Vitus
Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen
Mathematik · Klasse 11 · mittel
Klasse 11
Name: Datum:
Nullstellen: f(x) = 0. Extremstellen: f'(x) = 0 und Vorzeichenwechsel. Wendestellen: f''(x) = 0.
1 Nullstellena) f(x) = (x + 3)(x + 3). Nullstellen? Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = -3, x2 = -3 b) f(x) = (x + 1)(x + 3). Nullstellen? c) f(x) = (x + 1)(x - 1). Nullstellen? d) f(x) = (x - 2)(x + 3). Nullstellen? e) f(x) = (x - 2)(x + 4). Nullstellen? f) f(x) = (x + 5)(x + 2). Nullstellen? 2 Extremstellena) f(x) = x³ - 48x. Extremstellen? f'(x) = 3x² - 48 = 0 ergibt x = 4 und x = -4. f''(x) = 6x, also Minimum bei 4, Maximum bei -4 b) f(x) = x³ - 12x. Extremstellen? c) f(x) = x³ - 27x. Extremstellen? d) f(x) = x³ - 3x. Extremstellen?
Nullstellen: f(x) = 0. Extremstellen: f'(x) = 0 und Vorzeichenwechsel. Wendestellen: f''(x) = 0.
1 Nullstellena) f(x) = (x + 3)(x + 3). Nullstellen? Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = -3, x2 = -3 b) f(x) = (x + 1)(x + 3). Nullstellen? Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = -1, x2 = -3 c) f(x) = (x + 1)(x - 1). Nullstellen? Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = -1, x2 = 1 d) f(x) = (x - 2)(x + 3). Nullstellen? Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = 2, x2 = -3 e) f(x) = (x - 2)(x + 4). Nullstellen? Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = 2, x2 = -4 f) f(x) = (x + 5)(x + 2). Nullstellen? Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = -5, x2 = -2 2 Extremstellena) f(x) = x³ - 48x. Extremstellen? f'(x) = 3x² - 48 = 0 ergibt x = 4 und x = -4. f''(x) = 6x, also Minimum bei 4, Maximum bei -4 b) f(x) = x³ - 12x. Extremstellen? f'(x) = 3x² - 12 = 0 ergibt x = 2 und x = -2. f''(x) = 6x, also Minimum bei 2, Maximum bei -2 c) f(x) = x³ - 27x. Extremstellen? f'(x) = 3x² - 27 = 0 ergibt x = 3 und x = -3. f''(x) = 6x, also Minimum bei 3, Maximum bei -3 d) f(x) = x³ - 3x. Extremstellen? f'(x) = 3x² - 3 = 0 ergibt x = 1 und x = -1. f''(x) = 6x, also Minimum bei 1, Maximum bei -1
Nullstellen: f(x) = 0. Extremstellen: f'(x) = 0 und Vorzeichenwechsel. Wendestellen: f''(x) = 0.
1 Nullstellena) f(x) = (x + 5)(x + 1). Nullstellen? Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = -5, x2 = -1 b) f(x) = (x - 1)(x + 3). Nullstellen? c) f(x) = (x - 2)(x + 4). Nullstellen? d) f(x) = (x + 4)(x - 2). Nullstellen? e) f(x) = (x + 1)(x + 3). Nullstellen? f) f(x) = (x + 3)(x + 3). Nullstellen? 2 Extremstellena) f(x) = x³ - 27x. Extremstellen? f'(x) = 3x² - 27 = 0 ergibt x = 3 und x = -3. f''(x) = 6x, also Minimum bei 3, Maximum bei -3 b) f(x) = x³ - 3x. Extremstellen? c) f(x) = x³ - 48x. Extremstellen? d) f(x) = x³ - 12x. Extremstellen? 3 Wendestellea) f(x) = x³ - 9x² + 8. Wendestelle? f''(x) = 6x - 18 = 0 ergibt x = 3. Vorzeichenwechsel, also Wendepunkt. b) f(x) = x³ - 6x² + 7. Wendestelle? c) f(x) = x³ - 3x² - 1. Wendestelle? d) f(x) = x³ - 6x² - 1. Wendestelle? e) f(x) = x³ - 12x² - 7. Wendestelle?
Nullstellen: f(x) = 0. Extremstellen: f'(x) = 0 und Vorzeichenwechsel. Wendestellen: f''(x) = 0.
1 Nullstellena) f(x) = (x + 5)(x + 1). Nullstellen? Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = -5, x2 = -1 b) f(x) = (x - 1)(x + 3). Nullstellen? Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = 1, x2 = -3 c) f(x) = (x - 2)(x + 4). Nullstellen? Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = 2, x2 = -4 d) f(x) = (x + 4)(x - 2). Nullstellen? Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = -4, x2 = 2 e) f(x) = (x + 1)(x + 3). Nullstellen? Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = -1, x2 = -3 f) f(x) = (x + 3)(x + 3). Nullstellen? Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = -3, x2 = -3 2 Extremstellena) f(x) = x³ - 27x. Extremstellen? f'(x) = 3x² - 27 = 0 ergibt x = 3 und x = -3. f''(x) = 6x, also Minimum bei 3, Maximum bei -3 b) f(x) = x³ - 3x. Extremstellen? f'(x) = 3x² - 3 = 0 ergibt x = 1 und x = -1. f''(x) = 6x, also Minimum bei 1, Maximum bei -1 c) f(x) = x³ - 48x. Extremstellen? f'(x) = 3x² - 48 = 0 ergibt x = 4 und x = -4. f''(x) = 6x, also Minimum bei 4, Maximum bei -4 d) f(x) = x³ - 12x. Extremstellen? f'(x) = 3x² - 12 = 0 ergibt x = 2 und x = -2. f''(x) = 6x, also Minimum bei 2, Maximum bei -2 3 Wendestellea) f(x) = x³ - 9x² + 8. Wendestelle? f''(x) = 6x - 18 = 0 ergibt x = 3. Vorzeichenwechsel, also Wendepunkt. b) f(x) = x³ - 6x² + 7. Wendestelle? f''(x) = 6x - 12 = 0 ergibt x = 2. Vorzeichenwechsel, also Wendepunkt. c) f(x) = x³ - 3x² - 1. Wendestelle? f''(x) = 6x - 6 = 0 ergibt x = 1. Vorzeichenwechsel, also Wendepunkt. d) f(x) = x³ - 6x² - 1. Wendestelle? f''(x) = 6x - 12 = 0 ergibt x = 2. Vorzeichenwechsel, also Wendepunkt. e) f(x) = x³ - 12x² - 7. Wendestelle? f''(x) = 6x - 24 = 0 ergibt x = 4. Vorzeichenwechsel, also Wendepunkt.
Nullstellen: f(x) = 0. Extremstellen: f'(x) = 0 und Vorzeichenwechsel. Wendestellen: f''(x) = 0.
1 Nullstellena) f(x) = (x - 1)(x - 5). Nullstellen? Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = 1, x2 = 5 b) f(x) = (x + 4)(x - 2). Nullstellen? c) f(x) = (x - 2)(x + 5). Nullstellen? d) f(x) = (x + 1)(x - 2). Nullstellen? e) f(x) = (x + 5)(x + 3). Nullstellen? f) f(x) = (x - 2)(x - 5). Nullstellen? 2 Extremstellena) f(x) = x³ - 12x. Extremstellen? f'(x) = 3x² - 12 = 0 ergibt x = 2 und x = -2. f''(x) = 6x, also Minimum bei 2, Maximum bei -2 b) f(x) = x³ - 27x. Extremstellen? c) f(x) = x³ - 3x. Extremstellen? d) f(x) = x³ - 48x. Extremstellen? 3 Wendestellea) f(x) = x³ - 18x² + 8. Wendestelle? f''(x) = 6x - 36 = 0 ergibt x = 6. Vorzeichenwechsel, also Wendepunkt. b) f(x) = x³ - 18x² - 2. Wendestelle? c) f(x) = x³ - 12x² - 3. Wendestelle? d) f(x) = x³ - 3x² + 2. Wendestelle? e) f(x) = x³ - 6x² + 1. Wendestelle? 4 Symmetrie begründena) f(x) = 5x³ - 9x. Welche Symmetrie hat der Graph? Nur ungerade Exponenten, also punktsymmetrisch zum Ursprung: f(-x) = -f(x) b) f(x) = x³ - 4x. Welche Symmetrie hat der Graph? c) f(x) = 2x³ - 8x. Welche Symmetrie hat der Graph? d) f(x) = 5x⁴ - 3x². Welche Symmetrie hat der Graph? e) f(x) = 5x³ - 2x. Welche Symmetrie hat der Graph? 5 Zeichnea) Skizziere den Graphen einer Funktion dritten Grades mit zwei Extrempunkten und einer Nullstelle. Begründe, warum das möglich ist.
Nullstellen: f(x) = 0. Extremstellen: f'(x) = 0 und Vorzeichenwechsel. Wendestellen: f''(x) = 0.
1 Nullstellena) f(x) = (x - 1)(x - 5). Nullstellen? Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = 1, x2 = 5 b) f(x) = (x + 4)(x - 2). Nullstellen? Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = -4, x2 = 2 c) f(x) = (x - 2)(x + 5). Nullstellen? Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = 2, x2 = -5 d) f(x) = (x + 1)(x - 2). Nullstellen? Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = -1, x2 = 2 e) f(x) = (x + 5)(x + 3). Nullstellen? Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = -5, x2 = -3 f) f(x) = (x - 2)(x - 5). Nullstellen? Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x1 = 2, x2 = 5 2 Extremstellena) f(x) = x³ - 12x. Extremstellen? f'(x) = 3x² - 12 = 0 ergibt x = 2 und x = -2. f''(x) = 6x, also Minimum bei 2, Maximum bei -2 b) f(x) = x³ - 27x. Extremstellen? f'(x) = 3x² - 27 = 0 ergibt x = 3 und x = -3. f''(x) = 6x, also Minimum bei 3, Maximum bei -3 c) f(x) = x³ - 3x. Extremstellen? f'(x) = 3x² - 3 = 0 ergibt x = 1 und x = -1. f''(x) = 6x, also Minimum bei 1, Maximum bei -1 d) f(x) = x³ - 48x. Extremstellen? f'(x) = 3x² - 48 = 0 ergibt x = 4 und x = -4. f''(x) = 6x, also Minimum bei 4, Maximum bei -4 3 Wendestellea) f(x) = x³ - 18x² + 8. Wendestelle? f''(x) = 6x - 36 = 0 ergibt x = 6. Vorzeichenwechsel, also Wendepunkt. b) f(x) = x³ - 18x² - 2. Wendestelle? f''(x) = 6x - 36 = 0 ergibt x = 6. Vorzeichenwechsel, also Wendepunkt. c) f(x) = x³ - 12x² - 3. Wendestelle? f''(x) = 6x - 24 = 0 ergibt x = 4. Vorzeichenwechsel, also Wendepunkt. d) f(x) = x³ - 3x² + 2. Wendestelle? f''(x) = 6x - 6 = 0 ergibt x = 1. Vorzeichenwechsel, also Wendepunkt. e) f(x) = x³ - 6x² + 1. Wendestelle? f''(x) = 6x - 12 = 0 ergibt x = 2. Vorzeichenwechsel, also Wendepunkt. 4 Symmetrie begründena) f(x) = 5x³ - 9x. Welche Symmetrie hat der Graph? Nur ungerade Exponenten, also punktsymmetrisch zum Ursprung: f(-x) = -f(x) b) f(x) = x³ - 4x. Welche Symmetrie hat der Graph? Nur ungerade Exponenten, also punktsymmetrisch zum Ursprung: f(-x) = -f(x) c) f(x) = 2x³ - 8x. Welche Symmetrie hat der Graph? Nur ungerade Exponenten, also punktsymmetrisch zum Ursprung: f(-x) = -f(x) d) f(x) = 5x⁴ - 3x². Welche Symmetrie hat der Graph? Nur gerade Exponenten, also achsensymmetrisch zur y-Achse: f(-x) = f(x) e) f(x) = 5x³ - 2x. Welche Symmetrie hat der Graph? Nur ungerade Exponenten, also punktsymmetrisch zum Ursprung: f(-x) = -f(x) 5 Zeichnea) Skizziere den Graphen einer Funktion dritten Grades mit zwei Extrempunkten und einer Nullstelle. Begründe, warum das möglich ist. Eine kubische Funktion kann eine, zwei oder drei Nullstellen haben. Liegen beide Extrempunkte auf derselben Seite der x-Achse, gibt es nur eine Nullstelle.