(-1|-4|-4)?
  5. e)Geradengleichung durch A(-4|-1|6) und B(-4|-4|-6)?
  6. f)Geradengleichung durch A(0|-1|-2) und B(2|3|-6)?

2Punktprobe

  1. a)Liegt P(-2|3|5) auf g: x = (-6|-5|1) + t · (1|2|1)?Ja, für t = 4 stimmen alle drei Zeilen.
  2. b)Liegt P(18|21|7) auf g: x = (2|5|-1) + t · (4|4|2)?
  3. c)Liegt P(9|10|0) auf g: x = (-3|4|-3) + t · (4|2|1)?
  4. d)Liegt P(12|8|11) auf g: x = (6|4|3) + t · (3|2|4)?
  5. e)Liegt P(10|-2|-1) auf g: x = (-6|-6|-5) + t · (4|1|1)?
  6. f)Liegt P(-3|-5|7) auf g: x = (-5|-6|4) + t · (2|1|3)?

3Ebene in Parameterform

  1. a)Ebene in Parameterform durch A(1|0|2) mit den Spannvektoren (1|1|3) und (1|-3|1)?E: x = (1|0|2) + r · (1|1|3) + s · (1|-3|1)
  2. b)Ebene in Parameterform durch A(5|-3|6) mit den Spannvektoren (2|3|2) und (1|-3|2)?
  3. c)Ebene in Parameterform durch A(-2|-5|4) mit den Spannvektoren (3|2|2) und (2|-2|2)?
  4. d)Ebene in Parameterform durch A(1|3|4) mit den Spannvektoren (1|2|1) und (2|-2|1)?
  5. e)Ebene in Parameterform durch A(-2|-1|-1) mit den Spannvektoren (3|2|1) und (3|-2|3)?

4Koordinatenform

  1. a)Ebene in Koordinatenform mit Normalenvektor (4|3|4) durch P(-6|1|-1)?E: 4x1 + 3x2 + 4x3 = -25
  2. b)Ebene in Koordinatenform mit Normalenvektor (3|2|3) durch P(4|1|-3)?
  3. c)Ebene in Koordinatenform mit Normalenvektor (2|3|3) durch P(3|-2|2)?
  4. d)Ebene in Koordinatenform mit Normalenvektor (3|4|4) durch P(6|-2|6)?
  5. e)Ebene in Koordinatenform mit Normalenvektor (2|2|4) durch P(-2|0|-1)?

5Zeichne

  1. a)Skizziere zwei windschiefe Geraden im Raum. Erkläre in einem Satz, woran man rechnerisch erkennt, dass sie windschief sind.

Eine Gerade braucht einen Aufpunkt und einen Richtungsvektor, eine Ebene einen Aufpunkt und zwei Spannvektoren.

1Gerade durch zwei Punkte

  1. a)Geradengleichung durch A(-5|5|4) und B(-4|-1|-6)?g: x = (-5|5|4) + t · (1|-6|-10)
  2. b)Geradengleichung durch A(2|5|0) und B(-5|-5|-4)?g: x = (2|5|0) + t · (-7|-10|-4)
  3. c)Geradengleichung durch A(-1|1|3) und B(-5|-4|-5)?g: x = (-1|1|3) + t · (-4|-5|-8)
  4. d)Geradengleichung durch A(2|3|-5) und B(-1|-4|-4)?g: x = (2|3|-5) + t · (-3|-7|1)
  5. e)Geradengleichung durch A(-4|-1|6) und B(-4|-4|-6)?g: x = (-4|-1|6) + t · (0|-3|-12)
  6. f)Geradengleichung durch A(0|-1|-2) und B(2|3|-6)?g: x = (0|-1|-2) + t · (2|4|-4)

2Punktprobe

  1. a)Liegt P(-2|3|5) auf g: x = (-6|-5|1) + t · (1|2|1)?Ja, für t = 4 stimmen alle drei Zeilen.
  2. b)Liegt P(18|21|7) auf g: x = (2|5|-1) + t · (4|4|2)?Ja, für t = 4 stimmen alle drei Zeilen.
  3. c)Liegt P(9|10|0) auf g: x = (-3|4|-3) + t · (4|2|1)?Ja, für t = 3 stimmen alle drei Zeilen.
  4. d)Liegt P(12|8|11) auf g: x = (6|4|3) + t · (3|2|4)?Ja, für t = 2 stimmen alle drei Zeilen.
  5. e)Liegt P(10|-2|-1) auf g: x = (-6|-6|-5) + t · (4|1|1)?Ja, für t = 4 stimmen alle drei Zeilen.
  6. f)Liegt P(-3|-5|7) auf g: x = (-5|-6|4) + t · (2|1|3)?Ja, für t = 1 stimmen alle drei Zeilen.

3Ebene in Parameterform

  1. a)Ebene in Parameterform durch A(1|0|2) mit den Spannvektoren (1|1|3) und (1|-3|1)?E: x = (1|0|2) + r · (1|1|3) + s · (1|-3|1)
  2. b)Ebene in Parameterform durch A(5|-3|6) mit den Spannvektoren (2|3|2) und (1|-3|2)?E: x = (5|-3|6) + r · (2|3|2) + s · (1|-3|2)
  3. c)Ebene in Parameterform durch A(-2|-5|4) mit den Spannvektoren (3|2|2) und (2|-2|2)?E: x = (-2|-5|4) + r · (3|2|2) + s · (2|-2|2)
  4. d)Ebene in Parameterform durch A(1|3|4) mit den Spannvektoren (1|2|1) und (2|-2|1)?E: x = (1|3|4) + r · (1|2|1) + s · (2|-2|1)
  5. e)Ebene in Parameterform durch A(-2|-1|-1) mit den Spannvektoren (3|2|1) und (3|-2|3)?E: x = (-2|-1|-1) + r · (3|2|1) + s · (3|-2|3)

4Koordinatenform

  1. a)Ebene in Koordinatenform mit Normalenvektor (4|3|4) durch P(-6|1|-1)?E: 4x1 + 3x2 + 4x3 = -25
  2. b)Ebene in Koordinatenform mit Normalenvektor (3|2|3) durch P(4|1|-3)?E: 3x1 + 2x2 + 3x3 = 5
  3. c)Ebene in Koordinatenform mit Normalenvektor (2|3|3) durch P(3|-2|2)?E: 2x1 + 3x2 + 3x3 = 6
  4. d)Ebene in Koordinatenform mit Normalenvektor (3|4|4) durch P(6|-2|6)?E: 3x1 + 4x2 + 4x3 = 34
  5. e)Ebene in Koordinatenform mit Normalenvektor (2|2|4) durch P(-2|0|-1)?E: 2x1 + 2x2 + 4x3 = -8

5Zeichne

  1. a)Skizziere zwei windschiefe Geraden im Raum. Erkläre in einem Satz, woran man rechnerisch erkennt, dass sie windschief sind.
Die Richtungsvektoren sind nicht parallel, und das Gleichungssystem für einen Schnittpunkt hat keine Lösung.
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