Abi-Training: Stochastik

Mathematik · Klasse 12 · mittel

Klasse 12Abiturvorbereitung
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Prüfungsteil Stochastik. Immer notieren, welche Zufallsgröße du betrachtest und wie sie verteilt ist.

1Binomialverteilung anwenden

P(X = k) = C(n;k) · p^k · (1 - p)^(n - k). P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)

  1. a)Ein Versuch mit p = 0,25 wird 8-mal wiederholt. Berechne P(X = 1) und P(X ≥ 1).X ist binomialverteilt mit n = 8 und p = 0,25P(X = 1) = 8 · 0,25^1 · 0,75^7 = 0,267P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,100 = 0,900
  2. b)Ein Versuch mit p = 0,25 wird 6-mal wiederholt. Berechne P(X = 3) und P(X ≥ 1).
  3. c)Ein Versuch mit p = 0,20 wird 9-mal wiederholt. Berechne P(X = 2) und P(X ≥ 1).

2Sigma-Umgebung

E(X) = n · p. σ = √(n · p · (1 - p)). 1σ ≈ 68 %, 2σ ≈ 95 %

  1. a)n = 400, p = 0,50. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.E(X) = n · p = 400 · 0,50 = 200σ = √(n · p · (1 - p)) = √100 = 10Umgebung: 190 bis 210 — darin liegen rund 68 % der Ergebnisse
  2. b)n = 400, p = 0,10. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.
  3. c)n = 100, p = 0,50. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.

Prüfungsteil Stochastik. Immer notieren, welche Zufallsgröße du betrachtest und wie sie verteilt ist.

1Binomialverteilung anwenden

P(X = k) = C(n;k) · p^k · (1 - p)^(n - k). P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)

  1. a)Ein Versuch mit p = 0,25 wird 8-mal wiederholt. Berechne P(X = 1) und P(X ≥ 1).X ist binomialverteilt mit n = 8 und p = 0,25P(X = 1) = 8 · 0,25^1 · 0,75^7 = 0,267P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,100 = 0,900
  2. b)Ein Versuch mit p = 0,25 wird 6-mal wiederholt. Berechne P(X = 3) und P(X ≥ 1).X ist binomialverteilt mit n = 6 und p = 0,25P(X = 3) = 20 · 0,25^3 · 0,75^3 = 0,132P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,178 = 0,822
  3. c)Ein Versuch mit p = 0,20 wird 9-mal wiederholt. Berechne P(X = 2) und P(X ≥ 1).X ist binomialverteilt mit n = 9 und p = 0,20P(X = 2) = 36 · 0,20^2 · 0,80^7 = 0,302P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,134 = 0,866

2Sigma-Umgebung

E(X) = n · p. σ = √(n · p · (1 - p)). 1σ ≈ 68 %, 2σ ≈ 95 %

  1. a)n = 400, p = 0,50. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.E(X) = n · p = 400 · 0,50 = 200σ = √(n · p · (1 - p)) = √100 = 10Umgebung: 190 bis 210 — darin liegen rund 68 % der Ergebnisse
  2. b)n = 400, p = 0,10. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.E(X) = n · p = 400 · 0,10 = 40σ = √(n · p · (1 - p)) = √36 = 6Umgebung: 34 bis 46 — darin liegen rund 68 % der Ergebnisse
  3. c)n = 100, p = 0,50. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.E(X) = n · p = 100 · 0,50 = 50σ = √(n · p · (1 - p)) = √25 = 5Umgebung: 45 bis 55 — darin liegen rund 68 % der Ergebnisse

Prüfungsteil Stochastik. Immer notieren, welche Zufallsgröße du betrachtest und wie sie verteilt ist.

1Binomialverteilung anwenden

P(X = k) = C(n;k) · p^k · (1 - p)^(n - k). P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)

  1. a)Ein Versuch mit p = 0,50 wird 5-mal wiederholt. Berechne P(X = 2) und P(X ≥ 1).X ist binomialverteilt mit n = 5 und p = 0,50P(X = 2) = 10 · 0,50^2 · 0,50^3 = 0,313P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,031 = 0,969
  2. b)Ein Versuch mit p = 0,50 wird 6-mal wiederholt. Berechne P(X = 2) und P(X ≥ 1).
  3. c)Ein Versuch mit p = 0,50 wird 5-mal wiederholt. Berechne P(X = 1) und P(X ≥ 1).

2Sigma-Umgebung

E(X) = n · p. σ = √(n · p · (1 - p)). 1σ ≈ 68 %, 2σ ≈ 95 %

  1. a)n = 64, p = 0,50. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.E(X) = n · p = 64 · 0,50 = 32σ = √(n · p · (1 - p)) = √16 = 4Umgebung: 28 bis 36 — darin liegen rund 68 % der Ergebnisse
  2. b)n = 144, p = 0,50. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.
  3. c)n = 400, p = 0,10. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.

3Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)

  1. a)Von 320 Personen haben 40 das Merkmal A, davon 30 auch B. Berechne P(B|A) und stelle die Vierfeldertafel auf.P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = 30 / 40 = 0,75A und B: 30, A ohne B: 10nicht A: 280, Summe: 320
  2. b)Von 800 Personen haben 80 das Merkmal A, davon 40 auch B. Berechne P(B|A) und stelle die Vierfeldertafel auf.
  3. c)Von 300 Personen haben 60 das Merkmal A, davon 45 auch B. Berechne P(B|A) und stelle die Vierfeldertafel auf.

Prüfungsteil Stochastik. Immer notieren, welche Zufallsgröße du betrachtest und wie sie verteilt ist.

1Binomialverteilung anwenden

P(X = k) = C(n;k) · p^k · (1 - p)^(n - k). P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)

  1. a)Ein Versuch mit p = 0,50 wird 5-mal wiederholt. Berechne P(X = 2) und P(X ≥ 1).X ist binomialverteilt mit n = 5 und p = 0,50P(X = 2) = 10 · 0,50^2 · 0,50^3 = 0,313P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,031 = 0,969
  2. b)Ein Versuch mit p = 0,50 wird 6-mal wiederholt. Berechne P(X = 2) und P(X ≥ 1).X ist binomialverteilt mit n = 6 und p = 0,50P(X = 2) = 15 · 0,50^2 · 0,50^4 = 0,234P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,016 = 0,984
  3. c)Ein Versuch mit p = 0,50 wird 5-mal wiederholt. Berechne P(X = 1) und P(X ≥ 1).X ist binomialverteilt mit n = 5 und p = 0,50P(X = 1) = 5 · 0,50^1 · 0,50^4 = 0,156P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,031 = 0,969

2Sigma-Umgebung

E(X) = n · p. σ = √(n · p · (1 - p)). 1σ ≈ 68 %, 2σ ≈ 95 %

  1. a)n = 64, p = 0,50. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.E(X) = n · p = 64 · 0,50 = 32σ = √(n · p · (1 - p)) = √16 = 4Umgebung: 28 bis 36 — darin liegen rund 68 % der Ergebnisse
  2. b)n = 144, p = 0,50. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.E(X) = n · p = 144 · 0,50 = 72σ = √(n · p · (1 - p)) = √36 = 6Umgebung: 66 bis 78 — darin liegen rund 68 % der Ergebnisse
  3. c)n = 400, p = 0,10. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.E(X) = n · p = 400 · 0,10 = 40σ = √(n · p · (1 - p)) = √36 = 6Umgebung: 34 bis 46 — darin liegen rund 68 % der Ergebnisse

3Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)

  1. a)Von 320 Personen haben 40 das Merkmal A, davon 30 auch B. Berechne P(B|A) und stelle die Vierfeldertafel auf.P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = 30 / 40 = 0,75A und B: 30, A ohne B: 10nicht A: 280, Summe: 320
  2. b)Von 800 Personen haben 80 das Merkmal A, davon 40 auch B. Berechne P(B|A) und stelle die Vierfeldertafel auf.P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = 40 / 80 = 0,50A und B: 40, A ohne B: 40nicht A: 720, Summe: 800
  3. c)Von 300 Personen haben 60 das Merkmal A, davon 45 auch B. Berechne P(B|A) und stelle die Vierfeldertafel auf.P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = 45 / 60 = 0,75A und B: 45, A ohne B: 15nicht A: 240, Summe: 300

Prüfungsteil Stochastik. Immer notieren, welche Zufallsgröße du betrachtest und wie sie verteilt ist.

1Binomialverteilung anwenden

P(X = k) = C(n;k) · p^k · (1 - p)^(n - k). P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)

  1. a)Ein Versuch mit p = 0,20 wird 6-mal wiederholt. Berechne P(X = 1) und P(X ≥ 1).X ist binomialverteilt mit n = 6 und p = 0,20P(X = 1) = 6 · 0,20^1 · 0,80^5 = 0,393P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,262 = 0,738
  2. b)Ein Versuch mit p = 0,25 wird 8-mal wiederholt. Berechne P(X = 1) und P(X ≥ 1).
  3. c)Ein Versuch mit p = 0,50 wird 9-mal wiederholt. Berechne P(X = 3) und P(X ≥ 1).

2Sigma-Umgebung

E(X) = n · p. σ = √(n · p · (1 - p)). 1σ ≈ 68 %, 2σ ≈ 95 %

  1. a)n = 64, p = 0,50. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.E(X) = n · p = 64 · 0,50 = 32σ = √(n · p · (1 - p)) = √16 = 4Umgebung: 28 bis 36 — darin liegen rund 68 % der Ergebnisse
  2. b)n = 100, p = 0,50. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.
  3. c)n = 400, p = 0,10. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.

3Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)

  1. a)Von 640 Personen haben 80 das Merkmal A, davon 20 auch B. Berechne P(B|A) und stelle die Vierfeldertafel auf.P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = 20 / 80 = 0,25A und B: 20, A ohne B: 60nicht A: 560, Summe: 640
  2. b)Von 800 Personen haben 80 das Merkmal A, davon 60 auch B. Berechne P(B|A) und stelle die Vierfeldertafel auf.
  3. c)Von 800 Personen haben 80 das Merkmal A, davon 20 auch B. Berechne P(B|A) und stelle die Vierfeldertafel auf.

4Hypothese prüfen

Verwerfen, wenn das Ergebnis außerhalb von E ± 2σ liegt.

  1. a)Eine Nullhypothese behauptet p = 0,50 bei n = 36. Wie argumentierst du mit der Sigma-Regel gegen sie?E(X) = 18, σ = 32-Sigma-Umgebung: 12 bis 24 — darin liegen rund 95 %Liegt das Ergebnis außerhalb, wird H₀ auf dem 5-Prozent-Niveau verworfen.
  2. b)Eine Nullhypothese behauptet p = 0,50 bei n = 400. Wie argumentierst du mit der Sigma-Regel gegen sie?

5Knobelaufgabe

Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.

  1. a)Eine Firma behauptet, höchstens 3 % ihrer Teile seien defekt. In einer Stichprobe von 500 Teilen sind 24 defekt. Argumentiere, ob die Behauptung haltbar ist.

Prüfungsteil Stochastik. Immer notieren, welche Zufallsgröße du betrachtest und wie sie verteilt ist.

1Binomialverteilung anwenden

P(X = k) = C(n;k) · p^k · (1 - p)^(n - k). P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)

  1. a)Ein Versuch mit p = 0,20 wird 6-mal wiederholt. Berechne P(X = 1) und P(X ≥ 1).X ist binomialverteilt mit n = 6 und p = 0,20P(X = 1) = 6 · 0,20^1 · 0,80^5 = 0,393P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,262 = 0,738
  2. b)Ein Versuch mit p = 0,25 wird 8-mal wiederholt. Berechne P(X = 1) und P(X ≥ 1).X ist binomialverteilt mit n = 8 und p = 0,25P(X = 1) = 8 · 0,25^1 · 0,75^7 = 0,267P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,100 = 0,900
  3. c)Ein Versuch mit p = 0,50 wird 9-mal wiederholt. Berechne P(X = 3) und P(X ≥ 1).X ist binomialverteilt mit n = 9 und p = 0,50P(X = 3) = 84 · 0,50^3 · 0,50^6 = 0,164P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,002 = 0,998

2Sigma-Umgebung

E(X) = n · p. σ = √(n · p · (1 - p)). 1σ ≈ 68 %, 2σ ≈ 95 %

  1. a)n = 64, p = 0,50. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.E(X) = n · p = 64 · 0,50 = 32σ = √(n · p · (1 - p)) = √16 = 4Umgebung: 28 bis 36 — darin liegen rund 68 % der Ergebnisse
  2. b)n = 100, p = 0,50. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.E(X) = n · p = 100 · 0,50 = 50σ = √(n · p · (1 - p)) = √25 = 5Umgebung: 45 bis 55 — darin liegen rund 68 % der Ergebnisse
  3. c)n = 400, p = 0,10. Bestimme Erwartungswert, Standardabweichung und die 1-Sigma-Umgebung.E(X) = n · p = 400 · 0,10 = 40σ = √(n · p · (1 - p)) = √36 = 6Umgebung: 34 bis 46 — darin liegen rund 68 % der Ergebnisse

3Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)

  1. a)Von 640 Personen haben 80 das Merkmal A, davon 20 auch B. Berechne P(B|A) und stelle die Vierfeldertafel auf.P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = 20 / 80 = 0,25A und B: 20, A ohne B: 60nicht A: 560, Summe: 640
  2. b)Von 800 Personen haben 80 das Merkmal A, davon 60 auch B. Berechne P(B|A) und stelle die Vierfeldertafel auf.P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = 60 / 80 = 0,75A und B: 60, A ohne B: 20nicht A: 720, Summe: 800
  3. c)Von 800 Personen haben 80 das Merkmal A, davon 20 auch B. Berechne P(B|A) und stelle die Vierfeldertafel auf.P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = 20 / 80 = 0,25A und B: 20, A ohne B: 60nicht A: 720, Summe: 800

4Hypothese prüfen

Verwerfen, wenn das Ergebnis außerhalb von E ± 2σ liegt.

  1. a)Eine Nullhypothese behauptet p = 0,50 bei n = 36. Wie argumentierst du mit der Sigma-Regel gegen sie?E(X) = 18, σ = 32-Sigma-Umgebung: 12 bis 24 — darin liegen rund 95 %Liegt das Ergebnis außerhalb, wird H₀ auf dem 5-Prozent-Niveau verworfen.
  2. b)Eine Nullhypothese behauptet p = 0,50 bei n = 400. Wie argumentierst du mit der Sigma-Regel gegen sie?E(X) = 200, σ = 102-Sigma-Umgebung: 180 bis 220 — darin liegen rund 95 %Liegt das Ergebnis außerhalb, wird H₀ auf dem 5-Prozent-Niveau verworfen.

5Knobelaufgabe

Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.

  1. a)Eine Firma behauptet, höchstens 3 % ihrer Teile seien defekt. In einer Stichprobe von 500 Teilen sind 24 defekt. Argumentiere, ob die Behauptung haltbar ist.Erwartet wären 15 Teile, Sigma = 3,81. Der Wert 24 liegt 2,4 Sigma darüber, also außerhalb des 2-Sigma-Bereichs. Die Behauptung ist auf dem 5-Prozent-Niveau zu verwerfen.
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