Vitus
Vektoren im Raum
Mathematik · Klasse 11 · mittel
Klasse 11
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Ein Vektor von A nach B ist B minus A. Der Betrag ist √(x² + y² + z²).
1 Verbindungsvektora) A(0|-6|-1), B(5|-6|-2). Vektor von A nach B? AB = B - A = (5|0|-1) b) A(5|1|-3), B(6|-2|5). Vektor von A nach B? c) A(4|-2|-6), B(5|-1|1). Vektor von A nach B? d) A(-2|6|6), B(-1|2|2). Vektor von A nach B? e) A(5|4|5), B(4|-6|5). Vektor von A nach B? f) A(-5|-2|4), B(-2|1|4). Vektor von A nach B? 2 Betraga) Betrag des Vektors (-2|6|9)? √(4 + 36 + 81) = √121 = 11 b) Betrag des Vektors (1|2|2)? c) Betrag des Vektors (-1|4|8)? d) Betrag des Vektors (-2|3|6)? e) Betrag des Vektors (4|4|7)? f) Betrag des Vektors (1|4|8)?
Ein Vektor von A nach B ist B minus A. Der Betrag ist √(x² + y² + z²).
1 Verbindungsvektora) A(0|-6|-1), B(5|-6|-2). Vektor von A nach B? AB = B - A = (5|0|-1) b) A(5|1|-3), B(6|-2|5). Vektor von A nach B? AB = B - A = (1|-3|8) c) A(4|-2|-6), B(5|-1|1). Vektor von A nach B? AB = B - A = (1|1|7) d) A(-2|6|6), B(-1|2|2). Vektor von A nach B? AB = B - A = (1|-4|-4) e) A(5|4|5), B(4|-6|5). Vektor von A nach B? AB = B - A = (-1|-10|0) f) A(-5|-2|4), B(-2|1|4). Vektor von A nach B? AB = B - A = (3|3|0) 2 Betraga) Betrag des Vektors (-2|6|9)? √(4 + 36 + 81) = √121 = 11 b) Betrag des Vektors (1|2|2)? √(1 + 4 + 4) = √9 = 3 c) Betrag des Vektors (-1|4|8)? √(1 + 16 + 64) = √81 = 9 d) Betrag des Vektors (-2|3|6)? √(4 + 9 + 36) = √49 = 7 e) Betrag des Vektors (4|4|7)? √(16 + 16 + 49) = √81 = 9 f) Betrag des Vektors (1|4|8)? √(1 + 16 + 64) = √81 = 9
Ein Vektor von A nach B ist B minus A. Der Betrag ist √(x² + y² + z²).
1 Verbindungsvektora) A(3|-6|4), B(-5|6|-6). Vektor von A nach B? AB = B - A = (-8|12|-10) b) A(4|-1|6), B(-6|2|-6). Vektor von A nach B? c) A(5|-6|-5), B(0|-1|5). Vektor von A nach B? d) A(0|-3|5), B(-6|-3|-4). Vektor von A nach B? e) A(5|-5|-2), B(0|2|-4). Vektor von A nach B? f) A(-6|5|-6), B(5|-2|-6). Vektor von A nach B? 2 Betraga) Betrag des Vektors (-1|2|2)? √(1 + 4 + 4) = √9 = 3 b) Betrag des Vektors (1|2|2)? c) Betrag des Vektors (4|4|7)? d) Betrag des Vektors (-2|3|6)? e) Betrag des Vektors (2|3|6)? f) Betrag des Vektors (-2|6|9)? 3 Addieren und streckena) (-2|-4|-4) + 2 · (-3|6|1) = Komponentenweise rechnen: (-8|8|-2) b) (2|0|6) + 3 · (-4|0|5) = c) (4|-4|6) + 3 · (4|0|-5) = d) (-5|-5|1) + 3 · (-5|-3|-2) = e) (4|5|-4) + 4 · (4|2|5) =
Ein Vektor von A nach B ist B minus A. Der Betrag ist √(x² + y² + z²).
1 Verbindungsvektora) A(3|-6|4), B(-5|6|-6). Vektor von A nach B? AB = B - A = (-8|12|-10) b) A(4|-1|6), B(-6|2|-6). Vektor von A nach B? AB = B - A = (-10|3|-12) c) A(5|-6|-5), B(0|-1|5). Vektor von A nach B? AB = B - A = (-5|5|10) d) A(0|-3|5), B(-6|-3|-4). Vektor von A nach B? AB = B - A = (-6|0|-9) e) A(5|-5|-2), B(0|2|-4). Vektor von A nach B? AB = B - A = (-5|7|-2) f) A(-6|5|-6), B(5|-2|-6). Vektor von A nach B? AB = B - A = (11|-7|0) 2 Betraga) Betrag des Vektors (-1|2|2)? √(1 + 4 + 4) = √9 = 3 b) Betrag des Vektors (1|2|2)? √(1 + 4 + 4) = √9 = 3 c) Betrag des Vektors (4|4|7)? √(16 + 16 + 49) = √81 = 9 d) Betrag des Vektors (-2|3|6)? √(4 + 9 + 36) = √49 = 7 e) Betrag des Vektors (2|3|6)? √(4 + 9 + 36) = √49 = 7 f) Betrag des Vektors (-2|6|9)? √(4 + 36 + 81) = √121 = 11 3 Addieren und streckena) (-2|-4|-4) + 2 · (-3|6|1) = Komponentenweise rechnen: (-8|8|-2) b) (2|0|6) + 3 · (-4|0|5) = Komponentenweise rechnen: (-10|0|21) c) (4|-4|6) + 3 · (4|0|-5) = Komponentenweise rechnen: (16|-4|-9) d) (-5|-5|1) + 3 · (-5|-3|-2) = Komponentenweise rechnen: (-20|-14|-5) e) (4|5|-4) + 4 · (4|2|5) = Komponentenweise rechnen: (20|13|16)
Ein Vektor von A nach B ist B minus A. Der Betrag ist √(x² + y² + z²).
1 Verbindungsvektora) A(-6|-2|-4), B(1|4|5). Vektor von A nach B? AB = B - A = (7|6|9) b) A(-2|0|4), B(0|6|2). Vektor von A nach B? c) A(-6|-3|6), B(5|-6|-4). Vektor von A nach B? d) A(4|0|-6), B(5|2|-4). Vektor von A nach B? e) A(-2|4|-3), B(-3|-1|-3). Vektor von A nach B? f) A(-6|0|6), B(2|1|4). Vektor von A nach B? 2 Betraga) Betrag des Vektors (-2|3|6)? √(4 + 9 + 36) = √49 = 7 b) Betrag des Vektors (2|3|6)? c) Betrag des Vektors (-4|4|7)? d) Betrag des Vektors (2|6|9)? e) Betrag des Vektors (1|2|2)? f) Betrag des Vektors (3|4|12)? 3 Addieren und streckena) (-1|-3|4) + 3 · (3|1|-2) = Komponentenweise rechnen: (8|0|-2) b) (0|-5|-4) + 4 · (6|2|5) = c) (-3|-4|0) + 3 · (-2|1|6) = d) (5|3|1) + 3 · (4|0|3) = e) (-2|-5|0) + 3 · (6|2|4) = 4 Kollinearität prüfena) Sind (2|4|-6) und (8|16|-24) kollinear? Ja, der zweite Vektor ist das 4-fache des ersten. b) Sind (-5|4|-1) und (-10|8|-1) kollinear? c) Sind (2|1|5) und (4|2|10) kollinear? d) Sind (-3|4|3) und (-6|8|6) kollinear? e) Sind (-4|3|1) und (-16|12|4) kollinear? 5 Zeichnea) Skizziere einen Würfel mit der Kantenlänge 4 in einem Koordinatensystem, eine Ecke im Ursprung. Trage den Vektor der Raumdiagonale ein und berechne seine Länge.
Ein Vektor von A nach B ist B minus A. Der Betrag ist √(x² + y² + z²).
1 Verbindungsvektora) A(-6|-2|-4), B(1|4|5). Vektor von A nach B? AB = B - A = (7|6|9) b) A(-2|0|4), B(0|6|2). Vektor von A nach B? AB = B - A = (2|6|-2) c) A(-6|-3|6), B(5|-6|-4). Vektor von A nach B? AB = B - A = (11|-3|-10) d) A(4|0|-6), B(5|2|-4). Vektor von A nach B? AB = B - A = (1|2|2) e) A(-2|4|-3), B(-3|-1|-3). Vektor von A nach B? AB = B - A = (-1|-5|0) f) A(-6|0|6), B(2|1|4). Vektor von A nach B? AB = B - A = (8|1|-2) 2 Betraga) Betrag des Vektors (-2|3|6)? √(4 + 9 + 36) = √49 = 7 b) Betrag des Vektors (2|3|6)? √(4 + 9 + 36) = √49 = 7 c) Betrag des Vektors (-4|4|7)? √(16 + 16 + 49) = √81 = 9 d) Betrag des Vektors (2|6|9)? √(4 + 36 + 81) = √121 = 11 e) Betrag des Vektors (1|2|2)? √(1 + 4 + 4) = √9 = 3 f) Betrag des Vektors (3|4|12)? √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 3 Addieren und streckena) (-1|-3|4) + 3 · (3|1|-2) = Komponentenweise rechnen: (8|0|-2) b) (0|-5|-4) + 4 · (6|2|5) = Komponentenweise rechnen: (24|3|16) c) (-3|-4|0) + 3 · (-2|1|6) = Komponentenweise rechnen: (-9|-1|18) d) (5|3|1) + 3 · (4|0|3) = Komponentenweise rechnen: (17|3|10) e) (-2|-5|0) + 3 · (6|2|4) = Komponentenweise rechnen: (16|1|12) 4 Kollinearität prüfena) Sind (2|4|-6) und (8|16|-24) kollinear? Ja, der zweite Vektor ist das 4-fache des ersten. b) Sind (-5|4|-1) und (-10|8|-1) kollinear? Nein, in der dritten Komponente passt der Faktor 2 nicht. c) Sind (2|1|5) und (4|2|10) kollinear? Ja, der zweite Vektor ist das 2-fache des ersten. d) Sind (-3|4|3) und (-6|8|6) kollinear? Ja, der zweite Vektor ist das 2-fache des ersten. e) Sind (-4|3|1) und (-16|12|4) kollinear? Ja, der zweite Vektor ist das 4-fache des ersten. 5 Zeichnea) Skizziere einen Würfel mit der Kantenlänge 4 in einem Koordinatensystem, eine Ecke im Ursprung. Trage den Vektor der Raumdiagonale ein und berechne seine Länge. Diagonale (4|4|4), Länge √48 = 4√3 ≈ 6,93.