Zufallsgrößen und Erwartungswert

Mathematik · Klasse 11 · mittel

Klasse 11
Name: Datum:
Ausdrucken Speichern

Der Erwartungswert ist die Summe aus Wert mal Wahrscheinlichkeit. Ein Spiel ist fair, wenn er null ist.

1Erwartungswert beim Spiel

  1. a)Ein Spiel kostet 6 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/5 gewinnt man 9 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?E = 9 · 1/5 - 6 · 4/5 = -3,00 Euro
  2. b)Ein Spiel kostet 2 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/10 gewinnt man 6 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?
  3. c)Ein Spiel kostet 6 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/10 gewinnt man 9 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?
  4. d)Ein Spiel kostet 2 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/4 gewinnt man 12 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?
  5. e)Ein Spiel kostet 9 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/5 gewinnt man 12 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?

2Erwartungswert aus Werten

  1. a)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 1, 2, 1 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?E = (1 + 2 + 1) / 3 = 1,33
  2. b)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 6, 6, 4 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?
  3. c)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 5, 5, 2 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?
  4. d)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 6, 6, 1 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?
  5. e)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 5, 6, 1 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?

Der Erwartungswert ist die Summe aus Wert mal Wahrscheinlichkeit. Ein Spiel ist fair, wenn er null ist.

1Erwartungswert beim Spiel

  1. a)Ein Spiel kostet 6 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/5 gewinnt man 9 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?E = 9 · 1/5 - 6 · 4/5 = -3,00 Euro
  2. b)Ein Spiel kostet 2 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/10 gewinnt man 6 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?E = 6 · 1/10 - 2 · 9/10 = -1,20 Euro
  3. c)Ein Spiel kostet 6 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/10 gewinnt man 9 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?E = 9 · 1/10 - 6 · 9/10 = -4,50 Euro
  4. d)Ein Spiel kostet 2 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/4 gewinnt man 12 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?E = 12 · 1/4 - 2 · 3/4 = 1,50 Euro
  5. e)Ein Spiel kostet 9 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/5 gewinnt man 12 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?E = 12 · 1/5 - 9 · 4/5 = -4,80 Euro

2Erwartungswert aus Werten

  1. a)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 1, 2, 1 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?E = (1 + 2 + 1) / 3 = 1,33
  2. b)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 6, 6, 4 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?E = (6 + 6 + 4) / 3 = 5,33
  3. c)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 5, 5, 2 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?E = (5 + 5 + 2) / 3 = 4,00
  4. d)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 6, 6, 1 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?E = (6 + 6 + 1) / 3 = 4,33
  5. e)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 5, 6, 1 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?E = (5 + 6 + 1) / 3 = 4,00

Der Erwartungswert ist die Summe aus Wert mal Wahrscheinlichkeit. Ein Spiel ist fair, wenn er null ist.

1Erwartungswert beim Spiel

  1. a)Ein Spiel kostet 9 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/10 gewinnt man 6 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?E = 6 · 1/10 - 9 · 9/10 = -7,50 Euro
  2. b)Ein Spiel kostet 4 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/5 gewinnt man 3 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?
  3. c)Ein Spiel kostet 4 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/5 gewinnt man 2 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?
  4. d)Ein Spiel kostet 6 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/2 gewinnt man 10 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?
  5. e)Ein Spiel kostet 4 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/5 gewinnt man 4 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?

2Erwartungswert aus Werten

  1. a)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 6, 3, 2 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?E = (6 + 3 + 2) / 3 = 3,67
  2. b)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 5, 1, 4 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?
  3. c)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 1, 6, 3 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?
  4. d)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 3, 4, 1 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?
  5. e)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 3, 5, 2 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?

3Faires Spiel

  1. a)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 1 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?Fair heißt E = 0: G · 1/4 = 1 · 3/4, also G = 3 Euro (zusätzlich zum Einsatz).
  2. b)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 3 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?
  3. c)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 2 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?
  4. d)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 5 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?

Der Erwartungswert ist die Summe aus Wert mal Wahrscheinlichkeit. Ein Spiel ist fair, wenn er null ist.

1Erwartungswert beim Spiel

  1. a)Ein Spiel kostet 9 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/10 gewinnt man 6 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?E = 6 · 1/10 - 9 · 9/10 = -7,50 Euro
  2. b)Ein Spiel kostet 4 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/5 gewinnt man 3 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?E = 3 · 1/5 - 4 · 4/5 = -2,60 Euro
  3. c)Ein Spiel kostet 4 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/5 gewinnt man 2 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?E = 2 · 1/5 - 4 · 4/5 = -2,80 Euro
  4. d)Ein Spiel kostet 6 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/2 gewinnt man 10 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?E = 10 · 1/2 - 6 · 1/2 = 2,00 Euro
  5. e)Ein Spiel kostet 4 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/5 gewinnt man 4 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?E = 4 · 1/5 - 4 · 4/5 = -2,40 Euro

2Erwartungswert aus Werten

  1. a)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 6, 3, 2 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?E = (6 + 3 + 2) / 3 = 3,67
  2. b)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 5, 1, 4 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?E = (5 + 1 + 4) / 3 = 3,33
  3. c)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 1, 6, 3 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?E = (1 + 6 + 3) / 3 = 3,33
  4. d)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 3, 4, 1 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?E = (3 + 4 + 1) / 3 = 2,67
  5. e)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 3, 5, 2 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?E = (3 + 5 + 2) / 3 = 3,33

3Faires Spiel

  1. a)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 1 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?Fair heißt E = 0: G · 1/4 = 1 · 3/4, also G = 3 Euro (zusätzlich zum Einsatz).
  2. b)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 3 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?Fair heißt E = 0: G · 1/4 = 3 · 3/4, also G = 9 Euro (zusätzlich zum Einsatz).
  3. c)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 2 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?Fair heißt E = 0: G · 1/4 = 2 · 3/4, also G = 6 Euro (zusätzlich zum Einsatz).
  4. d)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 5 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?Fair heißt E = 0: G · 1/4 = 5 · 3/4, also G = 15 Euro (zusätzlich zum Einsatz).

Der Erwartungswert ist die Summe aus Wert mal Wahrscheinlichkeit. Ein Spiel ist fair, wenn er null ist.

1Erwartungswert beim Spiel

  1. a)Ein Spiel kostet 9 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/4 gewinnt man 8 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?E = 8 · 1/4 - 9 · 3/4 = -4,75 Euro
  2. b)Ein Spiel kostet 4 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/10 gewinnt man 11 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?
  3. c)Ein Spiel kostet 6 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/4 gewinnt man 10 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?
  4. d)Ein Spiel kostet 8 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/4 gewinnt man 3 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?
  5. e)Ein Spiel kostet 4 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/10 gewinnt man 8 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?

2Erwartungswert aus Werten

  1. a)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 6, 2, 5 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?E = (6 + 2 + 5) / 3 = 4,33
  2. b)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 1, 1, 1 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?
  3. c)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 6, 1, 2 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?
  4. d)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 1, 2, 3 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?
  5. e)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 6, 1, 3 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?

3Faires Spiel

  1. a)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 2 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?Fair heißt E = 0: G · 1/4 = 2 · 3/4, also G = 6 Euro (zusätzlich zum Einsatz).
  2. b)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 4 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?
  3. c)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 3 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?
  4. d)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 1 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?

4Varianz und Standardabweichung

  1. a)Eine Zufallsgröße nimmt 3 und 8 mit je 1/2 an. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung?E = 5,5, Var = 6,25, Standardabweichung = 2,500
  2. b)Eine Zufallsgröße nimmt 4 und 10 mit je 1/2 an. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung?
  3. c)Eine Zufallsgröße nimmt 1 und 6 mit je 1/2 an. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung?
  4. d)Eine Zufallsgröße nimmt 3 und 9 mit je 1/2 an. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung?

5Knobelaufgabe

Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.

  1. a)Entwirf ein Würfelspiel mit Einsatz und Gewinn, das für den Anbieter im Schnitt 0,50 € pro Spiel abwirft. Zeige die Rechnung.

Der Erwartungswert ist die Summe aus Wert mal Wahrscheinlichkeit. Ein Spiel ist fair, wenn er null ist.

1Erwartungswert beim Spiel

  1. a)Ein Spiel kostet 9 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/4 gewinnt man 8 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?E = 8 · 1/4 - 9 · 3/4 = -4,75 Euro
  2. b)Ein Spiel kostet 4 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/10 gewinnt man 11 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?E = 11 · 1/10 - 4 · 9/10 = -2,50 Euro
  3. c)Ein Spiel kostet 6 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/4 gewinnt man 10 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?E = 10 · 1/4 - 6 · 3/4 = -2,00 Euro
  4. d)Ein Spiel kostet 8 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/4 gewinnt man 3 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?E = 3 · 1/4 - 8 · 3/4 = -5,25 Euro
  5. e)Ein Spiel kostet 4 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 1/10 gewinnt man 8 Euro, sonst nichts. Erwartungswert des Gewinns?E = 8 · 1/10 - 4 · 9/10 = -2,80 Euro

2Erwartungswert aus Werten

  1. a)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 6, 2, 5 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?E = (6 + 2 + 5) / 3 = 4,33
  2. b)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 1, 1, 1 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?E = (1 + 1 + 1) / 3 = 1,00
  3. c)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 6, 1, 2 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?E = (6 + 1 + 2) / 3 = 3,00
  4. d)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 1, 2, 3 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?E = (1 + 2 + 3) / 3 = 2,00
  5. e)Eine Zufallsgröße nimmt die Werte 6, 1, 3 mit je der Wahrscheinlichkeit 1/3 an. Erwartungswert?E = (6 + 1 + 3) / 3 = 3,33

3Faires Spiel

  1. a)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 2 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?Fair heißt E = 0: G · 1/4 = 2 · 3/4, also G = 6 Euro (zusätzlich zum Einsatz).
  2. b)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 4 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?Fair heißt E = 0: G · 1/4 = 4 · 3/4, also G = 12 Euro (zusätzlich zum Einsatz).
  3. c)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 3 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?Fair heißt E = 0: G · 1/4 = 3 · 3/4, also G = 9 Euro (zusätzlich zum Einsatz).
  4. d)Bei welchem Gewinn wäre ein Spiel mit Einsatz 1 Euro und Gewinnwahrscheinlichkeit 1/4 fair?Fair heißt E = 0: G · 1/4 = 1 · 3/4, also G = 3 Euro (zusätzlich zum Einsatz).

4Varianz und Standardabweichung

  1. a)Eine Zufallsgröße nimmt 3 und 8 mit je 1/2 an. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung?E = 5,5, Var = 6,25, Standardabweichung = 2,500
  2. b)Eine Zufallsgröße nimmt 4 und 10 mit je 1/2 an. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung?E = 7,0, Var = 9,00, Standardabweichung = 3,000
  3. c)Eine Zufallsgröße nimmt 1 und 6 mit je 1/2 an. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung?E = 3,5, Var = 6,25, Standardabweichung = 2,500
  4. d)Eine Zufallsgröße nimmt 3 und 9 mit je 1/2 an. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung?E = 6,0, Var = 9,00, Standardabweichung = 3,000

5Knobelaufgabe

Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.

  1. a)Entwirf ein Würfelspiel mit Einsatz und Gewinn, das für den Anbieter im Schnitt 0,50 € pro Spiel abwirft. Zeige die Rechnung.Zum Beispiel Einsatz 2 €, bei einer 6 gibt es 9 € zurück. Erwartungswert für den Spieler: 9 · 1/6 - 2 = -0,50 €, also 0,50 € für den Anbieter.
vitus-tutoring.de Arbeitsblätter Impressum Datenschutz