Abi-Training: Analytische Geometrie

Mathematik · Klasse 12 · mittel

Klasse 12Abiturvorbereitung
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Prüfungsteil Analytische Geometrie. Skizze hilft, auch wenn sie nicht verlangt ist.

1Gerade und Abstand

g: x = a + t · (b - a). |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²)

  1. a)A(4|4|3), B(5|0|11). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.Richtungsvektor: AB = B - A = (1|-4|8)g: x = (4|4|3) + t · (1|-4|8)|AB| = √(1 + 16 + 64) = √81 = 9
  2. b)A(3|-6|-5), B(2|-4|-3). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.
  3. c)A(-2|-4|3), B(4|2|10). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.

2Spurpunkte einer Ebene

Spurpunkt auf einer Achse: die beiden anderen Koordinaten null setzen.

  1. a)Ebene E: 2x1 + x2 + 2x3 = 8. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.x₂ = x₃ = 0: 2x₁ = 8 → S₁(4|0|0)x₁ = x₃ = 0: 1x₂ = 8 → S₂(0|8|0)x₁ = x₂ = 0: 2x₃ = 8 → S₃(0|0|4)
  2. b)Ebene E: 3x1 + 2x2 + x3 = 6. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.
  3. c)Ebene E: 3x1 + x2 + 4x3 = 36. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.

Prüfungsteil Analytische Geometrie. Skizze hilft, auch wenn sie nicht verlangt ist.

1Gerade und Abstand

g: x = a + t · (b - a). |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²)

  1. a)A(4|4|3), B(5|0|11). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.Richtungsvektor: AB = B - A = (1|-4|8)g: x = (4|4|3) + t · (1|-4|8)|AB| = √(1 + 16 + 64) = √81 = 9
  2. b)A(3|-6|-5), B(2|-4|-3). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.Richtungsvektor: AB = B - A = (-1|2|2)g: x = (3|-6|-5) + t · (-1|2|2)|AB| = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3
  3. c)A(-2|-4|3), B(4|2|10). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.Richtungsvektor: AB = B - A = (6|6|7)g: x = (-2|-4|3) + t · (6|6|7)|AB| = √(36 + 36 + 49) = √121 = 11

2Spurpunkte einer Ebene

Spurpunkt auf einer Achse: die beiden anderen Koordinaten null setzen.

  1. a)Ebene E: 2x1 + x2 + 2x3 = 8. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.x₂ = x₃ = 0: 2x₁ = 8 → S₁(4|0|0)x₁ = x₃ = 0: 1x₂ = 8 → S₂(0|8|0)x₁ = x₂ = 0: 2x₃ = 8 → S₃(0|0|4)
  2. b)Ebene E: 3x1 + 2x2 + x3 = 6. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.x₂ = x₃ = 0: 3x₁ = 6 → S₁(2|0|0)x₁ = x₃ = 0: 2x₂ = 6 → S₂(0|3|0)x₁ = x₂ = 0: 1x₃ = 6 → S₃(0|0|6)
  3. c)Ebene E: 3x1 + x2 + 4x3 = 36. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.x₂ = x₃ = 0: 3x₁ = 36 → S₁(12|0|0)x₁ = x₃ = 0: 1x₂ = 36 → S₂(0|36|0)x₁ = x₂ = 0: 4x₃ = 36 → S₃(0|0|9)

Prüfungsteil Analytische Geometrie. Skizze hilft, auch wenn sie nicht verlangt ist.

1Gerade und Abstand

g: x = a + t · (b - a). |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²)

  1. a)A(2|3|6), B(0|6|12). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.Richtungsvektor: AB = B - A = (-2|3|6)g: x = (2|3|6) + t · (-2|3|6)|AB| = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7
  2. b)A(5|-3|0), B(4|-1|2). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.
  3. c)A(3|-3|4), B(2|-1|6). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.

2Spurpunkte einer Ebene

Spurpunkt auf einer Achse: die beiden anderen Koordinaten null setzen.

  1. a)Ebene E: 3x1 + x2 + 2x3 = 6. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.x₂ = x₃ = 0: 3x₁ = 6 → S₁(2|0|0)x₁ = x₃ = 0: 1x₂ = 6 → S₂(0|6|0)x₁ = x₂ = 0: 2x₃ = 6 → S₃(0|0|3)
  2. b)Ebene E: 2x1 + 2x2 + 2x3 = 16. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.
  3. c)Ebene E: 3x1 + 2x2 + 2x3 = 24. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.

3Abstand Punkt zu Ebene

d = |n · p - d₀| / |n| (Hessesche Normalform)

  1. a)Bestimme den Abstand von P(-4|1|-4) zur Ebene x1 + 2x2 + 2x3 = -25.|n| = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3n · p - d = 1·-4 + 2·1 + 2·-4 - -25 = 15Abstand = 15 / 3 = 5
  2. b)Bestimme den Abstand von P(1|0|-4) zur Ebene 4x1 + 4x2 + 7x3 = -42.
  3. c)Bestimme den Abstand von P(-6|-5|6) zur Ebene 2x1 + 3x2 + 6x3 = -12.

Prüfungsteil Analytische Geometrie. Skizze hilft, auch wenn sie nicht verlangt ist.

1Gerade und Abstand

g: x = a + t · (b - a). |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²)

  1. a)A(2|3|6), B(0|6|12). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.Richtungsvektor: AB = B - A = (-2|3|6)g: x = (2|3|6) + t · (-2|3|6)|AB| = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7
  2. b)A(5|-3|0), B(4|-1|2). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.Richtungsvektor: AB = B - A = (-1|2|2)g: x = (5|-3|0) + t · (-1|2|2)|AB| = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3
  3. c)A(3|-3|4), B(2|-1|6). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.Richtungsvektor: AB = B - A = (-1|2|2)g: x = (3|-3|4) + t · (-1|2|2)|AB| = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3

2Spurpunkte einer Ebene

Spurpunkt auf einer Achse: die beiden anderen Koordinaten null setzen.

  1. a)Ebene E: 3x1 + x2 + 2x3 = 6. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.x₂ = x₃ = 0: 3x₁ = 6 → S₁(2|0|0)x₁ = x₃ = 0: 1x₂ = 6 → S₂(0|6|0)x₁ = x₂ = 0: 2x₃ = 6 → S₃(0|0|3)
  2. b)Ebene E: 2x1 + 2x2 + 2x3 = 16. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.x₂ = x₃ = 0: 2x₁ = 16 → S₁(8|0|0)x₁ = x₃ = 0: 2x₂ = 16 → S₂(0|8|0)x₁ = x₂ = 0: 2x₃ = 16 → S₃(0|0|8)
  3. c)Ebene E: 3x1 + 2x2 + 2x3 = 24. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.x₂ = x₃ = 0: 3x₁ = 24 → S₁(8|0|0)x₁ = x₃ = 0: 2x₂ = 24 → S₂(0|12|0)x₁ = x₂ = 0: 2x₃ = 24 → S₃(0|0|12)

3Abstand Punkt zu Ebene

d = |n · p - d₀| / |n| (Hessesche Normalform)

  1. a)Bestimme den Abstand von P(-4|1|-4) zur Ebene x1 + 2x2 + 2x3 = -25.|n| = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3n · p - d = 1·-4 + 2·1 + 2·-4 - -25 = 15Abstand = 15 / 3 = 5
  2. b)Bestimme den Abstand von P(1|0|-4) zur Ebene 4x1 + 4x2 + 7x3 = -42.|n| = √(16 + 16 + 49) = √81 = 9n · p - d = 4·1 + 4·0 + 7·-4 - -42 = 18Abstand = 18 / 9 = 2
  3. c)Bestimme den Abstand von P(-6|-5|6) zur Ebene 2x1 + 3x2 + 6x3 = -12.|n| = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7n · p - d = 2·-6 + 3·-5 + 6·6 - -12 = 21Abstand = 21 / 7 = 3

Prüfungsteil Analytische Geometrie. Skizze hilft, auch wenn sie nicht verlangt ist.

1Gerade und Abstand

g: x = a + t · (b - a). |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²)

  1. a)A(2|-4|-5), B(8|-10|2). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.Richtungsvektor: AB = B - A = (6|-6|7)g: x = (2|-4|-5) + t · (6|-6|7)|AB| = √(36 + 36 + 49) = √121 = 11
  2. b)A(-4|-1|1), B(-5|-3|3). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.
  3. c)A(-4|-3|-4), B(-2|0|2). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.

2Spurpunkte einer Ebene

Spurpunkt auf einer Achse: die beiden anderen Koordinaten null setzen.

  1. a)Ebene E: 3x1 + x2 + 4x3 = 36. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.x₂ = x₃ = 0: 3x₁ = 36 → S₁(12|0|0)x₁ = x₃ = 0: 1x₂ = 36 → S₂(0|36|0)x₁ = x₂ = 0: 4x₃ = 36 → S₃(0|0|9)
  2. b)Ebene E: 2x1 + x2 + x3 = 4. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.
  3. c)Ebene E: 2x1 + x2 + 2x3 = 12. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.

3Abstand Punkt zu Ebene

d = |n · p - d₀| / |n| (Hessesche Normalform)

  1. a)Bestimme den Abstand von P(4|-3|-1) zur Ebene 2x1 + 6x2 + 9x3 = -63.|n| = √(4 + 36 + 81) = √121 = 11n · p - d = 2·4 + 6·-3 + 9·-1 - -63 = 44Abstand = 44 / 11 = 4
  2. b)Bestimme den Abstand von P(6|-6|2) zur Ebene 2x1 + 6x2 + 9x3 = -61.
  3. c)Bestimme den Abstand von P(1|0|3) zur Ebene 2x1 + 3x2 + 6x3 = -8.

4Körper im Raum

Pyramide: V = (1/3) · G · h

  1. a)Eine Pyramide hat die Grundfläche mit den Ecken (0|0|0), (8|0|0), (8|8|0), (0|8|0) und die Spitze (4|4|6). Berechne das Volumen.Grundfläche: G = 8 · 8 = 64Höhe: h = 6 (die x₃-Koordinate der Spitze)V = (1/3) · 64 · 6 = 128
  2. b)Eine Pyramide hat die Grundfläche mit den Ecken (0|0|0), (6|0|0), (6|6|0), (0|6|0) und die Spitze (3|3|6). Berechne das Volumen.

5Zeichne

  1. a)Skizziere eine dreiseitige Pyramide mit den Ecken (0|0|0), (4|0|0), (0|4|0) und (0|0|6). Beschreibe, wie du ihr Volumen und den Winkel zwischen Grundfläche und einer Seitenfläche bestimmst.

Prüfungsteil Analytische Geometrie. Skizze hilft, auch wenn sie nicht verlangt ist.

1Gerade und Abstand

g: x = a + t · (b - a). |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²)

  1. a)A(2|-4|-5), B(8|-10|2). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.Richtungsvektor: AB = B - A = (6|-6|7)g: x = (2|-4|-5) + t · (6|-6|7)|AB| = √(36 + 36 + 49) = √121 = 11
  2. b)A(-4|-1|1), B(-5|-3|3). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.Richtungsvektor: AB = B - A = (-1|-2|2)g: x = (-4|-1|1) + t · (-1|-2|2)|AB| = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3
  3. c)A(-4|-3|-4), B(-2|0|2). Bestimme die Gerade durch A und B und den Abstand der beiden Punkte.Richtungsvektor: AB = B - A = (2|3|6)g: x = (-4|-3|-4) + t · (2|3|6)|AB| = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7

2Spurpunkte einer Ebene

Spurpunkt auf einer Achse: die beiden anderen Koordinaten null setzen.

  1. a)Ebene E: 3x1 + x2 + 4x3 = 36. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.x₂ = x₃ = 0: 3x₁ = 36 → S₁(12|0|0)x₁ = x₃ = 0: 1x₂ = 36 → S₂(0|36|0)x₁ = x₂ = 0: 4x₃ = 36 → S₃(0|0|9)
  2. b)Ebene E: 2x1 + x2 + x3 = 4. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.x₂ = x₃ = 0: 2x₁ = 4 → S₁(2|0|0)x₁ = x₃ = 0: 1x₂ = 4 → S₂(0|4|0)x₁ = x₂ = 0: 1x₃ = 4 → S₃(0|0|4)
  3. c)Ebene E: 2x1 + x2 + 2x3 = 12. Bestimme die Spurpunkte auf den Achsen.x₂ = x₃ = 0: 2x₁ = 12 → S₁(6|0|0)x₁ = x₃ = 0: 1x₂ = 12 → S₂(0|12|0)x₁ = x₂ = 0: 2x₃ = 12 → S₃(0|0|6)

3Abstand Punkt zu Ebene

d = |n · p - d₀| / |n| (Hessesche Normalform)

  1. a)Bestimme den Abstand von P(4|-3|-1) zur Ebene 2x1 + 6x2 + 9x3 = -63.|n| = √(4 + 36 + 81) = √121 = 11n · p - d = 2·4 + 6·-3 + 9·-1 - -63 = 44Abstand = 44 / 11 = 4
  2. b)Bestimme den Abstand von P(6|-6|2) zur Ebene 2x1 + 6x2 + 9x3 = -61.|n| = √(4 + 36 + 81) = √121 = 11n · p - d = 2·6 + 6·-6 + 9·2 - -61 = 55Abstand = 55 / 11 = 5
  3. c)Bestimme den Abstand von P(1|0|3) zur Ebene 2x1 + 3x2 + 6x3 = -8.|n| = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7n · p - d = 2·1 + 3·0 + 6·3 - -8 = 28Abstand = 28 / 7 = 4

4Körper im Raum

Pyramide: V = (1/3) · G · h

  1. a)Eine Pyramide hat die Grundfläche mit den Ecken (0|0|0), (8|0|0), (8|8|0), (0|8|0) und die Spitze (4|4|6). Berechne das Volumen.Grundfläche: G = 8 · 8 = 64Höhe: h = 6 (die x₃-Koordinate der Spitze)V = (1/3) · 64 · 6 = 128
  2. b)Eine Pyramide hat die Grundfläche mit den Ecken (0|0|0), (6|0|0), (6|6|0), (0|6|0) und die Spitze (3|3|6). Berechne das Volumen.Grundfläche: G = 6 · 6 = 36Höhe: h = 6 (die x₃-Koordinate der Spitze)V = (1/3) · 36 · 6 = 72

5Zeichne

  1. a)Skizziere eine dreiseitige Pyramide mit den Ecken (0|0|0), (4|0|0), (0|4|0) und (0|0|6). Beschreibe, wie du ihr Volumen und den Winkel zwischen Grundfläche und einer Seitenfläche bestimmst.
V = 1/3 · Grundfläche · Höhe = 1/3 · 8 · 6 = 16. Den Winkel bekommt man über die Normalenvektoren der beiden Ebenen und das Skalarprodukt.
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