Erst die Zielgröße als Funktion einer Variablen aufschreiben, dann ableiten und null setzen. Zum Schluss prüfen, ob das Ergebnis im Sachzusammenhang passt.
1Rechteck mit größter Fläche
a)Ein Rechteck hat den Umfang 68 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?a + b = 34, A(a) = a(34 - a). A'(a) = 34 - 2a = 0 ergibt a = 17 m. Also ein Quadrat mit 17 m Seitenlänge, A = 289 m².
b)Ein Rechteck hat den Umfang 96 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?
c)Ein Rechteck hat den Umfang 84 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?
d)Ein Rechteck hat den Umfang 80 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?
e)Ein Rechteck hat den Umfang 56 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?
2Größtes Produkt
a)Die Summe zweier Zahlen ist 10. Wann ist ihr Produkt am größten?x + y = 10, P(x) = x(10 - x). P'(x) = 10 - 2x = 0 ergibt x = 5. Beide Zahlen 5, Produkt 25.
b)Die Summe zweier Zahlen ist 8. Wann ist ihr Produkt am größten?
c)Die Summe zweier Zahlen ist 20. Wann ist ihr Produkt am größten?
d)Die Summe zweier Zahlen ist 12. Wann ist ihr Produkt am größten?
e)Die Summe zweier Zahlen ist 18. Wann ist ihr Produkt am größten?
Erst die Zielgröße als Funktion einer Variablen aufschreiben, dann ableiten und null setzen. Zum Schluss prüfen, ob das Ergebnis im Sachzusammenhang passt.
1Rechteck mit größter Fläche
a)Ein Rechteck hat den Umfang 68 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?a + b = 34, A(a) = a(34 - a). A'(a) = 34 - 2a = 0 ergibt a = 17 m. Also ein Quadrat mit 17 m Seitenlänge, A = 289 m².
b)Ein Rechteck hat den Umfang 96 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?a + b = 48, A(a) = a(48 - a). A'(a) = 48 - 2a = 0 ergibt a = 24 m. Also ein Quadrat mit 24 m Seitenlänge, A = 576 m².
c)Ein Rechteck hat den Umfang 84 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?a + b = 42, A(a) = a(42 - a). A'(a) = 42 - 2a = 0 ergibt a = 21 m. Also ein Quadrat mit 21 m Seitenlänge, A = 441 m².
d)Ein Rechteck hat den Umfang 80 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?a + b = 40, A(a) = a(40 - a). A'(a) = 40 - 2a = 0 ergibt a = 20 m. Also ein Quadrat mit 20 m Seitenlänge, A = 400 m².
e)Ein Rechteck hat den Umfang 56 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?a + b = 28, A(a) = a(28 - a). A'(a) = 28 - 2a = 0 ergibt a = 14 m. Also ein Quadrat mit 14 m Seitenlänge, A = 196 m².
2Größtes Produkt
a)Die Summe zweier Zahlen ist 10. Wann ist ihr Produkt am größten?x + y = 10, P(x) = x(10 - x). P'(x) = 10 - 2x = 0 ergibt x = 5. Beide Zahlen 5, Produkt 25.
b)Die Summe zweier Zahlen ist 8. Wann ist ihr Produkt am größten?x + y = 8, P(x) = x(8 - x). P'(x) = 8 - 2x = 0 ergibt x = 4. Beide Zahlen 4, Produkt 16.
c)Die Summe zweier Zahlen ist 20. Wann ist ihr Produkt am größten?x + y = 20, P(x) = x(20 - x). P'(x) = 20 - 2x = 0 ergibt x = 10. Beide Zahlen 10, Produkt 100.
d)Die Summe zweier Zahlen ist 12. Wann ist ihr Produkt am größten?x + y = 12, P(x) = x(12 - x). P'(x) = 12 - 2x = 0 ergibt x = 6. Beide Zahlen 6, Produkt 36.
e)Die Summe zweier Zahlen ist 18. Wann ist ihr Produkt am größten?x + y = 18, P(x) = x(18 - x). P'(x) = 18 - 2x = 0 ergibt x = 9. Beide Zahlen 9, Produkt 81.
Erst die Zielgröße als Funktion einer Variablen aufschreiben, dann ableiten und null setzen. Zum Schluss prüfen, ob das Ergebnis im Sachzusammenhang passt.
1Rechteck mit größter Fläche
a)Ein Rechteck hat den Umfang 44 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?a + b = 22, A(a) = a(22 - a). A'(a) = 22 - 2a = 0 ergibt a = 11 m. Also ein Quadrat mit 11 m Seitenlänge, A = 121 m².
b)Ein Rechteck hat den Umfang 60 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?
c)Ein Rechteck hat den Umfang 80 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?
d)Ein Rechteck hat den Umfang 20 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?
e)Ein Rechteck hat den Umfang 72 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?
2Größtes Produkt
a)Die Summe zweier Zahlen ist 16. Wann ist ihr Produkt am größten?x + y = 16, P(x) = x(16 - x). P'(x) = 16 - 2x = 0 ergibt x = 8. Beide Zahlen 8, Produkt 64.
b)Die Summe zweier Zahlen ist 22. Wann ist ihr Produkt am größten?
c)Die Summe zweier Zahlen ist 8. Wann ist ihr Produkt am größten?
d)Die Summe zweier Zahlen ist 14. Wann ist ihr Produkt am größten?
e)Die Summe zweier Zahlen ist 24. Wann ist ihr Produkt am größten?
3Schachtel falten
a)Aus einem quadratischen Blech mit 16 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.V(x) = x(16 - 2x)², sinnvoll für 0 < x < 8. V'(x) = (16 - 2x)(16 - 6x), also x = 2,67 cm.
b)Aus einem quadratischen Blech mit 22 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.
c)Aus einem quadratischen Blech mit 28 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.
d)Aus einem quadratischen Blech mit 14 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.
Erst die Zielgröße als Funktion einer Variablen aufschreiben, dann ableiten und null setzen. Zum Schluss prüfen, ob das Ergebnis im Sachzusammenhang passt.
1Rechteck mit größter Fläche
a)Ein Rechteck hat den Umfang 44 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?a + b = 22, A(a) = a(22 - a). A'(a) = 22 - 2a = 0 ergibt a = 11 m. Also ein Quadrat mit 11 m Seitenlänge, A = 121 m².
b)Ein Rechteck hat den Umfang 60 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?a + b = 30, A(a) = a(30 - a). A'(a) = 30 - 2a = 0 ergibt a = 15 m. Also ein Quadrat mit 15 m Seitenlänge, A = 225 m².
c)Ein Rechteck hat den Umfang 80 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?a + b = 40, A(a) = a(40 - a). A'(a) = 40 - 2a = 0 ergibt a = 20 m. Also ein Quadrat mit 20 m Seitenlänge, A = 400 m².
d)Ein Rechteck hat den Umfang 20 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?a + b = 10, A(a) = a(10 - a). A'(a) = 10 - 2a = 0 ergibt a = 5 m. Also ein Quadrat mit 5 m Seitenlänge, A = 25 m².
e)Ein Rechteck hat den Umfang 72 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?a + b = 36, A(a) = a(36 - a). A'(a) = 36 - 2a = 0 ergibt a = 18 m. Also ein Quadrat mit 18 m Seitenlänge, A = 324 m².
2Größtes Produkt
a)Die Summe zweier Zahlen ist 16. Wann ist ihr Produkt am größten?x + y = 16, P(x) = x(16 - x). P'(x) = 16 - 2x = 0 ergibt x = 8. Beide Zahlen 8, Produkt 64.
b)Die Summe zweier Zahlen ist 22. Wann ist ihr Produkt am größten?x + y = 22, P(x) = x(22 - x). P'(x) = 22 - 2x = 0 ergibt x = 11. Beide Zahlen 11, Produkt 121.
c)Die Summe zweier Zahlen ist 8. Wann ist ihr Produkt am größten?x + y = 8, P(x) = x(8 - x). P'(x) = 8 - 2x = 0 ergibt x = 4. Beide Zahlen 4, Produkt 16.
d)Die Summe zweier Zahlen ist 14. Wann ist ihr Produkt am größten?x + y = 14, P(x) = x(14 - x). P'(x) = 14 - 2x = 0 ergibt x = 7. Beide Zahlen 7, Produkt 49.
e)Die Summe zweier Zahlen ist 24. Wann ist ihr Produkt am größten?x + y = 24, P(x) = x(24 - x). P'(x) = 24 - 2x = 0 ergibt x = 12. Beide Zahlen 12, Produkt 144.
3Schachtel falten
a)Aus einem quadratischen Blech mit 16 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.V(x) = x(16 - 2x)², sinnvoll für 0 < x < 8. V'(x) = (16 - 2x)(16 - 6x), also x = 2,67 cm.
b)Aus einem quadratischen Blech mit 22 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.V(x) = x(22 - 2x)², sinnvoll für 0 < x < 11. V'(x) = (22 - 2x)(22 - 6x), also x = 3,67 cm.
c)Aus einem quadratischen Blech mit 28 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.V(x) = x(28 - 2x)², sinnvoll für 0 < x < 14. V'(x) = (28 - 2x)(28 - 6x), also x = 4,67 cm.
d)Aus einem quadratischen Blech mit 14 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.V(x) = x(14 - 2x)², sinnvoll für 0 < x < 7. V'(x) = (14 - 2x)(14 - 6x), also x = 2,33 cm.
Erst die Zielgröße als Funktion einer Variablen aufschreiben, dann ableiten und null setzen. Zum Schluss prüfen, ob das Ergebnis im Sachzusammenhang passt.
1Rechteck mit größter Fläche
a)Ein Rechteck hat den Umfang 56 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?a + b = 28, A(a) = a(28 - a). A'(a) = 28 - 2a = 0 ergibt a = 14 m. Also ein Quadrat mit 14 m Seitenlänge, A = 196 m².
b)Ein Rechteck hat den Umfang 104 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?
c)Ein Rechteck hat den Umfang 92 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?
d)Ein Rechteck hat den Umfang 112 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?
e)Ein Rechteck hat den Umfang 116 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?
2Größtes Produkt
a)Die Summe zweier Zahlen ist 10. Wann ist ihr Produkt am größten?x + y = 10, P(x) = x(10 - x). P'(x) = 10 - 2x = 0 ergibt x = 5. Beide Zahlen 5, Produkt 25.
b)Die Summe zweier Zahlen ist 12. Wann ist ihr Produkt am größten?
c)Die Summe zweier Zahlen ist 14. Wann ist ihr Produkt am größten?
d)Die Summe zweier Zahlen ist 24. Wann ist ihr Produkt am größten?
e)Die Summe zweier Zahlen ist 22. Wann ist ihr Produkt am größten?
3Schachtel falten
a)Aus einem quadratischen Blech mit 14 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.V(x) = x(14 - 2x)², sinnvoll für 0 < x < 7. V'(x) = (14 - 2x)(14 - 6x), also x = 2,33 cm.
b)Aus einem quadratischen Blech mit 28 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.
c)Aus einem quadratischen Blech mit 20 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.
d)Aus einem quadratischen Blech mit 16 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.
4Rechteck unter einer Parabel
a)Ein Rechteck liegt mit der Grundseite auf der x-Achse, die oberen Ecken auf f(x) = 25 - x². Größter Flächeninhalt?A(x) = 2x(25 - x²) = 50x - 2x³. A'(x) = 50 - 6x² = 0 ergibt x = 2,887. A = 96,23.
b)Ein Rechteck liegt mit der Grundseite auf der x-Achse, die oberen Ecken auf f(x) = 9 - x². Größter Flächeninhalt?
c)Ein Rechteck liegt mit der Grundseite auf der x-Achse, die oberen Ecken auf f(x) = 4 - x². Größter Flächeninhalt?
d)Ein Rechteck liegt mit der Grundseite auf der x-Achse, die oberen Ecken auf f(x) = 36 - x². Größter Flächeninhalt?
5Knobelaufgabe
Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.
a)Eine Dose soll 1 Liter fassen und möglichst wenig Blech verbrauchen. Stelle die Zielfunktion auf und erkläre, warum Hersteller trotzdem oft andere Formen wählen.
Erst die Zielgröße als Funktion einer Variablen aufschreiben, dann ableiten und null setzen. Zum Schluss prüfen, ob das Ergebnis im Sachzusammenhang passt.
1Rechteck mit größter Fläche
a)Ein Rechteck hat den Umfang 56 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?a + b = 28, A(a) = a(28 - a). A'(a) = 28 - 2a = 0 ergibt a = 14 m. Also ein Quadrat mit 14 m Seitenlänge, A = 196 m².
b)Ein Rechteck hat den Umfang 104 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?a + b = 52, A(a) = a(52 - a). A'(a) = 52 - 2a = 0 ergibt a = 26 m. Also ein Quadrat mit 26 m Seitenlänge, A = 676 m².
c)Ein Rechteck hat den Umfang 92 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?a + b = 46, A(a) = a(46 - a). A'(a) = 46 - 2a = 0 ergibt a = 23 m. Also ein Quadrat mit 23 m Seitenlänge, A = 529 m².
d)Ein Rechteck hat den Umfang 112 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?a + b = 56, A(a) = a(56 - a). A'(a) = 56 - 2a = 0 ergibt a = 28 m. Also ein Quadrat mit 28 m Seitenlänge, A = 784 m².
e)Ein Rechteck hat den Umfang 116 m. Für welche Seitenlängen ist die Fläche am größten?a + b = 58, A(a) = a(58 - a). A'(a) = 58 - 2a = 0 ergibt a = 29 m. Also ein Quadrat mit 29 m Seitenlänge, A = 841 m².
2Größtes Produkt
a)Die Summe zweier Zahlen ist 10. Wann ist ihr Produkt am größten?x + y = 10, P(x) = x(10 - x). P'(x) = 10 - 2x = 0 ergibt x = 5. Beide Zahlen 5, Produkt 25.
b)Die Summe zweier Zahlen ist 12. Wann ist ihr Produkt am größten?x + y = 12, P(x) = x(12 - x). P'(x) = 12 - 2x = 0 ergibt x = 6. Beide Zahlen 6, Produkt 36.
c)Die Summe zweier Zahlen ist 14. Wann ist ihr Produkt am größten?x + y = 14, P(x) = x(14 - x). P'(x) = 14 - 2x = 0 ergibt x = 7. Beide Zahlen 7, Produkt 49.
d)Die Summe zweier Zahlen ist 24. Wann ist ihr Produkt am größten?x + y = 24, P(x) = x(24 - x). P'(x) = 24 - 2x = 0 ergibt x = 12. Beide Zahlen 12, Produkt 144.
e)Die Summe zweier Zahlen ist 22. Wann ist ihr Produkt am größten?x + y = 22, P(x) = x(22 - x). P'(x) = 22 - 2x = 0 ergibt x = 11. Beide Zahlen 11, Produkt 121.
3Schachtel falten
a)Aus einem quadratischen Blech mit 14 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.V(x) = x(14 - 2x)², sinnvoll für 0 < x < 7. V'(x) = (14 - 2x)(14 - 6x), also x = 2,33 cm.
b)Aus einem quadratischen Blech mit 28 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.V(x) = x(28 - 2x)², sinnvoll für 0 < x < 14. V'(x) = (28 - 2x)(28 - 6x), also x = 4,67 cm.
c)Aus einem quadratischen Blech mit 20 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.V(x) = x(20 - 2x)², sinnvoll für 0 < x < 10. V'(x) = (20 - 2x)(20 - 6x), also x = 3,33 cm.
d)Aus einem quadratischen Blech mit 16 cm Kantenlänge wird an den Ecken je ein Quadrat der Seite x ausgeschnitten und eine offene Schachtel gefaltet. Volumenfunktion aufstellen.V(x) = x(16 - 2x)², sinnvoll für 0 < x < 8. V'(x) = (16 - 2x)(16 - 6x), also x = 2,67 cm.
4Rechteck unter einer Parabel
a)Ein Rechteck liegt mit der Grundseite auf der x-Achse, die oberen Ecken auf f(x) = 25 - x². Größter Flächeninhalt?A(x) = 2x(25 - x²) = 50x - 2x³. A'(x) = 50 - 6x² = 0 ergibt x = 2,887. A = 96,23.
b)Ein Rechteck liegt mit der Grundseite auf der x-Achse, die oberen Ecken auf f(x) = 9 - x². Größter Flächeninhalt?A(x) = 2x(9 - x²) = 18x - 2x³. A'(x) = 18 - 6x² = 0 ergibt x = 1,732. A = 20,78.
c)Ein Rechteck liegt mit der Grundseite auf der x-Achse, die oberen Ecken auf f(x) = 4 - x². Größter Flächeninhalt?A(x) = 2x(4 - x²) = 8x - 2x³. A'(x) = 8 - 6x² = 0 ergibt x = 1,155. A = 6,16.
d)Ein Rechteck liegt mit der Grundseite auf der x-Achse, die oberen Ecken auf f(x) = 36 - x². Größter Flächeninhalt?A(x) = 2x(36 - x²) = 72x - 2x³. A'(x) = 72 - 6x² = 0 ergibt x = 3,464. A = 166,28.
5Knobelaufgabe
Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.
a)Eine Dose soll 1 Liter fassen und möglichst wenig Blech verbrauchen. Stelle die Zielfunktion auf und erkläre, warum Hersteller trotzdem oft andere Formen wählen.O(r) = 2pi r² + 2000/r, Minimum bei r = 5,42 cm und h = 10,84 cm, also h = 2r. In der Praxis zählen auch Regalhöhe, Griffigkeit und Bedruckung.