Sinussatz und Kosinussatz

Mathematik · Klasse 10 · mittel

Klasse 10MSA-Vorbereitung
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Sinussatz: a : sin α = b : sin β = c : sin γ. Kosinussatz: c² = a² + b² - 2ab · cos γ.

1Sinussatz

  1. a)α = 70°, β = 65°, a = 20 cm.b = a · sin β : sin α = 20 · sin 65° : sin 70° = 19,29 cm
  2. b)α = 40°, β = 75°, a = 14 cm.
  3. c)α = 40°, β = 75°, a = 8 cm.
  4. d)α = 30°, β = 45°, a = 9 cm.
  5. e)α = 60°, β = 35°, a = 7 cm.

2Kosinussatz: Seite

  1. a)a = 7 cm, b = 4 cm, γ = 120°. c =c² = 7² + 4² - 2 · 7 · 4 · cos 120° = 93,00 → c = 9,64 cm
  2. b)a = 8 cm, b = 13 cm, γ = 70°. c =
  3. c)a = 4 cm, b = 5 cm, γ = 70°. c =
  4. d)a = 11 cm, b = 10 cm, γ = 80°. c =
  5. e)a = 8 cm, b = 4 cm, γ = 120°. c =

Sinussatz: a : sin α = b : sin β = c : sin γ. Kosinussatz: c² = a² + b² - 2ab · cos γ.

1Sinussatz

  1. a)α = 70°, β = 65°, a = 20 cm.b = a · sin β : sin α = 20 · sin 65° : sin 70° = 19,29 cm
  2. b)α = 40°, β = 75°, a = 14 cm.b = a · sin β : sin α = 14 · sin 75° : sin 40° = 21,04 cm
  3. c)α = 40°, β = 75°, a = 8 cm.b = a · sin β : sin α = 8 · sin 75° : sin 40° = 12,02 cm
  4. d)α = 30°, β = 45°, a = 9 cm.b = a · sin β : sin α = 9 · sin 45° : sin 30° = 12,73 cm
  5. e)α = 60°, β = 35°, a = 7 cm.b = a · sin β : sin α = 7 · sin 35° : sin 60° = 4,64 cm

2Kosinussatz: Seite

  1. a)a = 7 cm, b = 4 cm, γ = 120°. c =c² = 7² + 4² - 2 · 7 · 4 · cos 120° = 93,00 → c = 9,64 cm
  2. b)a = 8 cm, b = 13 cm, γ = 70°. c =c² = 8² + 13² - 2 · 8 · 13 · cos 70° = 161,86 → c = 12,72 cm
  3. c)a = 4 cm, b = 5 cm, γ = 70°. c =c² = 4² + 5² - 2 · 4 · 5 · cos 70° = 27,32 → c = 5,23 cm
  4. d)a = 11 cm, b = 10 cm, γ = 80°. c =c² = 11² + 10² - 2 · 11 · 10 · cos 80° = 182,80 → c = 13,52 cm
  5. e)a = 8 cm, b = 4 cm, γ = 120°. c =c² = 8² + 4² - 2 · 8 · 4 · cos 120° = 112,00 → c = 10,58 cm

Sinussatz: a : sin α = b : sin β = c : sin γ. Kosinussatz: c² = a² + b² - 2ab · cos γ.

1Sinussatz

  1. a)α = 50°, β = 65°, a = 17 cm.b = a · sin β : sin α = 17 · sin 65° : sin 50° = 20,11 cm
  2. b)α = 70°, β = 65°, a = 7 cm.
  3. c)α = 40°, β = 55°, a = 17 cm.
  4. d)α = 70°, β = 55°, a = 15 cm.
  5. e)α = 30°, β = 45°, a = 15 cm.

2Kosinussatz: Seite

  1. a)a = 4 cm, b = 4 cm, γ = 60°. c =c² = 4² + 4² - 2 · 4 · 4 · cos 60° = 16,00 → c = 4,00 cm
  2. b)a = 6 cm, b = 9 cm, γ = 100°. c =
  3. c)a = 11 cm, b = 10 cm, γ = 60°. c =
  4. d)a = 7 cm, b = 4 cm, γ = 70°. c =
  5. e)a = 15 cm, b = 15 cm, γ = 60°. c =

3Kosinussatz: Winkel

  1. a)a = 7 cm, b = 4 cm, c = 7 cm. γ =cos γ = (a² + b² - c²) : (2ab) = 0,286 → γ = 73,4°
  2. b)a = 7 cm, b = 10 cm, c = 8 cm. γ =
  3. c)a = 8 cm, b = 9 cm, c = 8 cm. γ =
  4. d)a = 8 cm, b = 8 cm, c = 2 cm. γ =
  5. e)a = 6 cm, b = 12 cm, c = 8 cm. γ =

Sinussatz: a : sin α = b : sin β = c : sin γ. Kosinussatz: c² = a² + b² - 2ab · cos γ.

1Sinussatz

  1. a)α = 50°, β = 65°, a = 17 cm.b = a · sin β : sin α = 17 · sin 65° : sin 50° = 20,11 cm
  2. b)α = 70°, β = 65°, a = 7 cm.b = a · sin β : sin α = 7 · sin 65° : sin 70° = 6,75 cm
  3. c)α = 40°, β = 55°, a = 17 cm.b = a · sin β : sin α = 17 · sin 55° : sin 40° = 21,66 cm
  4. d)α = 70°, β = 55°, a = 15 cm.b = a · sin β : sin α = 15 · sin 55° : sin 70° = 13,08 cm
  5. e)α = 30°, β = 45°, a = 15 cm.b = a · sin β : sin α = 15 · sin 45° : sin 30° = 21,21 cm

2Kosinussatz: Seite

  1. a)a = 4 cm, b = 4 cm, γ = 60°. c =c² = 4² + 4² - 2 · 4 · 4 · cos 60° = 16,00 → c = 4,00 cm
  2. b)a = 6 cm, b = 9 cm, γ = 100°. c =c² = 6² + 9² - 2 · 6 · 9 · cos 100° = 135,75 → c = 11,65 cm
  3. c)a = 11 cm, b = 10 cm, γ = 60°. c =c² = 11² + 10² - 2 · 11 · 10 · cos 60° = 111,00 → c = 10,54 cm
  4. d)a = 7 cm, b = 4 cm, γ = 70°. c =c² = 7² + 4² - 2 · 7 · 4 · cos 70° = 45,85 → c = 6,77 cm
  5. e)a = 15 cm, b = 15 cm, γ = 60°. c =c² = 15² + 15² - 2 · 15 · 15 · cos 60° = 225,00 → c = 15,00 cm

3Kosinussatz: Winkel

  1. a)a = 7 cm, b = 4 cm, c = 7 cm. γ =cos γ = (a² + b² - c²) : (2ab) = 0,286 → γ = 73,4°
  2. b)a = 7 cm, b = 10 cm, c = 8 cm. γ =cos γ = (a² + b² - c²) : (2ab) = 0,607 → γ = 52,6°
  3. c)a = 8 cm, b = 9 cm, c = 8 cm. γ =cos γ = (a² + b² - c²) : (2ab) = 0,563 → γ = 55,8°
  4. d)a = 8 cm, b = 8 cm, c = 2 cm. γ =cos γ = (a² + b² - c²) : (2ab) = 0,969 → γ = 14,4°
  5. e)a = 6 cm, b = 12 cm, c = 8 cm. γ =cos γ = (a² + b² - c²) : (2ab) = 0,806 → γ = 36,3°

Sinussatz: a : sin α = b : sin β = c : sin γ. Kosinussatz: c² = a² + b² - 2ab · cos γ.

1Sinussatz

  1. a)α = 60°, β = 55°, a = 6 cm.b = a · sin β : sin α = 6 · sin 55° : sin 60° = 5,68 cm
  2. b)α = 40°, β = 75°, a = 5 cm.
  3. c)α = 60°, β = 65°, a = 15 cm.
  4. d)α = 50°, β = 45°, a = 9 cm.
  5. e)α = 60°, β = 45°, a = 7 cm.

2Kosinussatz: Seite

  1. a)a = 15 cm, b = 11 cm, γ = 60°. c =c² = 15² + 11² - 2 · 15 · 11 · cos 60° = 181,00 → c = 13,45 cm
  2. b)a = 11 cm, b = 14 cm, γ = 100°. c =
  3. c)a = 15 cm, b = 10 cm, γ = 80°. c =
  4. d)a = 13 cm, b = 5 cm, γ = 50°. c =
  5. e)a = 15 cm, b = 12 cm, γ = 80°. c =

3Kosinussatz: Winkel

  1. a)a = 8 cm, b = 8 cm, c = 2 cm. γ =cos γ = (a² + b² - c²) : (2ab) = 0,969 → γ = 14,4°
  2. b)a = 9 cm, b = 6 cm, c = 8 cm. γ =
  3. c)a = 7 cm, b = 6 cm, c = 2 cm. γ =
  4. d)a = 4 cm, b = 12 cm, c = 11 cm. γ =
  5. e)a = 9 cm, b = 7 cm, c = 4 cm. γ =

4Dreieck vollständig berechnen

  1. a)α = 45°, β = 60°, c = 11 cm. Berechne γ, a und b.γ = 180° - 45° - 60° = 75°, a = c · sin α : sin γ = 8,05 cm, b = c · sin β : sin γ = 9,86 cm
  2. b)α = 55°, β = 70°, c = 18 cm. Berechne γ, a und b.
  3. c)α = 55°, β = 70°, c = 20 cm. Berechne γ, a und b.

5Knobelaufgabe

Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.

  1. a)Zwei Wanderwege gehen von einem Punkt im Winkel von 65° auseinander, einer 4 km lang, der andere 6 km. Wie weit sind die Endpunkte voneinander entfernt?

Sinussatz: a : sin α = b : sin β = c : sin γ. Kosinussatz: c² = a² + b² - 2ab · cos γ.

1Sinussatz

  1. a)α = 60°, β = 55°, a = 6 cm.b = a · sin β : sin α = 6 · sin 55° : sin 60° = 5,68 cm
  2. b)α = 40°, β = 75°, a = 5 cm.b = a · sin β : sin α = 5 · sin 75° : sin 40° = 7,51 cm
  3. c)α = 60°, β = 65°, a = 15 cm.b = a · sin β : sin α = 15 · sin 65° : sin 60° = 15,70 cm
  4. d)α = 50°, β = 45°, a = 9 cm.b = a · sin β : sin α = 9 · sin 45° : sin 50° = 8,31 cm
  5. e)α = 60°, β = 45°, a = 7 cm.b = a · sin β : sin α = 7 · sin 45° : sin 60° = 5,72 cm

2Kosinussatz: Seite

  1. a)a = 15 cm, b = 11 cm, γ = 60°. c =c² = 15² + 11² - 2 · 15 · 11 · cos 60° = 181,00 → c = 13,45 cm
  2. b)a = 11 cm, b = 14 cm, γ = 100°. c =c² = 11² + 14² - 2 · 11 · 14 · cos 100° = 370,48 → c = 19,25 cm
  3. c)a = 15 cm, b = 10 cm, γ = 80°. c =c² = 15² + 10² - 2 · 15 · 10 · cos 80° = 272,91 → c = 16,52 cm
  4. d)a = 13 cm, b = 5 cm, γ = 50°. c =c² = 13² + 5² - 2 · 13 · 5 · cos 50° = 110,44 → c = 10,51 cm
  5. e)a = 15 cm, b = 12 cm, γ = 80°. c =c² = 15² + 12² - 2 · 15 · 12 · cos 80° = 306,49 → c = 17,51 cm

3Kosinussatz: Winkel

  1. a)a = 8 cm, b = 8 cm, c = 2 cm. γ =cos γ = (a² + b² - c²) : (2ab) = 0,969 → γ = 14,4°
  2. b)a = 9 cm, b = 6 cm, c = 8 cm. γ =cos γ = (a² + b² - c²) : (2ab) = 0,491 → γ = 60,6°
  3. c)a = 7 cm, b = 6 cm, c = 2 cm. γ =cos γ = (a² + b² - c²) : (2ab) = 0,964 → γ = 15,4°
  4. d)a = 4 cm, b = 12 cm, c = 11 cm. γ =cos γ = (a² + b² - c²) : (2ab) = 0,406 → γ = 66,0°
  5. e)a = 9 cm, b = 7 cm, c = 4 cm. γ =cos γ = (a² + b² - c²) : (2ab) = 0,905 → γ = 25,2°

4Dreieck vollständig berechnen

  1. a)α = 45°, β = 60°, c = 11 cm. Berechne γ, a und b.γ = 180° - 45° - 60° = 75°, a = c · sin α : sin γ = 8,05 cm, b = c · sin β : sin γ = 9,86 cm
  2. b)α = 55°, β = 70°, c = 18 cm. Berechne γ, a und b.γ = 180° - 55° - 70° = 55°, a = c · sin α : sin γ = 18,00 cm, b = c · sin β : sin γ = 20,65 cm
  3. c)α = 55°, β = 70°, c = 20 cm. Berechne γ, a und b.γ = 180° - 55° - 70° = 55°, a = c · sin α : sin γ = 20,00 cm, b = c · sin β : sin γ = 22,94 cm

5Knobelaufgabe

Schreib deinen Rechenweg auf und antworte in einem ganzen Satz.

  1. a)Zwei Wanderwege gehen von einem Punkt im Winkel von 65° auseinander, einer 4 km lang, der andere 6 km. Wie weit sind die Endpunkte voneinander entfernt?Kosinussatz: c² = 16 + 36 - 2 · 4 · 6 · cos(65°) = 31,7, also c = 5,63 km.
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